感知机模型

感知机是一个二分类的线性分类模型，之所以说是线性，是因为它的模型是线性形式的。

概念

我们分别从输入空间、输出空间、模型结构、参数空间和假设空间来看一下感知机。
输入

• 输入空间：$\mathcal{X}\subseteq {\mathbf{R}}^n$；
• 输入：$x={\left(x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(n)}\right)}^T\in \mathcal{X}$

这里 $\mathcal{X}$代表 $n$维实数空间的一个子集，输入的每一个实例，用一个 $n$ 维的特征向量表示，它是属于输入空间 的。
输出

• 输出空间：$\mathcal{Y}=+1,-1$；
• 输出：$y\in \mathcal{Y}$

现在我们定义一个从输入空间到输出空间的函数，这个函数就称作感知机。
感知机
$$f(x)=\mathbf{sign}(w\cdot x+b)$$
其中，$w={\left(w^{(1)},w^{(2)},\cdots ,w^{(n)}\right)}^T\in {\mathbf{R}}^n$ 称为权值（Weight），$b\in \mathbf{R}$ 称为偏置（Bias）， $\omega \cdot x$表示内积：
$$w\cdot x=w^{(1)}{x}^{(1)}+w^{(2)}{x}^{(2)}+\cdots +w^{(n)}{x}^{(n)}$$
特征空间里面所有可能的这种线性函数就称为假设空间。
假设空间

• 假设空间F={f∣f(x)=w⋅x+b}\mathcal{F}=\{f \mid f(x)=w \cdot x+b\}F={f∣f(x)=w⋅x+b}

参数 $\omega$ 和 $b$ 的所有组合，就得到一个 $n+1$ 维的空间，也就是参数空间。
参数空间

• 参数空间$\Theta =\left\{\theta \mid \theta \in {\mathbf{R}}^{n+1}\right\}$

几何意义

$\omega \cdot x+b=0$代表着 $n$ 维特征空间 ${\mathbf{R}}^n$里面的一个超平面$\mathbf{S}$ 。
$w$是法向量，垂直于超平面$\mathbf{S}$ ； $b$是相应的截距项。
通过超平面 $\mathbf{S}$ 我们就可以将整个特征空间分为两部分，一部分是正类，其中的实例所对应的输出为 +1，一部分为负类，它里面的实例所对应的输出为 -1。所以这个超平面被称为分离超平面。

感知机学习策略

数据集的线性可分性

感知机模型，有一个比较严苛的条件，就是要求数据集必须是线性可分的。

感知机学习策略

如果假设训练数据集线性可分，我们的目标则是希望寻求到一个很棒的分离超平面，把这些实例点完全划分为正负类。

1. 首先，我们给出特征空间中的任意一点到超平面的距离。

2. 给出损失函数：所有误分类点到超平面的距离的总和。

省去$||\omega ||$主要考虑两方面：

1. $||\omega ||$不会影响距离和的符号，即不影响正值还是负值的判断。
2. $||\omega ||$不会影响感知器算法的最终结果。算法终止条件，是不存在误分类点。这时候 $M$ 为空集，那么误分类点的距离和是否为 0 取决于分子，而不是分母，因此与 $||\omega ||$的大小无关。

感知器的算法

感知器的原始形式

批量更新，就需要每次使用所有的误分类点，这会致使每一轮的迭代都需要大量的时间。
随机梯度下降法，每一轮随机选择一个误分类点，迭代的速度会快一些。

以随机梯度下降法来讲解感知机的算法：

1. 首先选择初始值，假设蓝色的直线对应于初始值代表的分离超平面。
2. 接下来，在训练集中随机选取一个实例点，用 $y_i\left(w\cdot x_i+b\right)$ 来判断这个点被分离超平面正确分类还是错误分类。

如果被正确分类，$y_i\left(w\cdot x_i+b\right)$ 就是大于零的，我们不用管这个实例点了；如果被错误分类， $y_i\left(w\cdot x_i+b\right)$ 就是小于零的，我们可以把这个实例点拿来更新参数。

3. 之后，重复步骤，直到没有误分类点，停止迭代。

不同的初值或者说不同的误分类点的顺序，可以得到不同的分离超平面。

感知器的对偶形式

对偶形式的具体步骤：

与原始形式相比，对偶形式的优势：

无论是原始形式还是对偶形式，如果迭代的过程是一样的，最后得到的分离超平面还有感知机模型是相同的。
同样的，类似于原始形式的学习算法，对偶形式的学习算法也是收敛的，而且存在多种解。
如果要得到唯一解，需要加约束条件，这就是支持向量机中的内容了。

算法的收敛性