【机器人学习】小白学习第17讲：移动机器人

你学你的我点份烤冷面

31人浏览 · 2026-11-11 15:00:26

你学你的我点份烤冷面 · 2026-11-11 15:00:26 发布

🦉 猫头鹰都在卷机械臂逆解了，你确定不关注一下？

【机器人学习】小白学习第17讲：移动机器人 Mobile Robots

一句话核心：轮子只能"滚着走、原地转"，不能横着平移——这种约束的是速度而不是位置的限制叫非完整约束，它把移动机器人的建模、规划和控制全部改写了一遍。

本讲目标：理解非完整约束的本质，掌握独轮车/自行车运动学模型，知道它从哪来、又会带来什么麻烦

一、为什么需要这个

小讲 1：轮子不许横着走——非完整约束的两句话直觉

轮子给机器人套上了速度约束

前面几讲讲的都是机械臂：底座固定、编码器直接读出每个关节的位置。轮子机器人完全不是这么回事。轮子是移动机器人最常用的行走机构，而**纯滚动（无滑动）**这件事本身就给机器人套上了运动学约束。

不能横着平移，却照样能停进车位（小声：虽然前司某车确实可以横着停车）

开头那句话是最好的引子：**每个司机都知道，汽车不可能一下子横着平移；但只要有地方倒腾，侧方位停车位照样能进去。**这两句话合在一起就是非完整约束的全部直觉：

局部能力下降：每一瞬间，能选的速度方向变少了（少一维）。在任意位形上，轮子的速度必须沿着它自己的朝向，侧向分量为零。
全局能力不变：位形空间照样全可达，只是去不了的地方得"绕"过去，多打几把方向盘。

图 1 "汽车不能横着平移"与"照样能停进车位"

图 1 “汽车不能横着平移"与"照样能停进车位”。左图：每一瞬时只有 2 个自由度（前进 v、转向 ω），侧向速度被纯滚动约束禁止；右图：三段机动（转向 → 滚动 → 回正）合成的净位移恰好落在侧向

模型变成 q̇ = G(q)u：输入比状态少

这一节的结果是：用来描述时刻允许运动的模型，不再是q̇ = u那么简单，而是q̇ = G(q) u；（输入比状态少，且矩阵 G 依赖位形 q。）后面所有的规划和控制，都围着这个形式转。

停下来想一想：非完整约束让每一瞬间能选的速度方向少了几维？位形空间本身又少了几维？

二、核心概念

小讲 2：完整约束与非完整约束的分界，以及可积性判据

1. 完整约束 vs 非完整约束

完整约束（holonomic，可积）：能写成只含位置的等式hi(q) = 0，共 k 个。它的作用是把可达空间压到n − k维的一个"面"上，于是可以把 k 个坐标用另外 n−k 个表示出来、直接消掉。（机械臂的转动副/移动副就是这种；关节变量就是那套"压缩过的坐标"。）

运动学约束（kinematic）：写成 Pfaffian 形式、对速度线性：AT(q) q̇ = 0。

完整约束一定能导出运动学约束（求导即可），但反过来不一定。若一组 Pfaffian 约束不可积，就叫非完整（nonholonomic）约束。它的后果完全不同：

每一瞬间允许的速度落在n − k维子空间里 → 自由度确实降了；
但一个广义坐标也省不掉，哪怕局部也省不掉→ 位形仍可以用原来的 n 个数描述。

可积性判据：若存在积分因子 γ(q) ≠ 0 使γ a(q)是某个标量函数 h 的梯度，则可积；等价地要求

$\partial (\gamma a_{k})/ \partial q_{j} = \partial (\gamma a_{j})/ \partial q_{k}\text{，} j,k = 1, \dots ,n\text{，}j \neq k$

例 11.3 拿滚动圆盘的约束ẋ sin θ − ẏ cos θ = 0代进去，解出唯一的 γ = 0，于是判定它非完整。式（11.9）还有一个立刻能用的推论：系数为常数的 Pfaffian 约束一定是完整的。

2. 运动学模型与"可控 ⟺ 非完整"

