【机器人学习】小白学习第11讲：动力学（上）——用拉格朗日法算出"每个关节得出多少力矩"

一句话核心：运动学只管"位姿对不对"，动力学管的是"要让机械臂按某个加速度动起来，每个关节电机到底得出多大力矩"。拉格朗日法是算它的万能套路：先算能量，再对能量求导。

• 本讲目标：掌握 L = T − U 与拉格朗日方程；读懂标准形式 B q̈ + C q̇ + F_v q̇ + g = τ 每一项的物理意义；能独立跟完两连杆平面臂的完整推导。

一、为什么需要这个

小讲 1：为什么运动学不够用，动力学要算的是力矩

1.1 为什么运动学不够用

你已经会正/逆运动学和雅可比了：给定关节角，能算出末端在哪；给定末端速度，能算出关节速度。但这些都不含有"力"和"质量"。

生活比喻：同一个动作——把手臂平举。

• 空着手做：很轻松（对应"没有负载"）；
• 手里举 10 kg 哑铃：立刻沉（对应"末端有负载"）；
• 慢慢举 vs 猛地甩起来：后者费力得多，而且甩到一半手腕还会被"带偏"（对应"加速度项 + 科氏/离心项"）。

运动学只描述"手臂举到哪个角度"，动力学描述"肌肉要出多少力"。机器人没有本体感觉，全靠动力学模型算。

1.2 动力学拿来干什么：三个用途

开篇就点明动力学的三个用途：（1）仿真——不用真机就能测试控制策略和规划方法；（2）结构设计——算出典型运动需要多大的力和力矩，才能选关节、传动和驱动器；（3）控制算法设计。

1.3 拉格朗日法的特点：概念简单、与坐标系无关

本讲讲第一种方法：拉格朗日法Lagrange formulation。它的特点是概念简单、步骤系统，而且与参考坐标系的选取无关——只要选好一组能描述连杆位置的广义坐标 q 就行。

停下来想一想：空手平举、举 10 kg 哑铃、猛地甩起来——这三种情况分别对应标准方程里的哪一项（惯性项 / 重力项 / 科氏离心项）？

二、核心概念

小讲 2：拉格朗日三步套路与刚体动能的两项拆分

2.1 拉格朗日法的三步套路

提示

比喻：记账。你要知道"这个月能剩多少钱"，不用逐笔追踪每一次消费，只要知道总收入 − 总支出。拉格朗日法也一样：它不管每个零件之间互相推来推去的内部力（那些力成对抵消），只盯住两个标量——动能 T 和势能 U。

1. 算总动能 T：每个连杆 + 每个电机转子，平动 + 转动，全部加起来。
2. 算总势能 U：只有重力（假设刚性连杆），等于 −Σ mᵢ g₀ᵀ pᵢ。
3. 对 L = T − U 求导：套拉格朗日方程 d/dt(∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = ξ。

2.2 一个刚体的动能怎么算

把连杆切成无数微元，积分之后发现：交叉项（平动 × 转动）恰好为 0（因为质心的定义），最后只剩下两项。

$$T_{\ell i}=\frac{1}{2}\cdot m_{\ell i}\cdot {\dot{p}}_{\ell i}^{\top }{\dot{p}}_{\ell i}+\frac{1}{2}\cdot {\omega }_i^{\top }\cdot R_i{I}_{\ell i}^i{R}_i^{\top }\cdot {\omega }_i$$

符号	含义	大白话
m_ℓi	连杆 i 的质量	这根杆多重
ṗ_ℓi	连杆 i 质心的线速度	杆的重心跑得多快
ωᵢ	连杆 i 的角速度	杆转得多快
Iⁱ_ℓi	连杆 i 相对于质心的惯性张量（在连杆自身坐标系里是常数矩阵）	杆绕自己重心转起来有多"沉"
R_i	从连杆 i 坐标系到基坐标系的旋转矩阵	Iⁱ_ℓi = R_i Iⁱ_ℓi R_iᵀ 是把"常量惯量"转到基坐标系

