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💥第一部分——内容介绍

数据驱动下基于 Koopman 特征函数的非线性系统降阶辨识与控制研究

摘要

复杂工业与机器人领域的动力学系统普遍具备强非线性、多模态演化特性，传统基于机理建模的控制方案高度依赖系统先验知识，局部线性化手段仅能在小工作区间保证控制效果，难以适配大范围工况下的预测与闭环控制需求。Koopman 算子理论为非线性动力学分析提供全新范式，通过将有限维非线性状态映射至无穷维可观测函数空间，实现非线性动力学的全局线性表征，规避传统局部线性化的固有局限。Koopman 特征函数作为该理论的核心载体，构建起原始非线性状态与线性提升空间之间的映射桥梁，其质量直接决定降阶模型辨识精度、长期预测能力以及闭环控制的稳定性与跟踪性能。本文围绕数据驱动框架下 Koopman 特征函数开展系统性研究，梳理特征函数的物理内涵、获取途径、 subspace 不变性约束，分析特征函数缺陷带来的模型闭合问题，剖析特征函数对系统辨识、降阶建模、控制器设计全链路的影响，总结当前研究存在的现实瓶颈，并对该方向未来发展趋势进行展望。

关键词：Koopman 算子；特征函数；数据驱动；非线性辨识；降阶建模；数据驱动控制

1 引言

现代工程中的动力系统普遍存在强非线性行为，平衡点迁移、极限环振荡、多稳态切换等动力学现象广泛存在于机电装备、飞行器、柔性机器人、能源动力系统等对象中。传统机理建模需要完整的物理参数，很多实际场景中系统内部机理难以完全解析，可获取的只有海量时序观测数据，给传统建模与控制带来巨大挑战。局部线性化、增益调度等成熟控制手段依靠多个工作点的线性模型拼接实现全域控制，模型切换过程容易产生震荡，全局泛化能力有限，难以处理强非线性与大幅度状态迁移场景。

以动态模式分解为代表的数据驱动建模方法，能够直接从时序观测数据提取动力学演化规律，无需完整机理信息，在复杂系统分析领域得到大量应用。Koopman 算子理论进一步拓展动态模式分解的理论边界，不直接对系统状态演化建模，转而刻画可观测函数的传递演化规律，把原始空间的非线性动力学转化为函数空间上的线性演化过程，为非线性系统实现全局层面的线性表达提供理论基础。基于 Koopman 的降阶控制，核心思路就是利用有限维近似手段构造提升空间，在该空间内采用成熟线性控制理论完成控制器设计，再映射回原始状态空间实现对非线性对象的控制。

在 Koopman 理论体系中，特征函数是区分普通可观测字典与真正 Koopman 不变子空间的关键要素。早期扩展动态模式分解类方法大多采用人工预设的基函数字典完成状态提升，这类字典不一定包含系统真实的 Koopman 特征函数，构造得到的有限维子空间不具备算子不变属性，会出现模型闭合失效，长时预测误差快速累积，闭环控制出现发散、跟踪失效等现象，限制 Koopman 控制的实际落地能力。因此，如何从系统观测数据中可靠获取有效的 Koopman 特征函数，构造满足不变性约束的降阶子空间，成为提升 Koopman 辨识与控制性能的核心问题。

近年来学术界逐步从直接使用通用基函数字典，转向面向控制任务专门挖掘 Koopman 特征函数，发展出基于矩阵分解、核方法、深度学习、对称子空间分解等一系列数据驱动手段，面向预测、状态估计、模型预测控制等任务开展大量验证研究。但针对真实复杂系统，特征函数的辨识依然面临谱污染、连续谱干扰、噪声鲁棒性差、控制输入耦合、高维系统计算压力大等诸多现实难题。本文聚焦数据驱动下 Koopman 特征函数，围绕其物理意义、数据获取方式、对辨识控制链路的影响、现存挑战与发展方向展开论述。

2 Koopman 特征函数的物理内涵与动力学意义

Koopman 算子作用于可观测函数空间，将系统状态的非线性演化转化为函数层面的线性映射，特征函数是该线性算子的固有解。每一组特征函数与对应的特征值相互匹配，共同刻画系统内在动力学模态，原始系统复杂的非线性演化行为，能够被拆解为一系列特征函数按照特征值所表征的演化规律进行叠加组合arXiv。

