在图形学，3D视觉等领域，矩阵变换是在常见不过的一种操作，而旋转变换又是其中尤其特别的一种，我们在玩游戏时，移动鼠标看向不同地方就是在进行三维旋转；我们看到的动画电影中角色变换的身姿也是通过三维旋转实现的。因此，深入理解3维空间的旋转至关重要。

Matrix Transformation of Vector（向量的矩阵变换）

空间中的方向，位置都可以通过矩阵进行变换，${\mathbf{v}}^{\prime }=M\mathbf{v}$，旋转也不例外，想让物体在三维空间中旋转，本质上也是通过将位置乘上一个旋转矩阵的来的。

Basis（基底）

在深入探究旋转矩阵前，可以先理解下矩阵在几何领域的含义：

变换矩阵$M$的每一列都是一个基向量，$M=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{e}}_1& {\mathbf{e}}_2& {\mathbf{e}}_3\end{array}\right]$，它们组成了一个本地坐标系，对于任意一个向量，我们都可以将其写作本地坐标系下的坐标。

若我们有两个本地坐标系 $M_1=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{u}}_1& {\mathbf{u}}_2& {\mathbf{u}}_3\end{array}\right]$，$M_2=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]$，我们希望将一个用本地坐标系$M_1$表示的点坐标${\mathbf{p}}_1$用本地坐标系$M_2$表示，我们需要先将其转换到全局坐标系下，再转换到$M_2$。列举所有情况如下：

• $L_1\to W\to L_2$：${\mathbf{p}}_2=M_2^{-1}{M}_1{\mathbf{p}}_1$
• $W\to L_2$：${\mathbf{p}}_2=M_2^{-1}{\mathbf{p}}_{global}$
• $L_1\to W$：${\mathbf{p}}_{global}=M_1{\mathbf{p}}_1$

3B1B就矩阵的几何解释做了很多期相关视频，有兴趣的同学可以去看看 https://www.bilibili.com/video/BV1ib411t7YR/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=aac7fb9ff30051b45d68db048d45e689。

3D Rotation

Rotation Matrix

话说回旋转矩阵，旋转变换矩阵较为特殊，旋转矩阵$R$都是正交矩阵（orthogonal matrix），即$R^T=R^{-1},\det (R)=1$。$R=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{e}}_1& {\mathbf{e}}_2& {\mathbf{e}}_3\end{array}\right]$ 的基向量是互相垂直的（点积为 0），并且模长都为 1。

Rodrigues’ rotation formula（罗德里格斯旋转公式）

在三维情况下，若我们知道旋转轴向量，可以使用罗德里格斯旋转公式绕任意轴旋转。

假设我们现在有单位向量$\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^3$有${\mathbf{w}}^{\top }=[w_x,w_y,w_z]$，现让向量$\mathbf{v}$绕轴$\mathbf{w}$按右手旋转方向旋转$\theta$角度，旋转后的向量为：

$$\begin{array}{c}{\mathbf{v}}_{\mathrm{rot}}=\mathbf{v}\cos \theta +(\mathbf{w}\times \mathbf{v})\sin \theta +\mathbf{w}(\mathbf{w}\cdot \mathbf{v})(1-\cos \theta )\end{array}$$

同时，我们希望将此旋转用矩阵表示，因此需要用矩阵形式表示叉乘与点乘，点乘可以简单使用转置乘法，即$\mathbf{w}\cdot \mathbf{v}={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{v}$；叉乘可以使用一个矩阵表示，$\mathbf{W}=\left[\begin{array}{ccc}0& -w_z& w_y\\ w_z& 0& -w_x\\ -w_y& w_x& 0\end{array}\right]$，有$\mathbf{w}\times \mathbf{v}=\mathbf{Wv}$。

由此可以写作矩阵形式：

$$\begin{array}{c}\mathbf{R}(\mathbf{w},\theta )=\cos \theta \mathbf{I}+(1-\cos \theta )\mathbf{w}{\mathbf{w}}^T+\sin \theta \mathbf{W}\end{array}$$

此外也可写作：

Rotation Representations

我们希望用一些数字来表示三维空间中的任意旋转，一般用于表示旋转的方法有欧拉角（Euler angles）和四元数（Quaternions）。

Euler angles（欧拉角）

欧拉角使用三个角度$[\mathrm{roll},\mathrm{pitch},\mathrm{yaw}]$来表示任意旋转，三个角度分别代表绕轴旋转的角度$\alpha ,\beta ,\gamma$。三次旋转按照顺序进行，会产生三个旋转矩阵$R_1,R_2,R_3$，最终矩阵为$R=R_3{R}_2{R}_1$。由于后面的旋转是在旋转后的本地坐标系下进行的，因此旋转的顺序不同最终的结果也不同。

绕 xyz 轴旋转$\theta$度的单个旋转矩阵分别为：

$$R_x=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right],R_y=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right],R_z=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
不同的软件默认的旋转角和旋转顺序都不尽相同，例如UE中默认先绕z轴旋转$\gamma$，再绕y轴旋转$\beta$，最后绕x轴旋转$\alpha$