直觉上这是在说什么：一个刚体的动能 =重心平移的动能+绕重心自转的动能，两项直接相加，中间没有交叉项。这一条让整个推导瞬间变简单。

注意：惯性张量写在基坐标系里是随构型变化的（因为杆的位置变），但写回连杆自身坐标系就是常数——所以坚持把 ω 也表示在连杆系里。

小讲 3：用雅可比换成关节速度，得到惯性矩阵 B(q) 与势能 U(q)

2.3 用雅可比把速度换成关节速度

上面那式子里的 ṗ_ℓi 和 ωᵢ 都是"直角坐标速度"，而我们想要的是关节变量 q。用几何法求雅可比，对中间连杆也同样成立：

$$\begin{array}{r}{\dot{p}}_{\ell i}=J_P^{(li)}\cdot \dot{q}{\omega }_i=J_O^{(li)}\cdot \dot{q}\\ J_P\text{的第}j\text{列：}{z}_{j-1}\text{（棱柱}/\text{移动关节）}\\ z_{j-1}\times (p_{\ell i}-p_{j-1})\text{（旋转关节）}\\ J_O\text{的第}j\text{列：}0\text{（移动关节）}\\ z_{j-1}\text{（旋转关节）}\end{array}$$

关键点：J_P 和 J_O 的列，只到第 i 列为止，后面全是 0。因为第 i 根杆只会被它前面的关节带动，后面的关节动不影响它。这就是"开链结构"带来的简化。

代回去，把所有连杆和所有转子（转子动能形式完全类似，额外有个减速比 k_ri 和转子轴单位向量 z_mi）加起来，总动能变成一个漂亮的二次型：

$$
\begin{aligned}
T = \tfrac{1}{2} \cdot \dot{q}^{\top} B(q) \dot{q} \
B(q) = \sum {i} [ m{\ell i} J^{(li)\top}{P} J^{(li)}{P} + J^{(li)\top}{O} R{i} I^{i}{\ell i} R{i}^{\top} J^{(li)}_{O} \

• m_{mi} J^{(mi)\top}{P} J^{(mi)}{P} + J^{(mi)\top}{O} R{mi} I^{mi}{mi} R{mi}^{\top} J^{(mi)}_{O} ]
  \end{aligned}
  $$

B(q) 惯性矩阵inertia matrix，n×n。明确列出它的三条性质：

• 对称（B = Bᵀ）；
• 正定（任何非零 q̇ 都有 T = ½q̇ᵀBq̇ > 0 —— 动起来了动能必然为正，这在物理上是显然的，在控制上意味着 B⁻¹ 一定存在）；
• 一般随构型变化（所以写成 B(q) 而不是 B）。

大白话：B 就是"机械臂在当前这个姿势下的等效惯量"。手臂伸直时绕肩转动惯量大，缩回来就小——B 把这个直觉定量化了。

2.4 势能只跟位置有关

$$U=-\sum _i(m_{\ell i}{g}_0^{\top }{p}_{\ell i}+m_{mi}{g}_0^{\top }{p}_{mi})$$

符号	含义
g₀	基坐标系下的重力加速度向量，例如平面臂取 g₀ = [0 −g 0]ᵀ（y 轴朝上时重力沿 −y）
p_ℓi , p_mi	连杆质心 / 转子质心在基坐标系下的位置

关键结论：U 通过 p_ℓi、p_mi 只依赖于关节位置q，跟关节速度 q̇ 无关。这一条在后面求导时能省掉一半工作量。

停下来想一想：第 i 根杆的雅可比 J_P 为什么从第 i+1 列开始全是 0？这反映了开链结构的什么性质？

三、关键公式

小讲 4：拉格朗日方程、标准形式五项与两个关键性质

3.1 拉格朗日方程

$$\begin{array}{r}L(q,\dot{q})=T(q,\dot{q})-U(q)\\ d/dt(\partial L/\partial {\dot{q}}_i)-\partial L/\partial q_i={\xi }_{i}i=1,\dots ,n\\ \text{紧凑写法：}d/dt(\partial L/\partial \dot{q}{)}^{\top }-(\partial L/\partial q{)}^{\top }=\xi \end{array}$$

符号	含义	大白话
L	拉格朗日量 = 动能 − 势能	系统的"净活跃程度"
qᵢ	第 i 个广义坐标（对开链机械臂就是关节变量）	描述这个系统最少需要几个数
ξᵢ	与 qᵢ 对应的广义力	作用在这个关节上的"净力矩"
ξᵢ 的组成	关节驱动力矩 τᵢ − 关节摩擦力矩 − 末端接触力折算到关节的力矩	非保守力才能进 ξ（重力已算进 U 了）

