从控制信号到机器人运动：拆解 $u\to$ 执行器动态 $\to {\tau }_a\to$ 多体动力学 $\to \ddot{q}\to q,\dot{q}$

很多初学者会问：
为什么机器人动力学模型总是和“力矩”绑在一起？整个模型到底在模拟什么？

一句话回答：

动力学模型模拟的是一条完整的物理因果链：
控制输入 $u$ 先经过执行器，变成关节力矩 ${\tau }_a$；关节力矩作用在机器人多体结构上，产生关节加速度 $\ddot{q}$；加速度再被积分成速度 $\dot{q}$ 和位置 $q$。

力矩不是终点，它只是这条链上的一个关键接口。

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一、总览：一条完整的因果链

先看整体流程：

$$u\to \text{执行器动态}\to {\tau }_a\to \text{机器人多体动力学}\to \ddot{q}\to q,\dot{q}$$

画成图就是：

控制器输出 u
   ↓
执行器动态：电气、流体、热、机械耦合
   ↓
关节力矩 τ_a
   ↓
机器人多体动力学：惯量、科氏、重力、摩擦、外力
   ↓
关节加速度 q̈
   ↓
积分
   ↓
关节速度 q̇、关节位置 q
   ↓
传感器反馈给控制器，形成闭环

严格来说，执行器动态会依赖关节速度 $\dot{q}$，机器人动力学又依赖执行器力矩 ${\tau }_a$，所以这是一个耦合系统。
但为了理解，我们可以先把这条链看成单向因果链。

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二、环节 1：控制输入 $u$

$u$ 是控制器最终送给驱动器的指令。
它可以是：

• 电机电压；
• 电机电流；
• PWM 占空比；
• 液压伺服阀电压；
• 气动比例阀开度；
• 压电驱动电压；
• SMA 加热电流。

不同执行器的 $u$ 物理量不同，但作用一样：
它是能量或信号入口。

控制器为什么给出这个 $u$？
因为它根据期望轨迹和传感器反馈，计算出当前应该施加多大的驱动量。

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三、环节 2：执行器动态

执行器动态的任务是：

$$u\to {\tau }_a$$

但它不是瞬时映射，而是有内部状态和动态过程。

一般可以写成：

$${\dot{x}}_a=f_a(x_a,u,\dot{q},{\tau }_L)$$

$${\tau }_a=g_a(x_a,u,\dot{q})$$

其中：

• $x_a$ 是执行器内部状态，比如电流、压力、温度、马氏体分数、阀芯位移；
• $\dot{q}$ 是关节速度，会影响反电动势、液压流量、气动压差等；
• ${\tau }_L$ 是负载力矩；
• ${\tau }_a$ 是执行器最终输出到关节的力矩。举几个例子。

1. 直流电机

电气动态：

$$L\frac{di}{dt}=u-Ri-K_e\dot{\theta }$$

电磁力矩：

$${\tau }_a=K_{t}i$$

所以电压 $u$ 不会立刻变成力矩，它先改变电流 $i$，电流再产生力矩。

2. 液压执行器

阀控液压缸：

$$Q_L=K_q{x}_v-K_c{P}_L$$

压力动态：

$$\frac{V_t}{4{\beta }_e}{\dot{P}}_L=Q_L-A_p{\dot{x}}_p-C_t{P}_L$$

输出力：

$$F=A_p{P}_L$$

对旋转关节，再通过机构变成力矩。

3. 气动执行器

气体可压缩，所以压力动态和热力学过程必须考虑：

$$\frac{dP}{dt}=\frac{\gamma RT}{V}({\dot{m}}_{in}-{\dot{m}}_{out})-\frac{\gamma P}{V}\frac{dV}{dt}$$

输出力由两侧压差决定：

$$F=P_1{A}_1-P_2{A}_2$$

4. 智能材料执行器

压电、SMA、EAP 等往往有滞回、蠕变、热动态或粘弹性。

例如 SMA：

$$m{c}_p\frac{dT}{dt}=I^2{R}_e-h{A}_s(T-T_{\infty })-m\Delta H\dot{\xi }$$

温度变化驱动相变，相变产生应力和力。

所以执行器动态这一环的核心是：

把控制输入 $u$ 转换成机器人本体能接受的广义力 ${\tau }_a$。

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四、环节 3：${\tau }_a$ 为什么是力矩？

因为机器人关节大多是旋转关节。

旋转运动中，和牛顿第二定律 $F=ma$ 对应的是：

$$\tau =J\ddot{\theta }$$

其中：

• $\tau$ 是力矩；
• $J$ 是转动惯量；
• $\ddot{\theta }$ 是角加速度。

如果关节是移动关节，那么对应的就是力 $F$ 和位移 $x$。

所以在机器人动力学中，统称它们为“广义力”。
旋转关节的广义力就是力矩，移动关节的广义力就是力。

从拉格朗日方程看：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=Q$$
如果 $q$ 是角度，那么 $Q$ 的量纲就是 $N\cdot m$，也就是力矩。
因此，${\tau }_a$ 不是人为规定必须叫力矩，而是由关节自由度自然决定的。

