参数点估计

• 背景：研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质

• 统计推断的基本问题

  （1）参数估计问题：总体X的分布函数的形式已知，但它的一个或多个参数为未知，需要借助于X的样本来估计它们

  （2）假设检验问题：总体X的分布函数的形式完全未知，或只知其形式，但不知其参数，为了推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设

参数估计问题

• 实现过程：假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数，利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数。

• 一般提法（定义）：设有一个统计总体，总体的分布函数为$F(x,\theta )$，其中$\theta$为未知参数（$\theta$可以是向量）。现从该总体抽样，得样本$X_1,X_2,...,X_n$，要依据该样本对参数$\theta$作出估计，或估计$\theta$的某个已知函数$g(\theta )$。这类问题称为参数估计。

• 参数估计的两种形式：点估计和区间估计

  e.g 假如我们要估计某队男生的平均身高。（假定身高服从正态分布$N(\mu ,0.1^2)$）

  现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值的估计。而全部信息就由这5个数组成 。

  设这5个数是：1.65 1.67 1.68 1.78 1.69

  估计$\mu$为1.68，这是点估计

  估计$\mu$为区间[1.57,1.84]内，这是区间估计。