取AT(q)零空间的一组基 {g₁,…,g_m}，允许的轨迹就是

$\dot{q} = \sum g_{j}(q) u_{j} = G(q) u\text{，} m = n - k$

它没有漂移项（输入为零则 q̇ = 0），因此叫driftless 系统。输入 u 往往有物理意义（速度），而不是力/力矩，所以叫"运动学模型"。

最漂亮的一条结论：看（11.10）可不可控，就能反过来判定约束是完整还是非完整。

可控 ⟹ 任意两个位形之间都能找到一条满足约束的轨迹 ⟹ 约束（完全）非完整；
不可控 ⟹ 可达空间只剩 ν < n 维 ⟹ 约束部分/完全可积。

怎么查可控？看可达秩条件dim ΔA(q) = n。这里的秘密武器是李括号 [g₁, g₂]：（先做一段 g₁、再 g₂、反向 g₁、反向 g₂，净位移就落在 [g₁,g₂] 方向上。这正是"打方向盘来回几次，车就横移了一点"的数学。）能用几个输入向量场和它们的李括号张满 n 维，系统就可控。需要的括号层数叫非完整度 κ。

小讲 3：独轮车与自行车模型、链式形式与平坦输出规划

3. 独轮车与自行车（–11.2.2）

独轮车（unicycle）q = [x, y, θ]^T：(x, y) 是轮子触地点，θ 是朝向。纯滚动约束ẋ sin θ − ẏ cos θ = 0，通过接触点且垂直于航向的那条直线叫零运动线。运动学模型：

$\dot{x} = v \cos \theta\text{，} \dot{y} = v \sin \theta\text{，} \dot{\theta} = \omega$

两个输入：v驱动速度（轮速×半径），ω转向速度。它的李括号 [g₁, g₂] = [sin θ, −cos θ, 0]^T恰好指向侧向，与前两个向量场线性无关 ⟹dim ΔA = 3，可控、非完整度 κ = 2。

差速驱动（两个固定轮，最常见的小车）与独轮车运动学等价，只需换算：v = r(ωR + ωL)/2，ω = r(ωR − ωL)/d。

自行车（bicycle）q = [x, y, θ, φ]^T，多了前轮转角 φ。前后轮各有一个滚动约束，两条零运动线交于瞬时转动中心 C，车身每一点瞬时都在绕 C 画圆弧。前轮驱动时θ̇ = (sin φ / ℓ) v；后轮驱动时θ̇ = (tan φ / ℓ) v——注意后者在 φ = ±π/2 处失效（前轮打横，机械上卡死）。自行车要算到三层李括号，非完整度 κ = 3。三轮车、轿车都属于这一类。

图 2 独轮车位形 (x, y, θ) 与速度输入 (v, ω)（对应）

图 2 独轮车位形 (x, y, θ) 与速度输入 (v, ω)（对应）。红色虚线是通过接触点的零运动线：轮子在这一瞬间绝不允许沿这条方向移动

4. 链式形式（Chained Form，）

把运动学模型化成某种"标准样子"，规划和控制就有了通用套路。两输入的**(2, n) 链式形式**是：

$\dot{z}_{1} = v_{1}\text{，} \dot{z}_{2} = v_{2}\text{，} \dot{z}_{3} = z_{2} v_{1}\text{，} \dots \text{，} \dot{z}_{n} = z_{n-1} v_{1}$

它像一列"倒下的多米诺"：第一个状态被积分一次传给第三个、再传给第四个……正因为这个结构，它对某些输入可以闭式积分（比如 v₁取常数、v₂取多项式），规划就变成了"解一个线性方程组"。

独轮车用坐标变换z1 = θ、z2 = x cos θ + y sin θ、z3 = x sin θ − y cos θ就能化成 (2,3) 链式形式。（z₂、z₃是位置在一个"跟着车头走"的动坐标系里的分量。）还指出：对无漂移系统，微分平坦性 ⟺ 能化成链式形式，两者是一枚硬币的两面。

5. 规划：路径 + 时间律、平坦输出、最优轨迹

和机械臂一样，轨迹 =几何路径 q(s)+时间律 s(t)。但非完整系统多一道要求：路径上每一点的切向量都得满足约束A(q) q′ = 0，也就是说路径的切线必须和车头一致——所以切线不连续的折线路径是不允许的，除非车停下来原地转向再走。

平坦输出（flat outputs）是这里最好用的东西：独轮车和自行车的笛卡儿坐标 (x, y) 就是平坦输出。给定一条 (x(s), y(s))，朝向和输入全都能代数地算出来：

$\theta = Atan2(y', x') + k\pi\text{，} \bar{v} = \pm \sqrt{x'^{2} + y'^{2}}\text{，} \bar{\omega} = (y''x' - x''y')/(x'^{2} + y'^{2})\text{（}-11.47\text{）}$

也就是说：只要随手写一条插值 x(s)、y(s) 的曲线（比如三次多项式），并且把两端的切线方向按起止朝向对齐，剩下的 θ、v、ω 自动算出来，而且天然满足非完整约束。这是非完整规划最重要的一条捷径。