直觉上这是在说什么：这个方程是牛顿第二定律 F = ma 在"任意坐标"下的推广。∂L/∂q̇ 相当于"广义动量"，对它求时间导就是"动量的变化率"；∂L/∂q 相当于"回复力/保守力"；两者相减等于外力。你已经学过拉氏变换和特征根，后面会看到这套方程线性化之后就是一个二阶系统。

3.2 标准形式（本讲最重要的一行）

$$B(q)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+F_v\dot{q}+F_s\mathrm{sgn}(\dot{q})+g(q)=\tau -J^{\top }(q)h_e$$

项	名字	物理意义	生活中的对应
B(q) q̈	惯性项	让关节产生加速度所需的力矩。B 的对角元 b_ii = 其他关节锁死时，关节 i 轴上看到的转动惯量；非对角元 b_ij = 关节 j 加速对关节 i 的牵连	把哑铃从静止猛地举起的那一下
C(q, q̇) q̇	科氏 / 离心项	由速度引起的耦合力矩：h_ijj q̇_j² 是离心效应（关节 j 的速度甩到 i），h_ijk q̇_j q̇_k 是科氏效应。注意 h_iii = 0	甩水桶时手臂被带着走的横向力
F_v q̇	粘性摩擦	转得越快阻力越大，F_v 是对角阵	手在蜂蜜里划动
F_s sgn(q̇)	库仑摩擦（静摩擦的简化模型）	与速度大小无关、只与方向有关的阻力	推动重物前要克服的"粘滞"
g(q)	重力项	在当前构型下，为"托住"机械臂本身所需的关节力矩	平举哑铃不动时手臂的酸痛
Jᵀ(q) h_e	末端接触力	末端与环境接触力 h_e 折算到关节上的力矩（形式与静力学 Jᵀ h 一致）	手顶在墙上

直觉上这是在说什么：左边五项加起来 = 电机必须出的力矩 τ。换句话说：τ = (我要加速) + (我被甩) + (摩擦损耗) + (我要托住自己)。做控制时，这四部分里只有 B q̈ 是"我想要的运动"，其余全是"需要被补偿掉的干扰"——这就是下一讲之后"计算力矩控制 / 动力学前馈"的出发点。

还给了分量写法（7.40）：Σⱼ b_ij q̈_j + Σⱼ Σₖ h_ijk q̇_k q̇_j + g_i = ξᵢ，其中 h_ijk = ∂b_ij/∂q_k − ½ ∂b_jk/∂q_i。

3.3 两个重要性质

① Ḃ − 2C 是反对称矩阵skew-symmetry，(7.47)(7.48)

如果把 C 的元素按的"第一类克里斯托弗符号"来选：

$$\begin{array}{r}{c}_{ijk}=\frac{1}{2}(\partial b_{ij}/\partial q_k+\partial b_{ik}/\partial q_j-\partial b_{jk}/\partial q_i)\\ c_{ij}=\sum _k{c}_{ijk}{\dot{q}}_k\end{array}$$

那么 N(q, q̇) = Ḃ(q) − 2C(q, q̇) 满足Nᵀ = −N，即任意向量 w 都有wᵀ N w = 0。

停下来想一想

为什么这件事值得记：因为它意味着 q̇ᵀ (Ḃ − 2C) q̇ = 0，也就是科氏/离心项不产生也不消耗能量，只是把能量在关节之间搬来搬去。后面第 13 讲证明"计算力矩 + PD 控制器"的闭环稳定性时，构造李雅普诺夫函数 V = ½q̇ᵀBq̇ + …，求导后出现的 Ḃ − 2C 项就是靠这个性质被消掉的。**没有反对称性，稳定性证明就做不下去。**本讲只需记住结论，不必深究证明。

特别提醒：q̇ᵀ N q̇ = 0 这个较弱的结论（7.49）对任意选法的 C 都成立（它其实就是能量守恒），而 wᵀ N w = 0 这个强结论只在按 (7.44)(7.45) 选 C 时成立。