区别于原始系统状态变量，Koopman 特征函数属于状态的非线性函数，构建起一组系统本征内在坐标。在这组特征坐标构成的子空间内部，动力学演化完全遵循线性规律，这也是 Koopman 算子可以实现全局线性表征的根本来源。由真实 Koopman 特征函数张成的子空间具备算子不变特性，算子作用后不会跳出该子空间，这是降阶模型可以实现长期可靠预测的关键条件ResearchGa...。

不同特征函数对应系统不同动力学行为。部分特征函数对应平衡点附近的衰减模态，部分对应周期振荡行为，还有部分对应近似守恒的慢动力学模态，这类慢模态对于控制系统的稳定性与暂态过程有着关键影响。系统平衡点、极限环、不变流形等关键动力学结构，都可以通过 Koopman 特征函数的几何结构进行刻画。从物理层面，特征函数可以理解为非线性系统的一类非线性不变量，能够揭示隐藏在原始状态观测背后的动力学内在结构，而这些信息往往无法直接通过原始状态变量直观获得。

需要区分通用可观测字典函数与 Koopman 特征函数。普通基函数字典只是人为选定的一组非线性函数集合，并不天然满足算子不变性质。只有当字典中包含足够多真实 Koopman 特征函数时，张成的子空间才会近似满足不变性。大量工程实践表明，仅仅依靠多项式、径向基等通用字典，很难保证子空间不变性，即便短时间步预测效果尚可，随着预测时域拉长，误差会快速扩散，这就是 Koopman 近似模型普遍遇到的闭合问题。想要获得稳定可靠的降阶模型，应当尽可能逼近真实 Koopman 特征函数，构建算子不变子空间，而不是简单堆砌大量非线性基函数ResearchGa...。

面向带输入的受控非线性系统，特征函数的内涵进一步拓展。控制输入会改变系统演化路径，进而影响特征函数的数据驱动辨识过程。外部激励会改变可观测函数的演化轨迹，如何在存在控制输入的条件下提取有效的 Koopman 特征函数，是面向控制任务区别于纯自治系统分析的重要难点。

3 数据驱动 Koopman 特征函数的主要获取思路

在绝大多数工程场景下，系统机理未知，无法通过解析推导得到 Koopman 特征函数，只能依托采集得到的状态时序数据开展数据驱动辨识。现有研究按照实现逻辑大致可以分为字典筛选分解类、核函数类、深度学习学习类三大技术路线，各类方法具备不同的适用场景与固有局限。

第一类是基于预设字典的矩阵分解类方法。以扩展动态模式分解及其衍生算法为基础，在预先给定的函数字典上，借助时间前后快照矩阵的回归分解，进一步通过子空间筛选、前后向对称分解等后处理手段，从字典张成的空间中筛选近似 Koopman 特征函数。该类方法实现简单，计算开销可控，在中等规模系统中应用广泛。但其性能高度依赖初始字典的设计，如果字典本身无法逼近真实特征函数，无论后续如何分解筛选，都难以得到高质量结果。同时测量噪声、采样间隔、轨迹数据集覆盖范围都会显著干扰特征函数提取，容易产生虚假特征模态，也就是谱污染现象，引入伪特征函数，破坏后续模型的有效性ResearchGa...。

第二类为核方法驱动的特征函数辨识。该类思路不显式构造基函数字典，通过核技巧把状态映射至高维再生核希尔伯特空间，利用时序数据的相关矩阵完成谱分解，直接求解近似 Koopman 特征函数。核方法规避了显式字典的构造难题，对低维强非线性系统适配性较好。但核方法会带来核矩阵维度膨胀问题，当数据集样本量很大时，存储与计算代价急剧上升，同时核函数类型与超参数选择会强烈影响辨识出来的特征函数质量，参数调参缺乏统一可遵循的准则，高维复杂系统下泛化能力受限arXiv。