但有坑：这条捷径要求 x′、y′ 不同时为零，所以原地纯转向（路径退化成一点）它做不出来；ẋd → 0时后面的跟踪控制器也会发散。

最优轨迹：最有名的是时间最优。Pontryagin 极小值原理推出"充分族"——最优解一定由两种基本弧拼成：圆弧（v = ±v_max、ω = ±ω_max，半径恒为 v_max/ω_max）和直线段（ω = 0）。共 9 组、48 种序列，这就是著名的Reeds–Shepp 曲线。

小讲 4：跟踪与镇定的差别，以及动力学模型与里程计

6. 运动控制：跟踪 ≠ 镇定

通常假定下层已有轮速控制回路（很多移动机器人根本不给你直接指令力矩的接口），所以高层就在运动学模型上设计速度指令 v、ω。两类基本任务：

轨迹跟踪（trajectory tracking）：追一条随时间变化的参考轨迹 (x_d(t), y_d(t))。工业上最重要，因为轨迹是事先规划好的，跟着走最不容易撞。
位姿镇定（posture regulation）：开到某个给定位姿 q_d。不用预先规划，但接近过程走什么路线由不得你。

停下来想一想

为什么"停到一点"这么难？这是 Brockett 定理的直接后果：对q̇ = G(q)u这类输入少于状态、且输入向量场线性无关的无漂移系统，不存在连续的、只依赖状态的静态反馈能把系统渐近镇定。所以位姿镇定必须用时变的或不连续的反馈律——给的不连续方案就是把问题搬到极坐标 (ρ, γ, δ) 里做。反过来说，跟踪问题不存在这个障碍，光滑反馈有的是。

跟踪做得最顺的一条路子是近似线性化：把误差动力学在参考轨迹附近线性化，然后用教科书式的线性反馈。

7. 动力学模型与里程计定位（、）

动力学：和机械臂一样由拉格朗日方程出发，但多了一项约束反力A(q)λ（λ 是拉格朗日乘子，就是那个"不让你侧滑"的力）。左乘GT(q)可把 λ 消掉，得到降阶模型

$\dot{v} + m(q, v) = G^{T}(q) S(q) \tau\text{，} M(q) = G^{T}(q) B(q) G(q)$

再用 τ = (G^TS)⁻¹(M a + m) 可以通过反馈部分线性化成q̇ = G(q)v, v̇ = a，于是控制问题又被推回到运动学层。代价是：要知道精确的动态参数，还要能测到完整的 q 和 q̇。

里程计（odometry）：移动机器人没有"直接读出位置"的编码器，只有量轮子转角的增量式编码器，只能往前推。一个采样周期内若 v、ω 恒定，车走的是一段圆弧 R = v/ω。三种递推：

欧拉法（11.83）：xk+1 = xk + vkTs cos θk，误差来自"假设整个周期内朝向不变"，T_s越小越准。
二阶龙格–库塔（11.84）：用周期内朝向的平均值，明显改善。
精确积分（11.85）：借链式形式可得闭式xk+1 = xk + (vk/ωk)(sin θk+1 − sin θk)。

实际用编码器读数更好：差速驱动有Δs = (r/2)(ΔφR + ΔφL)、Δθ = (r/d)(ΔφR − ΔφL)（之后）。但无论哪种积分，里程计都会随时间漂移：打滑、轮径标定误差、（用近似方法时）数值误差都会累积，而且它给出的估计永远不可能比初始值 q₀更准。所以长距离导航必须有主动定位（外部传感器 + 地图，用 EKF 或粒子滤波修正）。

停下来想一想：把滚动圆盘的约束ẋ sin θ − ẏ cos θ = 0代进可积性判据（11.9），解出的积分因子 γ 等于几？独轮车的李括号 [g₁, g₂] 指向哪个方向？

三、关键公式

小讲 5：三类公式——约束对照、独轮车模型与跟踪误差动力学

1. 两类约束的对照

$\begin{aligned} \text{完整（可积）：} h_{i}(q) = 0\text{，} i = 1, \dots ,k < n \implies \text{可达空间降到} n-k \text{维，坐标可消去} \\ \text{运动学（}Pfaffian\text{）：} a_{i}^{T}(q) \dot{q} = 0\text{，} \text{即} A^{T}(q) \dot{q} = 0 \implies \text{只约束速度} \\ \text{非完整（不可积）：} ⟨g_{1}, \dots ,g_{m}, [g_{1},g_{2}], \dots ⟩ \text{张满} n \text{维} \iff \text{系统可控} \iff \text{位形全可达} \end{aligned}$

