前言

本文使用Python实现了PCA算法，并使用ORL人脸数据集进行了测试并输出特征脸，简单实现了人脸识别的功能。

1. 准备

ORL人脸数据集共包含40个不同人的400张图像，是在1992年4月至1994年4月期间由英国剑桥的Olivetti研究实验室创建。此数据集包含40个类，每个类含10张图片。所有的图像是以PGM格式存储，灰度图，图像大小为 92 x 112像素。

对于每个类，我们选择前7张（训练集总共280张）图片用于训练，后3张图片用于测试。我们将图像缩放至原来的0.5倍，以加快训练速度。最后选择100个特征向量进行降维。

	import os
	import cv2
	import numpy as np
	from typing import Union, LiteralString
	import matplotlib.pyplot as plt
	%matplotlib inline
	scaled = 0.5 # 图像缩放至原来的scaled倍
	train_num = 7 # 7张用于训练
	img_num = 10 # 总共10张图片
	num_k = 100 # 选择100个特征
	save_path = './ORL_eigenfaces'
	dataset_path = '../dataset/ORL/att_faces/'
	cov_matrix_path = './PCA_ORL.npy'

2. 数据集处理

将每个类的前7张图片使用img2np转为一维向量，作为训练集。并计算每个类前7张图片的平均特征向量，用于后面的对比。

	# 图像转为一维向量
	def img2np(img_path: Union[str, LiteralString], scaled: float = 1.) -> np.ndarray:
	img = cv2.imread(img_path)
	h, w = img.shape[0], img.shape[1]
	img = cv2.resize(img, (int(h * scaled), int(w * scaled)))
	if img.shape[-1] > 1:
	img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGRA2GRAY)
	return np.array(img).flatten()

	class_names = os.listdir(dataset_path)
	print(f'数据集总共有 {len(class_names)} 个类')
	# 列表示特征值，行表示图像
	samples_data = []
	avg_feature = [] # 每个类的平均特征
	for class_name in class_names:
	class_path = os.path.join(dataset_path, class_name)
	img_names = os.listdir(class_path)
	class_feature = [] # 计算每个类前train_num的平均特征
	for img_name in img_names[:train_num]: # 取前七张参与训练
	img_data = img2np(os.path.join(class_path,img_name), scaled=scaled)
	samples_data.append(img_data)
	class_feature.append(img_data)
	avg_feature.append(np.array(class_feature).mean(axis=0))
	samples_data = np.array(samples_data)
	avg_feature = np.array(avg_feature)
	print(f'数据集特征矩阵形状： {samples_data.shape}，平均特征矩阵形状：{avg_feature.shape}')

	数据集总共有 40 个类
	数据集特征矩阵形状： (280, 2576)，平均特征矩阵形状：(40, 2576)

3. PCA降维

PCA计算时间较长，因此建议先对图像进行缩放，并保存降维后的特征矩阵，方便后续调用。

	# PCA算法保留前k个特征向量
	def pca(X: np.ndarray, k: int) -> np.ndarray:
	# 计算每个特征均值
	mean = np.mean(X, axis=0)
	# 数据标准化
	norm_X = X - mean
	# 计算协方差矩阵
	cov_matrix = np.cov(norm_X, rowvar=False)
	# 计算特征值与特征向量
	eig_val, eig_vec = np.linalg.eig(cov_matrix)
	abs_eig_vec = np.abs(eig_val)
	# 按照特征值的绝对值大小增序排序
	sorted_Index = np.argsort(abs_eig_vec)
	# 选择前k个特征值对应的特征向量
	selected_vectors = eig_vec[:, sorted_Index[-k :]]
	# 低维投影
	return selected_vectors

	if os.path.exists(cov_matrix_path):
	pca_vectors = np.load(cov_matrix_path)
	else:
	pca_vectors = pca(samples_data, num_k) # 选择100个特征向量
	np.save(cov_matrix_path, pca_vectors) # 训练时间较长，可以保存方便调用
	print(f'PCA降维后的特征矩阵形状： {pca_vectors.shape}')