第三类是基于深度学习的端到端特征函数学习。利用神经网络强大的非线性拟合能力，以预测损失作为约束，直接学习从原始状态到 Koopman 特征函数空间的映射网络。网络输出即为近似 Koopman 特征函数，同时同步学习提升空间内的线性演化矩阵。深度学习方案无需人工设计字典，具备很强的表达能力，适合处理高维、强非线性复杂对象。但该方法存在可解释性不足的问题，神经网络学习得到的映射缺少明确物理含义，容易出现过拟合，对数据集丰富度要求很高。训练数据集需要充分覆盖系统主要工作区间，否则学到的特征函数只在局部区间有效，外推工况下性能会急剧衰减。同时网络训练存在非凸优化问题，容易收敛到局部最优，难以保证输出严格满足 Koopman 不变子空间约束，需要额外增加正则约束来提升结果可靠性ResearchGa...。

除此之外，还有部分研究结合系统局部线性化信息、稀疏辨识手段，将局部解析信息和数据驱动流程结合，辅助特征函数的求解，实现机理信息与观测数据的相互补充。无论哪一类数据驱动手段，都离不开高质量时序数据集的支撑。数据集需要覆盖系统主要动力学行为，包含足够多不同初始条件的演化轨迹，采样频率需要适配系统动力学时间尺度，噪声水平也会直接决定特征函数辨识的上限。

4 Koopman 特征函数对降阶辨识与闭环控制的影响

Koopman 特征函数贯穿系统辨识、降阶建模、控制器设计、闭环运行全流程，特征函数的逼近质量直接决定整套方案的工程可用性。

在非线性系统辨识层面，真实 Koopman 特征函数张成不变子空间，在此子空间上建立的降阶模型，能够在较长时间尺度保持动力学演化一致性，模型辨识误差不会随时步持续放大。若辨识得到的近似特征函数存在明显偏差，子空间不具备不变属性，降阶模型就会出现闭合失效。短期预测或许可以保持尚可精度，但多步向前预测过程中误差持续累积，模型完全偏离真实动力学，直接造成系统辨识失败。虚假特征模态还会引入不存在的动力学成分，混淆对系统固有模态的判断，干扰模态分析、稳定性评估等后续工作。

在降阶建模环节，基于有效 Koopman 特征函数可以实现真正意义上的模型降阶。通过筛选对应系统主导动力学的少量特征函数，舍弃次要、噪声主导的模态，在保留核心动力学信息的前提下压缩提升空间维度，降低后续控制计算负担。反之，如果没有可靠特征函数作为依据，仅依靠人为截断通用字典，为保证精度只能保留大量基函数，提升空间维度居高不下，带来计算量爆炸，不利于实时控制场景落地。

面向闭环控制设计，当提升空间由 Koopman 特征函数构成时，控制问题可以直接在特征函数构成的内在坐标空间开展。此时提升空间动力学严格线性，各类成熟线性最优控制、模型预测控制方法可以直接使用，不需要引入额外非线性约束，优化问题具备凸特性，求解速度快，适合实时部署。特征函数对应的不同动力学模态可以被单独分析与调配，控制优化过程能够针对性抑制不稳定模态，调节慢模态的演化过程，给控制器调参带来新自由度arXiv。

如果特征函数辨识存在缺陷，即便提升空间内完成控制器求解，映射回原始状态空间后闭环性能也会显著恶化。近似偏差会转化为闭环模型失配，带来跟踪误差增大、抗扰能力下降，极端情况下出现闭环震荡甚至失稳。部分研究指出，很多 Koopman 模型预测控制出现不稳定现象，根源并非线性控制器本身，而是数据得到的近似特征函数不满足不变子空间条件，降阶模型本身就存在本质缺陷。

对于带输入的受控系统，控制输入与特征函数之间存在耦合关系。外部输入会改变系统轨迹，数据集包含激励输入时，自治系统的特征函数辨识流程不再直接适用。如果忽略输入对特征函数辨识的影响，直接照搬自治系统的求解思路，得到的特征函数会混入输入带来的动力学成分，降阶模型无法正确描述输入输出映射关系，闭环控制效果会大幅退化。

同时特征函数的质量也会影响状态观测器与状态估计环节。基于 Koopman 框架设计观测器，依赖特征函数建立原始状态与提升空间状态之间的映射，特征函数存在偏差会造成状态估计漂移，进一步破坏闭环控制的效果。

