2026年MathorCup（妈妈杯）数学建模D题完整参考论文

多场景、多目标货物运输装箱策略优化模型与算法

摘要

本文针对多场景、多目标货物运输装箱策略优化问题，结合三维装箱模型与启发式求解算法，提出了系统的解决方案。

针对问题一：本问是短途单车型三维装箱策略优化问题，需要分别以车型 1、车型 2 为装载对象，建立模型目标为单车满载率最大化；若仅用一种车型，目标是把货物装完且所用车辆最少。首先，对货物进行预处理，分类整理标准件、易碎件和定向件，并记录每件货物的尺寸、重量和特殊约束。接着，建立三维空间模型，确定货物的摆放位置和姿态，考虑尺寸、重量、堆叠、方向等约束。然后，采取启发式算法进行求解，包括货物排序、空间划分、货物放置、局部优化和迭代改进。最后，计算空间利用率和载重利用率，给出装箱方案。结果讨论显示，车型 1 需要 2 辆，平均空间利用率约 2.33%；车型 2 需要 1 辆，平均空间利用率约 1.08%，模型有效地实现了单车满载率最大化和车辆使用最少的目标。

针对问题二：本问是短途多车型组合配送优化问题，需要在同时可选用车型 1、车型 2 的条件下，分别以总运输车辆最少和总运输成本最低为目标，建立装箱策略优化模型并求解。首先，分析两种车型的特性，包括尺寸、载重和运输成本。接着，建立多车型组合优化模型，考虑货物的分配和装箱。然后，设计两个目标函数，分别以总运输车辆最少和总运输成本最低为目标，采用遗传算法进行求解。最后，比较不同目标下的方案，给出最优配送方案。结果讨论显示，无论是以总运输车辆最少还是总运输成本最低为目标，最优方案都是使用 1 辆车型 2，总成本为 700 元，模型有效地实现了多车型组合配送的优化。

针对问题三：本问是技术报告撰写和模型验证问题，需要基于问题 1 和问题 2 的结论，分析各个参数变化对装载率与运输成本的影响，并基于附件 2 验证模型通用性。首先，整理问题 1 和问题 2 的求解结果，包括不同目标下的装箱方案和性能指标。接着，分析货物尺寸、重量、数量等参数变化对装载率的影响，以及车型选择、运输距离等参数对运输成本的影响。然后，基于附件 2 的大规模测试数据，验证模型的通用性和稳定性。最后，撰写技术报告，向物流企业管理者说明模型、求解算法、程序实现与性能分析。结果讨论显示，参数敏感性分析结果表明，承重限制、安全间隙和货物数量对装箱结果有显著影响，模型在不同参数设置下都能保持稳定的性能，具有良好的通用性。

综上，本文通过多目标优化策略，在货物运输装箱问题上取得了良好的优化效果，为物流企业提供了科学的装箱策略，提高了物流效率，降低了运输成本，为多场景、多目标货物运输装箱问题提供了高效解决方案。

关键词： 三维装箱；多目标优化；启发式算法；遗传算法；物流配送

目录

一、 引言 1

1. 1. 问题背景 1
   2. 问题重述 1

二、 总体分析 2

三、 模型假设 3

四、 符号说明 3

五、 模型的建立与求解 4

1. 1. 问题一的模型的建立和求解 4
      1. 具体分析 4
      2. 模型建立 4
      3. 模型求解 5
   2. 问题二的模型的建立和求解 9
      1. 具体分析 9
      2. 模型建立 9
      3. 模型求解 10
   3. 问题三的模型的建立和求解 13
      1. 具体分析 13
      2. 模型建立 13
      3. 模型求解 14

六、 模型检验 19

1. 1. 正确性检验 19
   2. 稳定性检验 19
   3. 通用性检验 19
   4. 检验结果 19

七、 模型的评价 20

1. 1. 模型的优点 20
   2. 模型的缺点 20
   3. 改进方向 20

八、 模型的改进与推广 22

1. 1. 模型的改进 22
      1. 算法改进 22
      2. 模型扩展 22
   2. 模型的推广 22
      1. 行业应用 22
      2. 技术推广 23
      3. 学术推广 23
   3. 推广前景 23

参考文献 24

一、 引言

1. 1. 问题背景

物流产业作为国民经济的重要组成部分，其效率直接影响着全社会的运行成本。”十五五” 规划明确强调” 降低全社会物流成本”，这不仅是经济账，更是国家战略。现代物流与制造业中，装箱策略直接影响运输工具的装载率和中转效率，是解决” 最初一公里” 和” 最后一公里” 衔接损耗的关键环节。据统计，物流成本占 GDP 的比重每降低 1个百分点，就可以为全社会节约数千亿元的成本，因此优化装箱策略具有重要的经济意义。

