六、雅克比：已知连杆位形，会用几何法求雅可比矩阵

在机器人学中，通常使用雅可比将关节速度与操作臂末端的笛卡尔速度联系起来，关节角速度左乘雅可比矩阵可得到机械臂末端的笛卡尔速度矢量。

Exp.1:如图5-8所示是具有两个关节的操作臂，计算出操作臂末端的速度，将它表达成关节速度的函数，给出两种形式的解答，一种是用坐标系{3}表示的，另一种是用坐标系{0}表示的。

如图5-9所示，坐标系{3}固连于操作臂末端，求用坐标系{3}表示的该原点的速度，第二部分我们我们用坐标系{0}表示这些速度。

首先将坐标系固连在连杆上，如图5-9所示。

基坐标系的速度为0，从基坐标系{0}开始依次计算出每个坐标系原点的速度，连杆的坐标变换矩阵为
$$\begin{array}{rl}{}_1^{0}T& =\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& -s_1& 0& 0\\ s_1& c_1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ {}_2^{1}T& =\left[\begin{array}{cccc}{c}_2& -s_2& 0& l_1\\ s_2& c_2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ {}_3^{2}T& =\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& l_2\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$
从坐标系{0}到坐标系{1}为旋转映射，坐标系{2}到坐标系{1}的映射为平移加旋转，从坐标系{3}到坐标系{2}只有平移，所以关节3的转角恒为0度。
$${}^{i+1}{\omega }_{i+1}={}_i^{i+1}{R}^i{\omega }_i+{\dot{\theta }}_{i+1}{}^{i+1}{\hat{Z}}_{i+1}$$

$${}^{i+1}{v}_{i+1}={}_i^{i+1}R\left({}^i{v}_i+{}^i{\omega }_i\times {}^i{P}_{i+1}\right)$$

这是从基座往末端推导的推导方向。
$$\begin{array}{c}{}^1{\omega }_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\dot{\theta }}_1\end{array}\right]\\ {}^1{v}_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\\ {}^2{\omega }_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2\end{array}\right]\\ {}^2{v}_2=\left[\begin{array}{ccc}{c}_2& s_2& 0\\ -s_2& c_2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ l_1{\dot{\theta }}_1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{l}_1{s}_2{\dot{\theta }}_1\\ l_1{c}_2{\theta }_1\\ 0\end{array}\right]\\ {}^3{\omega }_3={}^2{\omega }_2\\ {}^3{v}_3=\left[\begin{array}{c}{l}_1{s}_2{\dot{\theta }}_1\\ l_1{c}_2{\dot{\theta }}_1+l_2\left({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2\right)\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$
这就是在坐标系{3}中表示坐标系{3}的原点的线速度，为了得到这些速度相对于固定基坐标系的表达，用旋转矩阵${}_3^0$对它们作旋转变换，即
$${}_3^{0}R={}_1^0{R}_2^1{R}_3^{2}R=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{12}& -s_{12}& 0\\ s_{12}& c_{12}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$${}^0{v}_3={}_3^{0}R{}^3{v}_3$$

通过这个变换可以得到
$${}^0{v}_3=\left[\begin{array}{c}-l_1{s}_1{\dot{\theta }}_1-l_2{s}_{12}\left({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2\right)\\ l_1{c}_1{\dot{\theta }}_1+l_2{c}_{12}\left({\dot{\theta }}_1+{\dot{\theta }}_2\right)\\ 0\end{array}\right]$$
雅克比矩阵的行数等于操作臂在笛卡尔空间的自由度的数量，雅可比矩阵的列数等于操作臂的关节数量，对于两连杆的操作臂，可以写出一个$2\times 2$的雅可比矩阵，该矩阵将关节速度和末端执行器的速度联系起来，坐标系{3}中的雅可比表达式为
$${}^{3}J(\Theta )=\left[\begin{array}{cc}{l}_1{s}_2& 0\\ l_1{c}_2+l_2& l_2\end{array}\right]$$
坐标系{0}的雅可比矩阵为
$${}^{0}J(\Theta )=\left[\begin{array}{cc}-l_1{s}_1-l_2{s}_{12}& -l_2{s}_{12}\\ l_1{c}_1+l_2{c}_{12}& l_2{c}_{12}\end{array}\right]$$
出自：机器人学复习必看