5 当前数据驱动 Koopman 特征函数研究面临的关键挑战

尽管 Koopman 特征函数理论框架已经比较完善，但面向工程实际，从含噪声观测数据中获取可靠的特征函数仍然存在诸多亟待解决的现实挑战。

第一是数据集约束问题。Koopman 特征函数的数据驱动辨识高度依赖数据集质量。数据集需要充分覆盖系统主要工作域，包含丰富的激励轨迹，对于多稳态、多模态系统，需要采集得到不同吸引域下的演化样本。但很多实际受控系统，可开展激励实验的范围有限，难以获得全工况的观测数据。在数据集覆盖不足的区域，辨识得到的特征函数外推能力很差。同时传感器噪声、采样时刻抖动、异常野点，都会污染时序快照，诱发虚假特征模态，破坏特征函数辨识结果。

第二是连续谱带来的辨识难题。大量实际非线性系统的 Koopman 算子同时存在离散谱与连续谱成分。Koopman 特征函数对应离散谱部分，连续谱没有对应的特征函数，无法被有限维子空间精确表达。连续谱成分会造成动力学行为无法被有限组特征函数完整描述，无论采用何种有限维近似，都会存在固有建模误差，如何处理连续谱的影响，筛选出真正对控制起主导作用的离散特征模态，是理论与工程层面的难点arXiv。

第三是受控系统下特征函数的辨识困难。绝大多数现有特征函数挖掘算法面向自治系统开发，针对带控制输入的系统，输入会改变系统演化，算子本身定义发生变化。如何区分系统固有动力学模态与输入激励带来的模态，在存在外部输入的时序数据中提取系统本身的 Koopman 特征函数，目前还没有形成普适成熟的方案。输入非线性、输入饱和等实际约束，进一步加大特征函数辨识难度。

第四是不变子空间的约束保证。各类数据驱动方法得到的都只是特征函数近似解，如何在数据学习流程中显式嵌入 Koopman 不变子空间约束，避免得到的近似解偏离不变特性，减少谱污染与伪模态，依旧是一大难点。深度学习类方法虽然拟合能力强，但很难严格保证输出满足不变条件，往往只能依靠损失函数做软约束。

第五是可解释性与降阶权衡。深度学习得到的特征函数是黑盒网络映射，物理可解释性弱，难以判断每一个近似特征函数对应系统哪一部分动力学行为。在降阶截断时，如何定量评价每一个近似特征函数对预测、控制任务的贡献程度，实现面向控制任务的最优子集筛选，而非简单依靠特征值模值进行截断，缺少成熟的量化评价指标。

第六是高维系统与在线辨识的现实困境。对于高维复杂系统，无论是核矩阵运算还是神经网络训练，计算与存储开销都会急剧上升。现有的特征函数辨识大多属于离线批量处理，而工程场景往往需要在线更新模型，随着系统运行工况漂移，能够流式更新 Koopman 特征函数的高效算法还不够成熟，制约该技术在实时控制系统的部署落地。

6 未来研究方向展望

面向非线性系统降阶辨识与控制的工程需求，围绕数据驱动 Koopman 特征函数，后续可以从以下方向开展进一步研究。

首先，发展面向控制任务的 Koopman 特征函数辨识框架。现有很多特征函数挖掘以预测精度作为唯一优化目标，但预测最优不等同于控制最优。应当把闭环控制性能指标引入特征函数学习流程，筛选对稳定性、轨迹跟踪、抗扰动能力贡献最大的特征函数子集，舍弃对控制任务意义有限的模态，实现辨识过程面向控制任务导向。同时完善受控系统下特征函数求解理论，区分固有动力学与输入激励带来的模态，适配带输入的工程对象。

其次，强化机理信息与数据驱动融合。纯粹依靠观测数据的特征函数辨识对数据集依赖过高，引入已知的物理约束、守恒量、平衡点信息，作为先验约束嵌入特征函数学习流程，降低对海量数据集的依赖，抑制伪模态生成，提升辨识结果的鲁棒性。将稀疏动力学辨识、局部线性化信息与 Koopman 特征函数挖掘相结合，实现机理与数据的互补。

