目录

选择哪个相关系数

总步骤

皮尔逊相关系数、假设检验

总体皮尔逊Pearson相关系数

样本皮尔逊Pearson相关系数

 皮尔逊相关系数注意点

 对相关系数大小的解释

皮尔逊相关系数假设检验的条件 

对数据进行正态分布检验：正态分布JB检验（大样本 n>30）

对数据进行正态分布检验：Shapiro-wilk夏皮洛‐威尔克检验（小样本3≤n≤50）

对数据进行正态分布检验：Q-Q图（大样本）（不推荐）

对皮尔逊相关系数进行假设检验

更好的方法：p值判断法

matlab计算相关系数及p值、得到显著性标记

SPSS显著性检验

Matlab计算描述性统计

Excel计算描述性统计

SPSS计算描述性统计

斯皮尔曼spearman相关系数

 MATLAB中计算斯皮尔曼相关系数

斯皮尔曼相关系数的假设检验

小样本 n<=30 检验斯皮尔曼相关系数的显著性：查表

大样本检验斯皮尔曼相关系数的显著性

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选择哪个相关系数

1. 连续数据、正态分布、线性关系，用pearson相关系数最恰当，用spearman相关系数也可以，效率没有pearson相关系数高。
2. 上述任一条件不满足，就用spearman相关系数，不能用pearson相关系数。
3. 两个定序数据之间也用spearman相关系数，不能用pearson相关系数。

总步骤

目的：得到变量的相关系数、相关性

1. 对数据进行描述性统计（笔记目录靠后部分 matlab、SPSS、excel）
2. 在求皮尔逊相关系数前，先绘制数据的散点图，根据散点图粗略判断是否线性关系（用SPSS，步骤见笔记SPSS描述性统计）
3. 满足线性关系，才可以计算皮尔逊相关系数 matlab：corrcoef函数
4. 对数据进行正态性检验（大样本：JB 用matlab；小样本：Shapiro-wilk 用SPSS）
5. 符合正态分布，才可以假设检验皮尔逊系数的显著性（matlab、spss）
6. 连续数据、正态分布、线性关系 上述任一条件不满足，就用spearman相关系数
7. 计算斯皮尔曼相关系数（matlab函数corr） 并 假设检验显著性（小样本查表、大样本假设检验p值判断）

皮尔逊相关系数、假设检验

总体皮尔逊Pearson相关系数

• 协方差为正 - 正相关性：X、Y变化方向相同，即当X大于（小于）其均值时，Y 也大于（小于）其均值；
• 协方差为负 - 负相关性：X、Y变化方向相反，即当X大于（小于）其均值时，Y 小于（大于）其均值，则协方差为负；
• 如果X、Y变化方向之间相互无规律，即分子中有的项为正，有的项为负，那么累加后正负抵消，接近0

结论：协方差绝对值越接近 1 ，相关性越强；接近 0 ，相关性越弱

样本皮尔逊Pearson相关系数

与总体相关系数相比，是 n-1

 皮尔逊相关系数注意点

1. 只能用来衡量两个变量线性相关程度，必须先确认这两个变量是线性相关，不是线性相关不能用这个；
2. 如何确定两变量线性相关：在求皮尔逊相关系数前，先绘制数据的散点图，根据散点图粗略判断是否线性关系；
3. 计算出皮尔逊相关系数的绝对值很接近1：不能说明有很大相关性，因为可能受异常值、离群值的影响；
4. 计算出皮尔逊相关系数的绝对值很接近0：只能说明没有线性相关性，可能存在非线性相关性

 对相关系数大小的解释

皮尔逊相关系数假设检验的条件 

1. 实验数据通常假设是成对的来自于正态分布的总体。在求皮尔逊相关性系数以后，通常还会用 t 检验之类的方法来检验皮尔逊相关性系数，而 t 检验是基于数据呈正态分布的假设的。（这个是最需要验证的条件：实验数据服从正态分布；后两个条件一般默认满足）
2. 实验数据之间的差距不能太大。皮尔逊相关性系数受异常值的影响比较大。
3. 每组样本之间是独立抽样的。构造t统计量时需要用到。

对数据进行正态分布检验：正态分布JB检验（大样本 n>30）

偏度和峰度：

matlab计算偏度和峰度：

x = normrnd(2,3,100,1); % 生成100*1的随机向量，每个元素是均值为2，标准差为3的正态分布
skewness(x)             %偏度
kurtosis(x)             %峰度

步骤：

1. 构造JB统计量
2. 进行假设检验、p值判断法

matlab将上述步骤封装到 jbtest 中：

%% 正态分布检验
% 检验第一列数据是否为正态分布
[h,p] = jbtest(Test(:,1),0.05)