	完整约束	非完整约束
写了谁	位置 h(q)=0	速度 AT(q)q̇=0
可积吗	是	否
位形空间	被压到 n−k 维子流形	仍是 n 维，全可达
瞬时自由度	n − k	n − k
举例	机械臂的转动副、保持末端位姿不动的冗余机械臂	轮子纯滚动、自由漂浮的空间机械臂（角动量守恒）

**直觉：**完整约束是"墙"，把你关在一个低维房间里；非完整约束是"单行道"，你哪儿都能去，但不能横穿。

2. 独轮车模型

$\dot{x} , \dot{y} , \dot{\theta} ]^{T} = [ \cos \theta , \sin \theta , 0 ]^{T} v + [ 0 , 0 , 1 ]^{T} \omega$

符号	含义
x, y	接触点（或轮子中心）在世界系中的坐标
θ	航向角，相对 x 轴
v	驱动速度 = 轮绕自身轴的角速度 × 半径 r
ω	转向速度 = 轮绕竖直轴的角速度

**直觉：**三个状态、两个输入——输入比状态少，这就是 Brockett 那条限制的根源。

3. 轨迹跟踪的误差动力学与线性反馈

$KaTeX parse error: Undefined control sequence: \zetaa at position 388: …{1} = k_{3} = 2\̲z̲e̲t̲a̲a̲\text{，} k_{2} …$

直觉：这正是你在《自动控制原理》二阶系统那一章背过的东西——一个负实根加一对主导共轭复根，ζ 是阻尼比、a 是自然频率。代价是闭环矩阵的 K 里含 ω_d(t)、v_d(t)，是时变的：只有参考轨迹是圆或直线（v_d、ω_d为常数）时才严格稳定；另外 v_d→ 0 时 k₂发散，所以这套方案只适用于持续运动的参考轨迹。

还给了两种更强的方案：非线性控制器（–11.72，用 Lyapunov + Barbalat 引理证全局收敛，可以跟踪"会停下来"的轨迹）和输入/输出线性化（把车身前方距离接触点 b 处的点 B 当作被控输出）。

停下来想一想：轨迹跟踪的线性增益 k₂在 v_d→ 0 时会变成什么样？为什么这套方案只适用于持续运动的参考轨迹？

小讲 6：两张图读非完整约束——瞬时禁止与多步可达

停下来想一想：图 1 右半部分三段机动合成的净位移指向哪个方向，它对应的是哪个数学对象？图 2 里那条红色虚线零运动线，禁止的是哪个速度分量？

四、例题 / 动手

例 1 差速驱动小车：左右轮转速 → 走的圆弧

某差速小车轮半径 r = 0.1 m，两轮间距 d = 0.5 m。右轮 ω_R= 2 rad/s，左轮 ω_L= 1 rad/s。

**第 1 步：**换算成独轮车的输入：

$\begin{aligned} v = r(\omega_{R} + \omega_{L})/2 = 0.1 \times 3 / 2 = 0.15 m/s \\ \omega = r(\omega_{R} - \omega_{L})/d = 0.1 \times 1 / 0.5 = 0.2 rad/s \end{aligned}$

**第 2 步：**由运动学模型知道它将沿着一段圆弧走，半径

$v/\omega = 0.15 / 0.2 = 0.75 m$

第 3 步：让它走 T = 2 s（期间 v、ω 恒定），转过的角度 Δθ = ωT = 0.4 rad，弧长 Δs = vT = 0.3 m。若初始 θ₀= 0，用精确公式（11.85）算终点：

$\begin{aligned} x_{1} = x_{0} + (v/\omega)(\sin \theta_{1} - \sin \theta_{0}) = 0 + 0.75 \times \sin 0.4 = 0.2921 m \\ y_{1} = y_{0} - (v/\omega)(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{0}) = 0 - 0.75 \times (\cos 0.4 - 1) = 0.0592 m \end{aligned}$

对照欧拉法会给出 x = Δs cos θ₀= 0.3、y = 0 —— 差约 8 mm，这就是"假设周期内朝向不变"付出的代价。

动手建议：把这三条递推写成 20 行 Python，让采样周期 T_s从 0.5 s 缩到 0.01 s，画出终端位置误差随 T_s的变化，你会亲眼看到数值积分误差是一阶/二阶收敛的。

例 2 为什么"不许横着走"却照样能停车：手算李括号

独轮车两个输入向量场：

$\begin{aligned} g_{1} = [ \cos \theta , \sin \theta , 0 ]^{\top} \text{（走）} \\ g_{2} = [ 0 , 0 , 1 ]^{\top} \text{（转）} \end{aligned}$