第三，提升噪声鲁棒性与伪模态抑制技术。针对工程测量噪声、野点干扰，研究具备抗噪能力的特征函数求解策略，发展更加可靠的不变子空间判定指标，建立近似 Koopman 特征函数的有效性评价体系，量化评估近似解距离真实不变子空间的偏差，为模型截断、模态取舍提供客观依据。

第四，推进轻量化与流式在线辨识算法。针对实时控制场景，研究低计算开销的特征函数近似方案，发展流式、增量式辨识策略，能够在系统运行过程中，利用新采集到的数据迭代更新 Koopman 特征函数，适配系统工况漂移、慢时变特性，降低内存占用，向嵌入式控制硬件落地靠拢。

第五，深化特征函数视角下的稳定性与闭环分析。基于 Koopman 特征函数不变子空间，进一步完善降阶模型闭环稳定性分析理论，建立近似特征函数的误差边界与闭环系统性能之间的映射关系，量化分析特征函数辨识偏差对闭环稳定性、跟踪误差的影响，为 Koopman 控制方案提供更加完备的理论保障。

第六，拓展面向复杂工程对象的应用验证。目前 Koopman 特征函数相关研究大量停留在仿真算例层面，需要更多面向真实物理系统的实验验证，在机器人、机电装备、能源系统等强非线性对象上开展实测，暴露算法在真实环境下的短板，推动理论方法向工程应用转化。

7 结论

Koopman 特征函数是非线性系统实现全局线性降阶表征的核心，其本质是系统动力学内在的非线性本征坐标，由真实特征函数张成的算子不变子空间，是保证 Koopman 降阶模型长时预测可靠、闭环控制有效的根本条件。单纯依靠人工预设通用字典，很难得到满足不变性的子空间，容易出现模型闭合失效，制约整套方法性能。当前主要依靠矩阵分解、核方法、深度学习等数据驱动手段，从观测时序数据中获取近似 Koopman 特征函数，但依旧面临数据集依赖、连续谱干扰、受控系统模态辨识困难、伪模态污染、高维计算压力、在线辨识能力不足等诸多挑战。

面向未来，需要进一步发展面向控制任务的数据驱动特征函数辨识理论，融合机理先验知识，增强噪声鲁棒性，完善近似特征函数有效性评价手段，发展轻量化在线更新算法，强化闭环稳定性分析，同时推进真实物理对象的实验验证，不断推动 Koopman 降阶辨识与控制技术从理论仿真走向工程实际应用。

📚第二部分——运行结果

 摘要：
数据驱动的转换可以在线性框架中重新构建非线性系统，具有巨大的潜力使用线性系统理论对强非线性动力学进行预测、估计和控制。库普曼算子已经成为非线性动力学的一个有原则的线性嵌入，它的本征函数建立了内在坐标，沿着这个坐标，动力学表现为线性。 之前的研究已经使用模型预测控制方法的库普曼算子的有限维近似。在这个在本文中，我们说明了这种方法的一个基本闭合问题，并认为首先验证它是有益的特征函数，然后在这些经过验证的特征函数中构建降阶模型。这些坐标通过设计形成一个库普曼不变子空间，从而提高了预测能力。 然后我们展示了如何控制可以直接在这些内在坐标中制定，并讨论潜在的益处和注意事项从这个角度来看。 由此产生的控制架构被称为库普曼降阶非线性识别和控制（KRONIC）。 进一步证明，这些本征函数可以用下式近似基于控制数据驱动回归和幂级数展开的偏微分方程库普曼算子的无穷小生成元。 验证发现的特征函数至关重要，我们展示可以从EDMD或隐式公式中忠实地提取轻微阻尼的本征函数。这些轻微阻尼的本征函数与控制特别相关，因为它们对应于几乎守恒的与持久动力学相关的量，如哈密顿量。 然后，KRONIC在许多相关示例上进行了演示，包括1）具有已知线性嵌入的非线性系统，2）各种哈密顿系统，以及3）海洋混合的高维双涡模型。
关键词：动力系统、非线性控制、库普曼理论、系统识别、机器学习