PCA降维后的特征矩阵形状： (2576, 100)

4. 测试

假设有C个类，每个图像的特征值数为N，降维后选取的特征向量数为K。

首先对类的平均特征矩阵进行降维，降维后的矩阵形状为（C x K）。

测试时：

1. 对每张测试图片进行降维：图像特征（1 x N）与PCA降维特征向量（N x K）相乘；
2. 对第一步得到的结果与平均特征矩阵的每一行（每一行大小为1 x K）进行余弦相似度比较得到C个数；
3. 选择C个数中最大的下标，就是预测的类别。

	pca_avg_feature = np.dot(avg_feature, pca_vectors) # 进行降维
	print(f'PCA降维后的平均特征矩阵形状： {pca_avg_feature.shape}')

PCA降维后的平均特征矩阵形状： (40, 100)

	# 计算余弦相似度
	def cosine_similarity(vec1: np.ndarray, vec2: np.ndarray):
	# 向量点乘
	dot_product = np.dot(vec1, vec2)
	# 计算L2范数
	magnitude1 = np.linalg.norm(vec1)
	magnitude2 = np.linalg.norm(vec2)
	# 计算余弦相似度
	return dot_product / (magnitude1 * magnitude2)
	test_res = []
	correct = 0
	wrong = 0
	for i, class_name in enumerate(class_names):
	class_path = os.path.join(dataset_path, class_name)
	img_names = os.listdir(class_path)
	true_label = i
	for img_name in img_names[train_num: img_num]:
	img_data = img2np(os.path.join(class_path, img_name), scaled=scaled)
	predict_img = np.dot(img_data, pca_vectors)
	similarity = []
	for j in pca_avg_feature:
	similarity.append(cosine_similarity(j, predict_img))
	predict_label = np.argmax(similarity)
	if true_label == predict_label:
	correct += 1
	else:
	wrong += 1
	test_res.append((true_label, predict_label))
	accuracy = correct / (correct + wrong)
	print(f'Total samples: {correct + wrong}, correct: {correct}, wrong: {wrong}, accuracy: {accuracy:.4f}')

Total samples: 120, correct: 111, wrong: 9, accuracy: 0.9250

5. 结果展示

将特征向量保存为特征脸并输出。此处注意下，缩放后的图像大小为56 x 46（原始大小为112 x 92），但保存的特征脸大小为46 x 56（否则就不能显现人脸）。

	# 保存前k个特征向量的特征脸
	def save_eigenfaces(eigenvectors: np.ndarray,
	k: int,
	img_size: tuple[int, int], # (h, w)
	path: Union[str, LiteralString]) -> bool:
	if os.path.exists(path) is False:
	os.mkdir(path) # 创建保存路径文件夹
	for i in range(k):
	eigenfaces = np.real(eigenvectors[:, i])
	# 对特征向量进行归一化，投影到0-255的灰度空间
	norm_eigenfaces = ((eigenfaces - np.min(eigenfaces)) /
	(np.max(eigenfaces) - np.min(eigenfaces)) * 255)
	norm_eigenface_uint8 = norm_eigenfaces.astype(np.uint8)
	shaped_eigenface = norm_eigenface_uint8.reshape(img_size)
	cv2.imwrite(os.path.join(path, f'eigenfaces{i}.png'), shaped_eigenface)
	return True
	save_eigenfaces(pca_vectors, 100, (46, 56), save_path) # 原大小为112 x 92，缩放后为56 x 46
	plt.figure(figsize=(8, 8))
	for i in range(16):
	plt.subplot(4,4,i+1)
	plt.imshow(cv2.imread(os.path.join(save_path, f'eigenfaces{i}.png')))
	plt.title(f'eigenfaces{i}')
	plt.xticks([])
	plt.yticks([])
	plt.show()

6. 总结

PCA可以实现简单的人脸识别。

环境配置：

	matplotlib==3.7.2
	numpy==1.25.2
	opencv_python==4.8.1.78