Gimbal Lock（万向锁）

欧拉角虽然表示含义清晰，但会出现万向锁问题，即两个轴对齐时会失去一个自由度。

Quaternions（四元数）

四元数是对复数的推广，四元数的表示有三个虚数符号$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$，其计算方法如下：

$$\begin{gathered} {\mathbf{i}}^2=-1,{\mathbf{j}}^2=-1,{\mathbf{k}}^2=-1, \\ \mathbf{ij}=\mathbf{k},\mathbf{jk}=\mathbf{i},\mathbf{ki}=\mathbf{j},\mathbf{ji}=-\mathbf{k},\mathbf{kj}=-\mathbf{i},\mathbf{ik}=-\mathbf{j} \end{gathered}$$

四元数表示为：$q=s+x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$，$s,x,y,z$是标量 scalars

Properties of Quaternions

四元数遵循结合律，分配率，但不遵循交换律（not commutative）。

• $q_1{q}_2\ne q_2{q}_1$

• $(q_1{q}_2)q_3=q_1(q_2{q}_3)$

• $(q_1+q_2)q_3=q_1{q}_3+q_2{q}_3$

• $\alpha (q_1+q_2)=\alpha q_1+\alpha q_2$，$\alpha$是标量

对于四元数$q=s+x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$，它的性质有：

• 模长（Norm）：$|q{|}^2=s^2+x^2+y^2+z^2$
• 共轭四元数（Conjugate quaternion）：$\bar{q}=s-x\mathbf{i}-y\mathbf{j}-z\mathbf{k}$
• 逆四元数（Inverse quaternion）：$q^{-1}=\bar{q}/|q{|}^2$
• 单位四元数（Unity quaternion）：$|q|=1$
• 单位四元数的逆（Inverse of unit quaternion）：$q^{-1}=\bar{q}$

Quaternions and Rotations

三维空间中的任意旋转都可以由一个单位四元数表示。

一个绕轴$[{\mathbf{u}}_x,{\mathbf{u}}_y,{\mathbf{u}}_z]$$\theta$度的旋转，可以表示成：

$$\begin{array}{c}q=\cos (\theta /2)+\sin (\theta /2){\mathbf{u}}_x\mathbf{i}+\sin (\theta /2){\mathbf{u}}_y\mathbf{j}+\sin (\theta /2){\mathbf{u}}_z\mathbf{k}\end{array}$$

旋转$q_1$与$q_2$的组合可以写作$q=q_2{q}_1$

四元数$q=a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}$转换为旋转矩阵的公式为：

$$\begin{array}{c}R=\left[\begin{array}{ccc}{a}^2+b^2+c^2+d^2& 2bc-2ad& 2bd+2ac\\ 2bc+2ad& a^2-b^2+c^2-d^2& 2cd-2ab\\ 2bd-2ac& 2cd+2ab& a^2-b^2-c^2+d^2\end{array}\right]\end{array}$$

四元数$q$与$-q$表示的旋转相同，此外任何不同的四元数都代表不同的旋转。

Quaternion Interpolation

在计算机动画中，我们通常使用关键帧（Key frame）来表示动画，关键帧会记录各个关节（joint）的旋转情况，关键帧之间的旋转则需通过插值得到。

SLERP

使用四元数进行插值会比欧拉角的效果更好，四元数插值相当于在 4D 单位球上寻找最短路径，这种插值方法被称为 SLERP（Spherical Linear intERPolation）。

Slerp 的计算公式如下：

$$\begin{array}{c}\mathrm{Slerp}(q_1,q_2,u)=\frac{\sin ((1-u)\theta )}{\sin \theta }{q}_1+\frac{\sin (u\theta )}{\sin \theta }{q}_2\end{array}$$

其中$u\in [0,1]$，$\theta$的计算为：$\cos \theta =q_1\cdot q_2=s_1{s}_2+x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$

如果将其应用于多个四元数的插值，那么可能会导致在节点变化时角速度是不光滑（smooth）的。

Bezier Interpolation

Ken Shoemake in the SIGGRAPH '85 proceedings (Computer Graphics, V. 19, No. 3, P. 245)提出我们可以使用贝塞尔曲线光滑过渡不同的关键帧。

当我们有四元数$q_{n-1},q_n,q_{n+1}$时，我们可以构建如下图所示：

${\bar{a}}_n=\mathrm{Slerp}(\mathrm{Slerp}(q_{n-1},q_n,2),q_{n+1},0.5)$

$a_n=\mathrm{Slerp}(q_n,{\bar{a}}_n,1/3)$

$b_n=\mathrm{Slerp}(q_n,{\bar{a}}_n,-1/3)$

边界情况：

$a_1=\mathrm{Slerp}(q_1,\mathrm{Slerp}(q_3,q_2,2),1/3)$

$b_n=\mathrm{Slerp}(q_n,\mathrm{Slerp}(q_{n-2},q_{n-1},2),1/3)$

因此，给定四元数$q_1,…,q_n $我们可以构建所有控制点$a_1,…,a_n,b_1,…,b_n$。

$q_i$与$q_{i+1}$之间的曲线可以用$q_i,a_i,b_{i+1},q_{i+1}$四个控制点来进行表示，再使用 De Casteljau 算法就可以计算出插值四元数。