Koopman算子作为一种基于原理的非线性动态的线性嵌入方法已经崭露头角，其特征函数建立了动态行为呈现线性的内在坐标。KRONIC旨在通过从数据中使用稀疏回归来识别Koopman特征函数，然后在这些内在坐标中推导出控制器。

讨论与结论
总之，我们将Koopman算子形式主义扩展到包含驱动的情况，并展示了如何将一个非线性控制问题转化为特征函数坐标中的双线性控制问题。接着，我们提出了一个数据驱动的框架，用于识别Koopman算子的主要特征函数，并提出了扩展的动态模态分解（EDMD）的稀疏性促进扩展。我们发现，通过回归可以从数据中准确地近似轻阻尼或无阻尼的特征函数，因为这些特征函数对应于持久现象，例如守恒量。而且，这些通常是我们在控制中寻求的结构，因为它们影响长期行为。我们在多个非线性系统上展示了这种新的数据驱动控制架构的有效性，包括哈密顿系统和一个具有挑战性的高维海洋混合模型。这些结果表明，识别和控制Koopman特征函数可能使我们在实现通用数据驱动非线性控制策略的最终目标方面取得重大进展。

Koopman算子的有限维近似通常是将其投影到指定的基上，这可能会受到众所周知的封闭性问题的困扰。矩阵\(K\)通常很大，因为状态被提升到高维空间，而得到的模型很少能封闭，可能会出现虚假的特征函数。基于EDMD，我们使用经过验证的Koopman特征函数构建降阶模型，从而使得到的模型在设计上是封闭的。KRONIC和带控制的EDMD [65] 都提供了基于Koopman的系统辨识，可以用于基于模型的控制，如模型预测控制（MPC）或线性二次调节器（LQR），如图16所示。然而，它们之间存在一些关键差异：（1）KRONIC直接识别Koopman特征函数，而EDMDc近似受限于高维可观测量空间的Koopman算子。（2）EDMD通过增加非线性测量来扩充状态向量，从而增加了系统的维度。相比之下，KRONIC得到的是以少数Koopman特征函数表示的降阶模型。（3）在EDMDc中，控制被作为近似的仿射线性项纳入。KRONIC通过生成器方程推导出特征函数如何受控制影响的表达式。然而，这可能会使控制项呈现双线性（状态非线性）。（4）EDMDc的成本函数是在状态或测量空间中定义的，而KRONIC在特征函数中定义成本函数；注意，这些成本函数并不总是可以相互转换的。（5）最后，KRONIC更容易接受更复杂的解决方案，例如极限环的稳定化，因为这些对应于特征函数的水平集。

与以往的研究一样，本研究进一步巩固了准确识别和表示Koopman特征函数的重要性。未来的工作将继续开发从数据中提取近似特征函数的算法，这些工作可能会从机器学习的进步中受益。此外，在表示Koopman特征函数时存在一个基本的不确定性原理，因为这些特征函数本身可能无法表示，就像混沌系统的长期流映射一样。与其寻求可能无法实现的完美Koopman特征函数，不如将不确定性量化纳入数据驱动的Koopman框架。然后可以用鲁棒控制来管理模型的不确定性。

本研究还强调了在使用Koopman近似时选择视角的重要性。一般来说，Koopman特征函数是全局对象，例如哈密顿能量函数。尽管动力学的全局线性表示很有吸引力，但这些表示也丢失了一些信息。例如，在哈密顿特征函数的情况下，关于特定固定点和空间位置的信息被折叠成一个单一的标量能量。如果将哈密顿函数视为相空间上的地形图，那么这个特征函数只携带关于海拔的信息，而不是位置信息。相比之下，Lan和Mezić [72] 表明，可以将Hartman-Grobman定理扩展到某些固定点和周期轨道的整个吸引域，从而提供动力学的局部线性嵌入。将这些视角联系起来将继续在Koopman理论中产生有趣且重要的进展。此外，相空间中几何结构的特征值与Koopman算子的谱之间存在已知的联系 [83]。这种知识可能会指导Koopman特征函数的准确识别。