% 当输出h等于1时，表示拒绝原假设；h等于0则代表不能拒绝原假设
% p是p值，p < 置信水平0.05 就不是正态分布
% alpha就是显著性水平，一般取0.05，此时置信水平为1‐0.05=0.95
% x就是我们要检验的随机变量，注意这里的x只能是向量

% 只能一列列数据检验
% 用循环检验所有列的数据

n_c = size(Test,2); % 数据的列数

H = zeros(1,6); % 先初始化矩阵，以免后面插入数据的同时扩展矩阵 造成效率低
P = zeros(1,6);
for i = 1:n_c
  [h,p] = jbtest(Test(:,i),0.05);
  H(i)=h;
  P(i)=p;
end
disp(H)
disp(P)

对数据进行正态分布检验：Shapiro-wilk夏皮洛‐威尔克检验（小样本3≤n≤50）

matlab没有实现这个，用SPSS：

得到的结果只要看最后一列显著性，这就是p值：小于置信水平0.05就不服从正态分布

对数据进行正态分布检验：Q-Q图（大样本）（不推荐）

原理：

matlab函数：qqplot

对皮尔逊相关系数进行假设检验

• 置信水平 β = 1 - α：相信原假设成立的概率
• 显著性水平 α ：有多大的可能拒绝原假设，又称犯第一类错误的概率（原假设正确、但我们却认为错了）

假设检验皮尔逊相关系数是否显著接近于0

原假设：r = 0 皮尔逊系数与0没有显著差异，相关性并不强

x = -4:0.1:4;
y = tpdf(x,28);  % 服从t分布的概率密度曲线
plot(x,y,'-')
grid on % 在画出的图上加上网格线

更好的方法：p值判断法

       根据检验值（把待检验的皮尔逊系数 r 带入到检验统计量后得到的值）得到该检验值对应的 p 值，该 p 值再与置信水平比较检验，p > 显著性水平，说明 p 落在接受域，接受假设

matlab代码：

disp((1-tcdf(3.055,28))*2) 
% tcdf(3.055,28)：x=3.055处，自由度为28的累积分布函数
% x处累积分布函数：-∞到x区间对应的概率
% 双侧检验的p值要乘以2

matlab计算相关系数及p值、得到显著性标记

matlab 计算的是双侧检验的 p 值，单侧就手动除以2

%% 计算各列之间的相关系数以及双侧检验的p值，单侧就手动除以2

[R,P] = corrcoef(Test)

% 下面的运算得到01矩阵，1的位置就是显著性标志的位置
% 在EXCEL表格中手动加上显著性标记 *

P < 0.01 % 标记3颗星的位置
(P < 0.05) .* (P > 0.01) % 标记2颗星的位置
(P < 0.1) .* (P > 0.05) % 标记1颗星的位置

SPSS显著性检验

SPSS进行显著性标记：“双变量”选项

Matlab计算描述性统计

MIN = min(Test);               % 每一列的最小值
MAX = max(Test);               % 每一列的最大值
MEAN = mean(Test);             % 每一列的均值
MEDIAN = median(Test);         %每一列的中位数
SKEWNESS = skewness(Test);     %每一列的偏度
KURTOSIS = kurtosis(Test);     %每一列的峰度
STD = std(Test);               % 每一列的标准差
RESULT = [MIN;MAX;MEAN;MEDIAN;SKEWNESS;KURTOSIS;STD] 
%将这些统计量放到一个矩阵中表示

corrcoef函数： correlation coefficient相关系数
  R = corrcoef(A)  
返回 A 的相关系数的矩阵，其中 A 的列表示随机变量（指标），行表示观测值（样本）。
  R = corrcoef(A,B)
返回两个随机变量 A 和 B （两个向量）之间的系数。 

Excel计算描述性统计

美化表：

SPSS计算描述性统计

斯皮尔曼spearman相关系数

斯皮尔曼相关系数 定义1：下面的公式

 斯皮尔曼相关系数 定义2：斯皮尔曼 求的是这两列等级之间的 皮尔逊相关系数

 MATLAB中计算斯皮尔曼相关系数

1. corr(X , Y , 'type' , 'Spearman') % 这里的X 和 Y必须是列向量
2. corr(X , 'type' , 'Spearman') % 计算X矩阵各列之间的斯皮尔曼相关系数，matlab这一函数封装使用的是定义2的计算方式

斯皮尔曼相关系数的假设检验

小样本 n<=30 检验斯皮尔曼相关系数的显著性：查表

大样本检验斯皮尔曼相关系数的显著性

p 值 大于 显著性水平，接受假设，相关系数与0没有显著性差别

 Matlab：

% 直接给出相关系数和p值
[R,P]=corr(Test, 'type' , 'Spearman')

 SPSS：

       下表只需要相关系数那一行贴到论文中，因为包括了计算出的相关系数及显著性标志 * ；下面的双尾显著性水平就是 p 值，属于计算过程不需要贴入论文；第三行是样本个数