五、环节 4：机器人多体动力学

执行器输出 ${\tau }_a$ 后，它进入机器人多体动力学。

机器人整体动力学通常写成：

$$M(q)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+G(q)+{\tau }_f(\dot{q})={\tau }_a+{\tau }_{ext}$$

各项含义：

• $M(q)\ddot{q}$：惯性力矩；
• $C(q,\dot{q})\dot{q}$：科氏力和离心力项；
• $G(q)$：重力项；
• ${\tau }_f(\dot{q})$：摩擦项；
• ${\tau }_a$：执行器主动力矩；
• ${\tau }_{ext}$：外部接触力、负载、碰撞等。这个方程在说：

执行器给的力矩、外部给的力矩，要用来克服机器人本身的惯性、科氏力、重力、摩擦，剩下的才变成加速度。

把加速度解出来：

$$\ddot{q}=M(q{)}^{-1}\left[{\tau }_a+{\tau }_{ext}-C(q,\dot{q})\dot{q}-G(q)-{\tau }_f(\dot{q})\right]$$

所以，机器人多体动力学这一环的输出是：

$$\ddot{q}$$

也就是关节加速度。

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六、环节 5：从 $\ddot{q}$ 到 $q,\dot{q}$

加速度不是最终状态。
真实机器人运动需要速度和位置。

通过积分：

$${\dot{q}}_{k+1}={\dot{q}}_k+{\ddot{q}}_k\Delta t$$

$$q_{k+1}=q_k+{\dot{q}}_k\Delta t$$

实际仿真中常用更高精度的积分器，比如 RK4。

于是：

• $\ddot{q}$ 决定速度怎么变；
• $\dot{q}$ 决定位置怎么变；
• $q,\dot{q}$ 决定机器人当前姿态和运动状态。

这就是仿真里每个时间步发生的事：

1. 控制器算出 $u$；
2. 执行器模型算出 ${\tau }_a$；
3. 多体动力学算出 $\ddot{q}$；
4. 积分器更新 $\dot{q},q$；
5. 传感器和接触模型更新反馈与外力；
6. 进入下一时刻。

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七、闭环：链条不是单向的

上面为了清楚，写成了单向链：

$$u\to {\tau }_a\to \ddot{q}\to q,\dot{q}$$

但真实系统是闭环：

控制器 → u → 执行器 → τ_a → 机器人 → q, q̇
   ↑                                      ↓
   └──────────── 传感器反馈 ──────────────┘

控制器不断读取 $q,\dot{q}$，和期望轨迹比较，再重新计算 $u$。

所以动力学模型模拟的是：

在控制输入、执行器动态、外部负载和接触作用下，机器人状态如何随时间演化。

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八、正动力学与逆动力学

这条链可以从两个方向使用。

正动力学

给定力矩 ${\tau }_a$ 和外力 ${\tau }_{ext}$，求运动：

$${\tau }_a,{\tau }_{ext}\to \ddot{q},\dot{q},q$$

用于仿真、预测、虚拟样机。

逆动力学

给定期望运动：

$$q,\dot{q},\ddot{q}$$

求需要多少力矩：

$$\tau =M(q)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+G(q)+{\tau }_f(\dot{q})$$

用于前馈控制、计算力矩控制、轨迹规划。

所以动力学模型不是单纯“输出力矩”或“输出位置”，而是描述力和运动之间的映射。

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九、建模时怎么选层次？

不是所有场景都需要完整链条。

• 低速、低精度控制：
  可以把执行器简化为力矩源，甚至 ${\tau }_a\approx Ku$。

• 高精度力控、位置控：
  必须加入摩擦、间隙、减速器柔顺、执行器动态。

• 液压、气动：
  必须考虑压力动态、阀流量、可压缩性、泄漏。

• 压电、SMA、EAP：
  必须考虑滞回、蠕变、热动态或粘弹性。

• 实时控制：
  常做降阶，比如电流环近似一阶，阀动态近似一阶，智能材料用现象学模型。

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十、总结：一句话记住这条链

$$u\to \text{执行器动态}\to {\tau }_a\to \text{机器人多体动力学}\to \ddot{q}\to q,\dot{q}$$

它的含义是：

• $u$ 是控制命令；
• 执行器把命令变成广义力 ${\tau }_a$；
• 多体动力学把广义力变成加速度 $\ddot{q}$；
• 积分把加速度变成速度 $\dot{q}$ 和位置 $q$；
• 传感器再把运动反馈给控制器，形成闭环。

所以，力矩只是执行器和机械本体之间的接口变量。
整个动力学模型模拟的，是机器人从控制信号到实际运动的完整物理因果链。