以Koopman特征函数来制定控制需要改变视角，因为控制目标现在可以在特征函数坐标中定义。特征函数表征了系统的几何属性，例如固定点和极限环，作为特定的水平集，控制目标可以等价地制定为将系统引导至这些对象。此外，特定的特征函数代表了连贯结构，即系统的持久特征，这些特征一直是控制的目标。然而，选择用于控制的特定特征函数及其关于特定控制目标的解释仍然是一个开放问题。尽管如此，可能仍然可以在原始状态空间中制定控制，例如通过将状态作为可观测量纳入，适当修改状态权重矩阵，或者通过学习逆映射的近似 [58]，这可以更容易地纳入模型预测控制的上下文中。这也激发了进一步研究这些坐标中的可控性和可观测性与非线性系统的性质之间的关系。可控性和可观测性的程度通常会随着不同的特征函数而变化，因此可能可以得到平衡的实现。此外，经典结果，例如PBH测试，表明可能需要多通道驱动来同时控制对应于相同特征值的不同特征函数，例如哈密顿能量和守恒的角动量。多通道输入产生的额外自由度也可以用于特征结构分配，以塑造Koopman特征函数 [50]。因此，驱动可以修改连贯结构的形状（即与特定特征函数相关的Koopman模态）及其时间动态。也有可能使用Koopman线性嵌入来优化非线性系统的传感器和驱动器的布局。

最后，由于无阻尼或轻阻尼的特征函数对应于守恒或几乎守恒的量，因此所提出的控制策略有许多潜在的应用。例如，对称性会产生其他守恒量，这些守恒量同样会产生新的Koopman特征函数。在许多物理系统中，同时控制系统的能量和角动量可能是一个重要的目标。目前的大部分工作都是以空间任务设计问题为背景而制定的。在太阳系中实现能效运输长期以来一直推动着理论和计算动力学的进展，可能会从基于Koopman特征函数的控制中受益。更广泛地说，许多领域都能从改进的非线性控制中受益，包括自动驾驶汽车、湍流控制、抑制疾病传播、稳定金融市场、人机界面、假肢和康复，以及神经紊乱的治疗，仅举几例。

部分代码：

clear all, close all, clc

addpath('./utils/');
path2figs = '../Figures/DOUBLE_GYRE/'; mkdir(path2figs)
path2data = '../Data/'; mkdir(path2data)
ModelName = 'AutonomDoubleGyre_';

% Parameters double gyre
tspan   = 0:.01:50;
epsilon = 0;
omega   = 2*pi; 
A       = 0.25;

% Streamfunction / Hamiltonian
x = [0:0.01:2]; y = [0:0.01:1];
[X,Y]       = meshgrid(x,y);
StreamFun   = A*sin(pi*X).*sin(pi*Y);
Hfield      = -StreamFun;

% Parameters control
x0      = [1.3; 0.5];   % initial state
Q       = 1;            % weighing efun/state in cost function
R       = 1;            % penalize control
REF     = 0.2;         % reference value / level set
ode_options = odeset('RelTol',1e-10, 'AbsTol',1e-11);

% Define functions
Psi = @(x)(A*sin(pi*x(1)).*sin(pi*x(2)));           % Streamfunction
gradPsi = @(x)([A*pi*cos(pi*x(1))*sin(pi*x(2));     % Gradient of Psi
                A*pi*sin(pi*x(1))*cos(pi*x(2))]);

%% UNFORCED SYSTEM
B = [0; 0];
f = @(t,x,u)([-A*pi*sin(pi*x(1))*cos(pi*x(2));A*pi*cos(pi*x(1))*sin(pi*x(2))] + B*u);          
[t,y0] = ode45(@(t,x)f(t,x,0),tspan,x0,ode_options);
[Psivals0,Jvals0] = evalCostFun_KoopEfun(Psi,y0,zeros(1,size(y0,1)),Q,R,REF);

%% Controlled system: different actuation choice
% B = [0; 1]; R = 1;
% ModelName1 = [ModelName, 'B01_'];
% B = [1; 0]; R = 1;
% ModelName1 = [ModelName, 'B10_']; % not gain comp
B = [1, 0; 0, 1]; R  = eye(2);
ModelName1 = [ModelName, 'B11_'];

🎉第三部分——参考文献 

文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。(文章内容仅供参考，具体效果以运行结果为准)

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