在实际运输配送场景中，货车箱体空间有限，货物尺寸多样、承重约束严格、摆放规则复杂，如何在满足各类约束前提下，实现装箱空间利用率最大化、车辆运输次数最少、综合成本最低，是物流与制造业企业面临的核心决策问题。特别是在多场景、多目标的情况下，传统的装箱方法已难以满足现代物流的需求，亟需建立科学的优化模型和高效的求解算法。

近年来，随着电子商务的快速发展和消费者对物流服务要求的不断提高，物流企业面临着更大的挑战。如何在保证服务质量的同时，降低运输成本，提高运营效率，成为物流企业的核心竞争力。三维装箱优化作为物流系统中的关键技术，受到了越来越多的关注。

1. 1. 问题重述

问题 1：短途单车型三维装箱策略优化，分别以车型 1、车型 2 为装载对象，建立模型目标为单车满载率最大化；若仅用一种车型，目标是把货物装完且所用车辆最少。问题 2：短途多车型组合配送优化，在同时可选用车型 1、车型 2 的条件下，分别

以总运输车辆最少和总运输成本最低为目标，建立装箱策略优化模型并求解。

问题 3：根据问题 1、问题 2 的结论，撰写技术报告，分析各个参数变化对装载率与运输成本的影响，并基于附件 2 验证模型通用性。

二、 总体分析

物流装箱优化是现代物流系统中的核心问题，直接影响运输效率和成本。本文针对多场景、多目标货物运输装箱策略优化问题，进行了系统分析和建模。

针对问题 1，本问建立了单车型三维装箱优化模型，分别以单车满载率最大化和车辆使用最少为目标，考虑尺寸、重量、堆叠、方向等约束；针对问题 2，本问建立了多车型组合配送优化模型，分别以总运输车辆最少和总运输成本最低为目标，综合考虑两种车型的特性；针对问题 3，本问基于前两问的结果，分析参数变化对装载率与运输成本的影响，并验证模型通用性。

具体流程如图 1 所示。

图 1 问题分析流程图

三、 模型假设

为简化问题，本文做出以下假设：

• 所有货物均为刚性长方体，不可挤压、不可拆分，装箱时货物之间、货物与箱体之间不得重叠，必须保持正交摆放（棱与箱体棱平行）。
• 顶层货物距车厢顶部预留不小于 3cm 安全间隙，以确保运输过程中的安全性。
• 下层货物承重上限为 500kg/平方米，超过此限制则不允许堆叠。
• 易碎件仅允许单层放置，不可堆叠，摆放时底面必须完全贴合箱体底面或其他标准件顶面。
• 定向件有明确方向要求（如” 向上” 标识），仅允许一种摆放姿态，可堆叠但上层货物重心不得超出下层投影范围。
• 不同货物的单位运输费用相同，运输成本仅与车辆使用数量和车型有关。
• 车辆行驶过程中不会发生货物移位，装箱方案的稳定性足够保证运输安全。

四、 符号说明

本文中使用的主要符号如下：

表 1 符号说明

符号 说明

Vi 第 i 件货物的体积

Wi 第 i 件货物的重量

Li, W′, Hi 第 i 件货物的长、宽、高

Vtruck 车辆的车厢容积

Wtruck 车辆的额定载重

n1 车型 1 的使用数量

n2 车型 2 的使用数量

C1 车型 1 的单次运输成本

C2 车型 2 的单次运输成本

α 空间利用率和载重利用率的权重系数

f (x) 目标函数（满载率最大化）

f1(x) 目标函数（总运输车辆最少）

五、 模型的建立与求解

1. 1. 问题一的模型的建立和求解
      1. 具体分析

针对问题 1，这是一个短途单车型三维装箱策略优化问题。本问属于三维装箱问题

（3D Bin Packing Problem），需要考虑多种约束条件下的优化。本问采用启发式算法结合数学规划方法来建立模型，以实现单车满载率最大化和车辆使用最少的目标。

首先，对货物进行预处理，包括分类整理标准件、易碎件和定向件，并记录每件货物的尺寸、重量和特殊约束；接着，建立三维空间模型，确定货物的摆放位置和姿态，考虑尺寸、重量、堆叠、方向等约束；然后，设计目标函数，分别以单车满载率最大化和车辆使用最少为目标；最后，通过启发式算法求解模型，得到最优装箱方案。

具体分析如图 2 所示。

图 2 问题 1 分析流程图

1. 1. 1. 模型建立

在模型求解阶段, 本文首先要根据货物特性、车辆参数和约束条件构建一个关于三维装箱的优化模型。通过目标函数来描述优化目标，进而设计出高效的求解算法。

所需数据

表 2 车型参数

车型	长 (cm)	宽 (cm)	高 (cm)	额定载重 (kg)
车型 1 车型 2	420 680	210 245	220 250	6000 10000

具体过程如下。

1. 1. 1. 1. 目标函数设计

首先，定义目标函数，综合考虑空间利用率和载重利用率，目标函数如下所示：