GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪——Lecture 11 Geometry 2 (Curves and Surfaces))

Explicit Representations (显示几何表示)

Point Cloud(Explicit)

把物体理解成一堆点：(x,y,z)列表

Polygon Mesh (Explicit) 多边形网格

最广泛应用：

文本存点方法

v：点
vt：纹理坐标
vn：法线
f：三角形（用哪个点）

Curves

应用：

Bezier curves（贝塞尔曲线）

通过四个点定义唯一曲线：（起始和末尾）
不一定要经过中间点，经过p0、p3。 其他只定义方向

De Casteljau’s algorithm

给定任意多点，如何画贝塞尔曲线？
三个点生成的是二次贝塞尔曲线
De Casteljau’s algorithm：

把找曲线的问题变成找点：

多点问题可以转换成少点问题：

代数表示：


B:伯恩斯坦多项式

简化：任意的伯恩斯坦曲线：（空间中也可以）

博尼斯坦多项式：

性质：

• 曲线会通过起始点和终点。
• 如果是三次贝塞尔曲线，起点和终点的导数如下。
• 对曲线做仿射变换和对不同顶点做仿射变化，再根据这个做贝塞尔曲线，两个曲线是一摸一样的。
• 凸包性质：任何一个贝塞尔曲线上的任何一个点，都在给定的控制点所形成的凸包之内
  
  

Piecewise Bezier Curves(分段的贝塞尔曲线)

下图不直观不好控制：

用很少的控制点定义一段贝塞尔曲线，逐段的定义，一般喜欢四个控制点定义。
photoshop钢笔工具定义：


想要曲线变得光滑，连接处的两个控制单位共线且等距，才可以光滑，光共线不够。

C0连续

几何上的连续，只要挨在一块就行

C1连续

曲线连续：共线、方向相反、距离一样

Other types of splines其他种类的样条

B-splines, etc.

有着局部性，比分段更加容易控制的，极其复杂

Surfaces

Bezier surfaces

描述空间中面用mesh（网格）更好

• 网格的细分
• 网格的简化
• 网格的正规化（让三角形基本都变成正三角形）
  

Triangles & quads

Subdivision, simplification, regularization