② 对动力学参数是线性的linearity in the dynamic parameters

把"连杆 i + 装在它上面的电机 i+1 的转子"打包成一个增广连杆，用 Steiner 定理把惯量搬到统一参考点，动能和势能都会变成"参数 × 运动量"的一次式。结果：每个连杆只有11 个参数

$$\begin{array}{r}{\pi }_i=[m_i,m_i{\ell }_{Cix},m_i{\ell }_{Ciy},m_i{\ell }_{Ciz},\\ {\hat{I}}_{ixx},{\hat{I}}_{ixy},{\hat{I}}_{ixz},{\hat{I}}_{iyy},{\hat{I}}_{iyz},{\hat{I}}_{izz},I_{mi}{]}^{\top }\\ \tau =Y(q,\dot{q},\ddot{q})\cdot \pi \end{array}$$

Y 叫回归矩阵regressor，(n×p) 矩阵，只含关节位置/速度/加速度，不含任何质量惯量；π 是 (p×1) 的常参数向量，p ≤ 13n（把粘性摩擦 F_vi 和库仑摩擦 F_si 也算进去就是每关节 13 个）。

这个性质看着平淡，却极其重要：它把"猜参数"变成了一个线性最小二乘问题，下一讲的辨识全靠它。

停下来想一想：标准方程 B(q)q̈ + C q̇ + F_v q̇ + F_s sgn(q̇) + g = τ 里，做控制时只有哪一项是"我想要的运动"？其余各项该怎么处理？

图 1：标准形式 (7.42) 各项的物理意义对照。做动力学前馈控制时，控制器就是要把 C q̇ + F_v q̇ + g 这几项"提前算出来并抵消掉"，让剩下的系统看起来像一个纯惯性 B q̈。

**

小讲 5：两连杆参数图与标准方程各项的物理意义对照

停下来想一想：图 1 里 a₁ 和 ℓ₁ 分别表示什么？如果误把 ℓ 当成杆长，推导会在哪一步开始出错？

四、例题：完整推导两连杆平面臂的动力学

这是的经典例题，也是整个动力学里最值得亲手跟一遍的推导。记号：c₁ = cos ϑ₁，s₂ = sin ϑ₂，c₁₂ = cos(ϑ₁+ϑ₂)，以此类推。g₀ = [0 −g 0]ᵀ。

小讲 6：两连杆推导（一）：雅可比、惯性矩阵、C 与重力项

第 1 步：选广义坐标，写雅可比

$$\begin{array}{r}q=[{\vartheta }_1{\vartheta }_2{]}^{\top }\\ J_P^{(l1)}=\left[\begin{array}{c}-{\ell }_1{s}_{1}0\\ {\ell }_1{c}_{1}0\\ 00\end{array}\right]\\ J_P^{(l2)}=\left[\begin{array}{c}-a_1{s}_1-{\ell }_2{s}_{12}-{\ell }_2{s}_{12}\\ a_1{c}_1+{\ell }_2{c}_{12}{\ell }_2{c}_{12}\\ 00\end{array}\right]\\ J_O^{(l1)}=\left[\begin{array}{c}00\\ 00\\ 10\end{array}\right]J_O^{(l2)}=\left[\begin{array}{c}00\\ 00\\ 11\end{array}\right]\end{array}$$

看懂 J⁽ˡ²⁾_P 第一列：它由两项组成——a₁s₁ 来自"关节 1 转动带动整个连杆 2 的基座（关节 2）平移"，ℓ₂s₁₂ 来自"连杆 2 自己的质心相对关节 2 的平移"。两连杆平面臂之所以有耦合，根源就在这里。

转子的雅可比：J⁽ᵐ¹⁾_P 全零（转子 1 质心在原点，不动）；J⁽ᵐ²⁾_P = [−a₁s₁ 0; a₁c₁ 0; 0 0]；J⁽ᵐ¹⁾_O 第三行 [k_r1 0]；J⁽ᵐ²⁾_O 第三行 [1 k_r2]（转子 2 的角速度 = 连杆 1 的角速度 + 自身相对转速 k_r2 ϑ̇₂）。

