题目概览

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

来源：62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）

解题分析

方法一：动态规划

当前位置只能从上面或左边走过来，因此可以得到状态转移方程：

dp[ i ] [ j ] = dp [ i - 1 ] [ j ] + dp [ i ] [ j - 1 ]

第一行和第一列只有一条路径，所以初始化为 1。

时间复杂度：O(mn)
空间复杂度：O(mn)

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            dp[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

方法二：动态规划优化

由于我们只关注上一行和上一列的路径数，因此我们可以将二维dp优化为一维，只存储上一行的路径数，每次遍历将当前列位置数更新为新一行的数据，获取前一列的数据就为 dp[ j - 1]

时间复杂度：O(mn)
空间复杂度：O(n)

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] dp = new int[n];
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            dp[j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[j] += dp[j-1];
            }
        }
        return dp[n-1];
    }
}