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摘要：本文围绕 SLAM（同步定位与地图构建）的概率公式 p(x0:T, m | z1:T, u1:T) 展开，先逐项解释路径、地图、观测与控制量等符号含义，再说明该公式在给定观测序列与控制输入序列下求解机器人全部轨迹与环境地图联合概率分布的意义。随后借助贝叶斯网络图模型，梳理运动模型、观测模型与地图全局不变量之间的因果依赖，并给出联合概率的分解形式与直观理解，帮助读者建立 SLAM 与单纯机器人定位之间的本质区别。

SLAM 概率公式

SLAM（同步定位与地图构建）的概率公式如下：

p(x0:T, m | z1:T, u1:T)

符号释义

• p(·)：概率分布。
• x0:T：机器人路径，x0 到 xT 代表从 0 时刻到 T 时刻机器人所有位姿（位置 + 朝向）。
• m：地图（map），环境地图。
• |：given，条件给定，竖线右侧是已知信息。
• z1:T：观测（observations），传感器观测数据（激光 / 相机等，1~T 时刻）。
• u1:T：控制量（controls），机器人的运动控制输入（轮速、驱动指令等，1~T 时刻）。

公式含义

在给定传感器观测序列 z1:T 和机器人控制输入序列 u1:T 的前提下，求机器人全部轨迹 x0:T 和环境地图 m 的联合概率分布。

SLAM 图模型（Graphical Model）解析

SLAM 对应的贝叶斯网络图（有向图概率模型），用来直观表达上一节的联合后验 p(x0:T, m | z1:T, u1:T) 中各变量之间的依赖关系。

符号回顾

• xt-1, xt, xt+1：机器人在 t-1、t、t+1 时刻的位姿（位置 + 朝向）。
• ut-1, ut, ut+1：控制输入（电机 / 速度指令）。
• zt-1, zt, zt+1：传感器观测（激光、相机观测到路标的测量值）。
• m：地图（环境路标集合）。

箭头含义（因果依赖）

• ut-1 → xt-1：控制输入驱动机器人得到当前位姿。
• xt-1 → xt：运动模型，上一时刻位姿 + 控制 ut，预测下一时刻位姿（马尔可夫假设：下一状态只依赖前一状态）。
• xt → zt：观测模型，机器人在 xt 位姿下，对地图 m 产生传感器观测 zt。
• m → zt-1, m → zt, m → zt+1：地图是固定不变的，所有时刻的传感器观测都来源于同一份环境地图。

核心性质：地图 m 是全局不变量，每一次观测 zt 同时由机器人当时位姿 xt 和环境地图 m 共同生成。

直观理解

• 横向：xt-1 → xt → xt+1 是机器人随时间的轨迹链。
• 纵向：每个时刻，机器人在位姿 xt 看地图 m，拿到传感器读数 zt。
• 全局节点：地图 m 贯穿所有时间步，这是 SLAM 和单纯机器人定位最大的区别——定位里地图已知，而 SLAM 中地图 m 也是待估计变量。