图 2：两连杆平面臂的动力学参数。红点是两根杆的质心 C₁、C₂。假定电机装在关节轴上、转子质心就在相应坐标系原点（p_mi = p_{i−1}，z_mi = z_{i−1}）。两根杆都在同一平面内运动，所以角速度都沿 z₀ 方向，可以直接用标量转动惯量 I_ℓi。

**

第 2 步：由 B(q) = Σ (…) 得到惯性矩阵

$$
\begin{aligned}
b_{11} = I_{\ell} {1} + m{\ell} {1} \ell {1}^{2} + k{r}{1}^{2} I_{m}_{1} \

• I_{\ell} {2} + m{\ell} {2} ( a{1}^{2} + \ell {2}^{2} + 2 a{1} \ell {2} c{2} ) \
• I_{m}{2} + m{m}{2} a{1}^{2} \
  b_{12} = b_{21} = I_{\ell} {2} + m{\ell} {2} ( \ell {2}^{2} + a{1} \ell {2} c{2} ) + k{r}{2} I{m}{2} \
  b{22} = I_{\ell} {2} + m{\ell} {2} \ell {2}^{2} + k{r}{2}^{2} I_{m}_{2}
  \end{aligned}
  $$

观察点	说明
b₁₁ 里出现了 c₂	说明关节 1 看到的惯量取决于肘关节的弯曲程度——手臂伸直时惯量大，弯起来时小。这就是"构型相关"
b₁₂ = b₂₁ ≠ 0	两个关节的加速度互相牵连，B 不是对角阵
b₂₂ 里没有 c₂	关节 2 的惯量就是"连杆 2 绕自己关节转"的惯量，与 ϑ₂ 无关
2 a₁ ℓ₂ c₂ 项	来自 |J⁽ˡ²⁾_P q̇|² 展开时的交叉项，是耦合的来源
k_r₂ I_m₂（非对角）vs k_r₁² I_m₁（对角）	特别解释：非对角上的 k_r₂ I_m₂ 来自"转子总角速度 = 前一级连杆角速度 + 自身转速"；减速比大时可近似忽略，那时电机惯量只以 k_ri² I_mi 出现在对角线上

第 3 步：算克里斯托弗符号，得到 C

KaTeX parse error: Double subscript at position 178: …} = - m_{\ell} _̲{2} a_{1} \ell …

直觉上这是在说什么：唯一的非零系数就是 h = −m_ℓ₂ a₁ ℓ₂ s₂。注意 s₂ = sin ϑ₂——当 ϑ₂ = 0（手臂完全伸直）时 h = 0，科氏/离心效应全部消失。这符合物理直觉：伸直了就没有"甩"的几何了。

第 4 步：重力项

KaTeX parse error: Double subscript at position 39: …} = ( m_{\ell} _̲{1} \ell _{1} +…

读法：g₁ 由两部分组成——"连杆 1 自重 + 连杆 2 和电机 2 压在关节 1 上（力臂 a₁）“产生 (… )g c₁，加上"连杆 2 自重”（力臂由 ϑ₁+ϑ₂ 决定）产生的 m_ℓ₂ ℓ₂ g c₁₂。g₂ 只有连杆 2 自己的那份。

小讲 7：两连杆推导（二）：运动方程、反对称验证与参数线性

第 5 步：合起来，得到运动方程

$$
\begin{aligned}
[ I_{\ell} {1} + m{\ell} {1} \ell {1}^{2} + k{r}{1}^{2}I_{m}{1} + I{\ell} {2} + m{\ell} {2}(a{1}^{2} + \ell {2}^{2} + 2a{1} \ell {2}c{2}) + I_{m}{2} + m{m}{2}a{1}^{2} ] \ddot{\vartheta}_{1} \

• [ I_{\ell} {2} + m{\ell} {2}( \ell {2}^{2} + a{1} \ell {2}c{2}) + k{r}{2}I{m}{2} ] \ddot{\vartheta}{2} \

• 2 m_{\ell} {2} a{1} \ell {2} s{2} \dot{\vartheta}{1} \dot{\vartheta}{2} - m_{\ell} {2} a{1} \ell {2} s{2} \dot{\vartheta}_{2}^{2} \

