一.什么是汉诺塔？

        汉诺塔，也被称为河内塔（Tower of Hanoi）,是一个根据传说形成的数学问题：

有三根杆子A、B、C。A杆上有 N 个 (N>1) 穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至 C 杆：

        ①每次只能移动一个圆盘；

        ②大盘不能叠在小盘上面。

可将圆盘临时置于 B 杆，也可将从 A 杆移出的圆盘重新移回 A 杆，但都必须遵循上述两条规则。

问题为：应该以何种方式移动？最少要移动多少次？

二.趣味故事

       最早发明这个问题的人是法国数学家爱德华·卢卡斯。根据他的描述，传说越南河内（地点众说纷纭，还有说法是在印度北部）某间寺院有三根银棒，上串 64 个金盘。寺院里的僧侣依照一个古老的预言，以上述规则移动这些盘子；预言说当这些盘子移动完毕，世界就会灭亡。这个传说叫做梵天寺之塔问题（Tower of Brahma puzzle）。

       不过，一点也不用担心。因为如果传说属实，按照一秒可以移动一个盘子来计算，需要整整5849亿年才能完成。整个宇宙至今不过才137亿年，地球诞生至今也就不过46亿年！

三.算法求解

3.1 基本思想       

       汉诺塔问题的解法思想是递归。假设有 A、B、C 三个塔，A 塔有 N 块盘，目标是把这些盘全部移到 C 塔。那么先把 A 塔顶部的 N−1 块盘移动到 B 塔，再把 A 塔剩下的大盘移到 C，最后把 B 塔的 N−1 块盘移到 C。

       ①总是把N-1个盘子从A起始柱，借助B中转柱，移动到C目的柱。

       ②再把A起始柱最大的盘子移动到C目的柱。

       ③这时，B上面剩下的N-1个盘子，要移动到C柱上。那么B就变为了起始柱，A为中转柱，C为目的柱。

如此递归地使用下去， 就可以求解。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>

void move(char pos1, char pos2)
{
	printf("%c->%c\t", pos1, pos2);
}

void Hanoi(int n, char pos1, char pos2, char pos3)
{
	if (n == 1)
	{
		move(pos1, pos3);
	}
	else
	{
		Hanoi(n - 1, pos1, pos3, pos2);
		move(pos1, pos3);
		Hanoi(n - 1, pos2, pos1, pos3);
	}
}

int main()
{
	Hanoi(3, 'A', 'B', 'C');
	return 0;
}

3.2运行结果

四.时间复杂度

       递归的过程需要在每个阶段进行两次递归调用（分别处理 n-1 个盘子）。因此，总的移动次数为 2^n - 1。这个递归算法的时间复杂度是 O(2^n)，随着盘子数量的增加，移动次数呈指数增长。

       这里我只呈现了3个盘子的运行结果，如果是64个盘子，那么程序就会一直跑啊跑，我们来看看计算机移动完这64个盘子需要多久。

       这里是笔者电脑上的处理器，主频2.70GHz。

 

可以看到该处理器需要运行207年才可以移动完这64个盘子，大家207年后见，届时评论区公布运行结果！

---

通过递归解决汉诺塔问题，不仅能帮助我们理解递归算法的基本思想，也能加深对递归函数调用栈的理解。这个问题在编程面试中经常出现，也是学习递归算法的经典范例。

希望你在阅读本文后能够理解递归的基本概念，动手实践实现其他递归问题。如果你有任何问题或者改进建议，欢迎在评论区留言，和大家一起讨论。