算它们的李括号[g1, g2] = (∂g2/∂q) g1 − (∂g1/∂q) g2：

$\begin{aligned} \partial g_{1}/ \partial q \cdot g_{2} = [ -\sin \theta , \cos \theta , 0 ]^{\top} \cdot 1\text{，} \partial g_{2}/ \partial q = 0 \\ \implies [g_{1}, g_{2}] = [ \sin \theta , -\cos \theta , 0 ]^{\top} \end{aligned}$

当 θ = 0 时它是 [0, −1, 0]^T，即纯侧向。它和 g₁、g₂线性无关 ⟹ dim Δ_A= 3 ⟹可控 ⟹ 约束非完整 ⟹ 侧方位一定停得进去，需要的李括号层数是 2，这就是"非完整度 κ = 2"的含义。自行车要算到第 3 层（κ = 3），所以它的机动比独轮车更"绕"。

停下来想一想：例 1 里欧拉法与精确积分算出的终点差了多少，误差来自哪个假设？例 2 里 κ = 2 说的是要算到第几层李括号？

五、常见误区

非完整约束减的是速度维数，不是位形维数

常见误区

误区 1：“非完整约束和完整约束一样，可以把一个坐标消掉。”

不行。完整约束把可达位形压到 n−k 维，可以换坐标；非完整约束只把每一瞬时的允许速度压到 n−k 维，位形空间一个维度都不减——哪怕局部也不减。所以 q 还得老老实实用 n 个数，还得按q̇ = G(q)u这种"输入比状态少"的模型来分析。

限制的是一步到位，不是能不能到

常见误区

误区 2：“不能横着平移，说明侧向的位置不可达。”

正好相反。回头看图 1 右半部分：先转向 → 再滚动 → 再回正，三步做下来净位移正是侧向的，中途没有一秒钟违反过滚动约束。非完整约束限制的只是"一步到位"，不是"能不能到"。

点镇定被 Brockett 条件结构性挡住

常见误区

误区 3：“点镇定无非是 PID 换个数的问题。”

对非完整系统这件事是结构上不可行的。Brockett 必要条件直接否定：对q̇ = G(q)u这种输入少于状态、输入向量场线性无关的无漂移系统，不存在连续、时不变的静态状态反馈能做到渐近镇定。给的可行方法是时变反馈或不连续反馈（如极坐标方案 11.81–11.82）。反过来，跟踪一条持续运动的参考轨迹是完全可以的。

里程计漂移的根源不是积分公式不好

常见误区

误区 4：“里程计误差主要是数值积分误差，换个好点的积分公式就行了。”

不是。说得很清楚：误差来自打滑、运动学参数标定误差（比如轮半径不准、左右轮距不对），这些是"输入本身就不准"，再好的积分公式也救不回来，而且误差随路径长度单调累积（漂移）。另外，推出来的估计永远不可能比初始估计 q₀更准。所以长时间、长距离导航一定要用主动定位：外部传感器 + 地图 + EKF/粒子滤波去修正。

停下来想一想：为什么q̇ = G(q)u这类系统不存在连续、时不变的静态反馈镇定律？里程计推出来的位姿为什么不可能比初始估计 q₀更准？

六、本讲小结

停下来想一想：为什么说非完整约束限制的是速度而不是位置？长距离导航为什么不能只靠里程计？

要点回顾

轮式机器人的核心是纯滚动非完整约束：约束的是速度不是位置，所以位形空间全可达，只是每个瞬间少一个自由度。
完整 ⟺ 可积（用积分因子 γ 与判断）；非完整 ⟺ 运动学模型（11.10）可控，用李括号和可达秩条件dim ΔA = n判定。
独轮车ẋ = v cos θ, ẏ = v sin θ, θ̇ = ω：3 状态 2 输入，κ = 2；自行车4 状态 2 输入，κ = 3。差速驱动、同步驱动都与独轮车运动学等价。
链式形式是非完整系统的"万能标准型"，可闭式积分，便于规划；对无漂移系统，它与微分平坦性等价。独轮车和自行车的平坦输出就是**(x, y)**——这是规划的一条大捷径。
轨迹跟踪与位姿镇定是两回事：跟踪可以靠光滑反馈（近似线性化甚至输入/输出线性化），镇定被 Brockett 条件挡住，只能用时变或不连续反馈。
里程计靠积分推位姿，误差随时间漂移；长距离必须上主动定位。