• ( m_{\ell} {1} \ell {1} + m{m}{2}a_{1} + m_{\ell} {2}a{1} ) g c_{1} + m_{\ell} {2} \ell {2} g c{12} = \tau{1} \
  [ I_{\ell} {2} + m{\ell} {2}( \ell {2}^{2} + a{1} \ell {2}c{2}) + k{r}{2}I{m}{2} ] \ddot{\vartheta}{1} \
• [ I_{\ell} {2} + m{\ell} {2} \ell {2}^{2} + k{r}{2}^{2}I_{m}{2} ] \ddot{\vartheta}{2} \
• m_{\ell} {2} a{1} \ell {2} s{2} \dot{\vartheta}{1}^{2} + m{\ell} {2} \ell {2} g c{12} = \tau{2}
  \end{aligned}
  $$

核对几个细节：

• 第一式里的 −2 m_ℓ₂a₁ℓ₂s₂ ϑ̇₁ϑ̇₂ 是科氏项（两个关节的速度相乘），−m_ℓ₂a₁ℓ₂s₂ ϑ̇₂² 是离心项（关节 2 自己的速度平方甩到关节 1）；
• 第二式里只有 +m_ℓ₂a₁ℓ₂s₂ ϑ̇₁²，是离心项（关节 1 的速度甩到关节 2）；关节 2 上没有科氏项，因为末端相对连杆 2 是固定的；
• 没有摩擦项，是因为在这里假定"无摩擦、无末端接触力"。

第 6 步：验证反对称性

$$\begin{array}{r}\dot{B}=\left[\begin{array}{cccc}2h& {\dot{\vartheta }}_2& h& {\dot{\vartheta }}_2\end{array}\right]2C=\left[\begin{array}{ccc}2h& {\dot{\vartheta }}_2& 2h({\dot{\vartheta }}_1+{\dot{\vartheta }}_2)\\ h& {\dot{\vartheta }}_2& 0\\ -2h& {\dot{\vartheta }}_1& 0\end{array}\right]\\ N=\dot{B}-2C=\left[\begin{array}{cccccc}0& -2h& {\dot{\vartheta }}_1& -& h& {\dot{\vartheta }}_2\end{array}\right]\to N^{\top }=-N✔\left[\begin{array}{cccccc}2h& {\dot{\vartheta }}_1& +& h& {\dot{\vartheta }}_2& 0\end{array}\right]\end{array}$$

对角为 0、非对角互为相反数，正是反对称矩阵的样子。这个结论会被第 13 讲的稳定性证明直接拿去用。

第 7 步：写成对参数线性的形式

KaTeX parse error: Double subscript at position 133: …{1} = m_{\ell} _̲{1} + m_{m}_{2}…

指出：两连杆平面臂按最大可能算有 22 个参数（2×11），但真正出现在模型里的只有8 个；进一步做参数消减后，最少的只有5 个。这就是下一讲要说的"可辨识性"问题。

对照：另外两种典型结构

结构	惯性矩阵 B	科氏/离心 C	意义
两连杆笛卡尔臂	常数对角阵：diag( m_ℓ₁+m_m₂+k_r₁²I_m₁+m_ℓ₂ , m_ℓ₂+k_r₂²I_m₂ )	C = O	动力学完全解耦，两个轴各管各的。这里要强调这既归功于笛卡尔结构，也归功于"两关节轴互相垂直"这个特殊几何（见 Problem 7.1）
两连杆平面臂	构型相关、非对角	≠ O	典型的耦合系统
平行四边形臂	只要按 m_ℓ₃′ ℓ̄₃′ / (m_ℓ₂′ ℓ₂′) = a₁′/a₁″ 设计质心位置，B 就能做成对角且与构型无关	无科氏/离心项	封闭运动链的优势：运动学与平面臂等价，但动力学模型轻得多，对轨迹规划和控制极有利。这是工业机械臂大量采用闭链的原因

数值感受一下各项的量级

KaTeX parse error: Double subscript at position 79: …0.5 m m_{\ell} _̲{1} = m_{\ell} …

