刚体的自由度

一、什么是自由度（DOF）

自由度（Degrees of Freedom，DOF） 是描述一个物体在空间中独立运动的参数个数。

• 每一个"可以独立改变的量"对应一个自由度
• 每施加一个约束，就消去一个自由度
• 约束 = 限制运动的条件（如固定距离、固定角度等）

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二、三维空间中的质点自由度

一个无约束质点在三维空间中可以沿三个坐标轴独立移动：

方向	描述
X	左右移动
Y	上下移动
Z	前后移动

$${\text{DOF}}_{\text{质点}}=3$$

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三、从三点出发推导刚体自由度

刚体的关键特征：刚体上任意两点之间的距离保持不变。

取刚体上三个不共线的点 A、B、C，逐步分析每个点的自由度。

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第一步：A 点——完全自由

A 是三维空间中的一个自由质点，没有任何约束。

$$\text{DOF}(A)=3(X,Y,Z\text{ 三方向均自由})$$

类比：一只自由飞翔的苍蝇，整个三维空间都是它的舞台。

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第二步：B 点——被 A 约束

将 A 固定作为参考点，B 与 A 之间的距离固定为 $d_{AB}$：

$$|AB|=d_{AB}=\text{常数}$$

这条距离约束限制了 B 的一个自由度（径向方向，即 Z 向），B 只能在以 A 为圆心、半径为 $d_{AB}$ 的球面上运动。

球面上的运动有两个独立参数（经度、纬度）：

$$\text{DOF}(B)=3-1=2(X,Y\text{ 方向自由，Z 被锁死})$$

类比：B 是拴在 A 上的气球，只能在球面上飘动，无法靠近或远离 A。

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第三步：C 点——被 A 约束

再引入 C，同样与 A 之间距离固定为 $d_{AC}$：

$$|AC|=d_{AC}=\text{常数}$$

与 B 的情况完全类似，C 也只能在以 A 为圆心、半径为 $d_{AC}$ 的球面上运动：

$$\text{DOF}(C)=3-1=2(X,Y\text{ 方向自由，Z 被锁死})$$

类比：C 也被拴在 A 上，在自己的球面上自由滑动。

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第四步：C 点——再被 B 约束

在第三步的基础上，C 与 B 之间的距离也固定为 $d_{BC}$：

$$|BC|=d_{BC}=\text{常数}$$

现在 C 同时受到两个约束：

• 约束①：$|AC|=d_{AC}$，C 在以 A 为圆心的球面 ${\mathcal{S}}_A$ 上
• 约束②：$|BC|=d_{BC}$，C 在以 B 为圆心的球面 ${\mathcal{S}}_B$ 上

两个球面的交集是一个圆（假设两球面相交且非切），C 只能沿这个圆运动，仅剩一个自由度：

$$\text{DOF}(C)=2-1=1(\text{只能沿交线圆转动})$$

类比：两根绳子同时绷紧，C 被夹在两个球面的交线上，只能沿那个圆圈转动。

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四、汇总：刚体总自由度

将三个点的自由度相加：

$$\boxed{{\text{DOF}}_{\text{刚体}}=\underset{A}{\underbrace{3}}+\underset{B}{\underbrace{2}}+\underset{C}{\underbrace{1}}=6}$$

点	约束条件	自由度
A	无约束	3（平移：X、Y、Z）
B	$|AB|=d_{AB}$（1 个约束）	2
C	$|AC|=d_{AC}$，$|BC|=d_{BC}$（2 个约束）	1
合计		6

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五、物理意义：平移 + 旋转

这 6 个自由度可以分解为：

$${\text{DOF}}_{\text{刚体}}=\underset{\text{平移自由度}}{\underbrace{3}}+\underset{\text{旋转自由度}}{\underbrace{3}}=6$$

类型	自由度	说明
平移	3	沿 X、Y、Z 轴移动
旋转	3	绕 X、Y、Z 轴转动（Roll、Pitch、Yaw）

• A 的 3 个 DOF → 对应刚体质心的 3 个平移自由度
• B 的 2 个 DOF + C 的 1 个 DOF → 共 3 个自由度，对应刚体的 3 个旋转自由度（确定了刚体的朝向）

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六、低维类比

空间维度	质点 DOF	刚体 DOF	平移	旋转
1D（直线）	1	1	1	0
2D（平面）	2	3	2	1
3D（空间）	3	6	3	3

规律：$n$ 维空间中，刚体自由度 = $\frac{n(n+1)}{2}$

$$\text{2D: }\frac{2\times 3}{2}=3,\text{3D: }\frac{3\times 4}{2}=6$$

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七、总结

1. 质点在三维空间有 3 个自由度（纯平移）。
2. 刚体在三维空间有 6 个自由度（3 平移 + 3 旋转）。
3. 推导方式：取刚体上 3 个不共线的点 A、B、C，通过逐步施加距离约束来分析：
   • A 自由：DOF = 3
   • B 受距离约束：DOF = 2
   • C 受两个距离约束：DOF = 1
   • 合计：$3+2+1=6$
4. 每增加一个独立约束，就减少一个自由度。