给出的力矩分解图（Fig. 7.6）说明了几件事：

• 惯性力矩（inert_11）完全跟着加速度曲线走——加速度多大，力矩就多大；
• inert_22 是分段常数，因为关节 2 轴的转动惯量是常数；
• inert_12 = inert_21，验证了惯性矩阵的对称性（两条轨迹的加速度剖面相同）；
• 科氏效应只出现在关节 1，因为末端相对连杆 2 是固定的、相对连杆 1 是移动的；
• 惯性力矩（数千 N·m 量级）远远大于重力项（几百 N·m）——高加速运动时，惯性项占绝对主导。

停下来想一想：两连杆平面臂在 ϑ₂ = 0（手臂完全伸直）时，科氏/离心项会变成多少？为什么这个结果符合物理直觉？

五、常见误区

5.1 记号别混：ℓ 是质心距离，a 是杆长

常见误区

**误区 1：把 ℓ 和 a 搞混。**a₁、a₂ 是杆长（关节轴之间的距离），ℓ₁、ℓ₂ 是质心到各自关节轴的距离。很多同学推错公式就是因为把这两个当成同一个量。记住：ℓ 通常约等于 a/2（均质杆），但它们是独立参数。

5.2 B(q) 不是常数矩阵

常见误区

**误区 2：以为 B(q) 是个常数矩阵。**只有笛卡尔臂那种特殊结构才是常数。一般机械臂的 B 随构型变化，所以才有 C 项（C 本质上来自 ∂b_ij/∂q_k）。看到 B 随 q 变，就该预期有科氏/离心项。

5.3 科氏项不耗能，但 C 的选法不唯一

常见误区

误区 3：以为科氏/离心项会耗能。不会。反对称性 q̇ᵀ(Ḃ−2C)q̇ = 0 说明它只做能量在关节间的搬运，不做功。真正耗能的只有摩擦项 F_v q̇ 和 F_s sgn(q̇)。

常见误区

误区 4：以为 C 矩阵是唯一的。明说：满足 Σⱼ c_ij q̇_j = ΣⱼΣₖ h_ijk q̇_k q̇_j 的 C 有很多种选法。只有按克里斯托弗符号 (7.45) 选，才能得到 Ḃ−2C 反对称这个强性质。别的选法只保证 q̇ᵀ(Ḃ−2C)q̇ = 0。

5.4 电机惯量要乘减速比的平方

常见误区

误区 5：把电机惯量写成 I_m 就完事。电机在关节 i 上，但经过减速比 k_ri，折算到关节侧的惯量是k_ri² I_mi（出现在对角线上）。平方关系意味着减速比 100 时，转子惯量被放大 1 万倍——所以电机惯量常常不能忽略。

停下来想一想：减速比 k_ri = 100 时，转子惯量折算到关节侧被放大多少倍？为什么是平方关系而不是一次方？

六、本讲小结

停下来想一想：把标准形式在某个工作点线性化、忽略耦合和摩擦后，每个关节退化成什么方程？它对应你在《自动控制原理》里学过的什么模型？

要点回顾

1. 动力学回答：“要让机械臂按某加速度动，每个关节得出多少力矩”。拉格朗日法套路：算 T、算 U、套 L = T − U 与 d/dt(∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = ξ。
2. 刚体动能 = ½m ṗ_Cᵀṗ_C + ½ ωᵀ I ω（平动 + 转动，无交叉项）；总动能 = ½ q̇ᵀ B(q) q̇，B 对称、正定、构型相关。
3. 标准形式B(q)q̈ + C(q,q̇)q̇ + F_v q̇ + F_s sgn(q̇) + g(q) = τ − Jᵀ(q)h_e：惯性、科氏/离心、粘性摩擦、库仑摩擦、重力、末端接触力。
4. 两连杆平面臂：b₁₁ 含 2a₁ℓ₂c₂，唯一的非零 Christoffel 组合是 h = −m_ℓ₂a₁ℓ₂s₂；ϑ₂ = 0（伸直）时所有速度耦合项消失。
5. 两个关键性质：Ḃ − 2C 反对称（后面证明控制器稳定性的钥匙）、对动力学参数线性 τ = Y π（后面做参数辨识的基础）。

一句话总结：算能量，再求导

一句话总结：拉格朗日法把"算力矩"变成了"算能量再求导"，而算出来的结果永远长成 B q̈ + C q̇ + F q̇ + g = τ 这个样子——左边四项就是"加速、被甩、摩擦、托住自己"。

线性化之后就是熟悉的二阶系统