改进的TOPSIS算法-利用拉格朗日计算权重

1 TOPSIS方法

1981年由Yoon开发的TOPSIS方法尝试选择与正理想最大值具有最短距离，和负理想最大值有最远距离的候选方案。正理想最大值使效益评价准则最大化，使成本评价准则最小化，而负理想最大值使成本评价准则最大化，使效益评价准则最小化[9]。
首先得到由候选方案和评价准则组成的决策矩阵，其中为第m个候选方案的第n个评价准则。对矩阵做归一化处理：

其中为第个候选方案的第个评价准则。然后，将归一化决策矩阵的列乘以相关联的权重，以获得加权判决矩阵：

其中是第j个评价准则的权重值。
确定正理想最大值和负理想最大值。表示正理想最大值，表示负理想最大值。定义如下：

其中，为正向评价准则集合，即其中的评价准则尽量使得效益评价准则最大化，使成本评价准则最小化，则为负向评价准则集合，即其中的评价准则尽量使得效益评价准则最小化，使成本评价准则最大化。
接下来，分别获取最优解以及最劣解。基于欧氏距离、和分别从正理想最大值和负理想最大值中得出：

最后，计算每个候选方案与正理想最大值的距离C：

其中，表示第个候选方案与正理想最大值的距离。根据对候选方案进行排序，具有较高的候选方案更重要，应给予更高的优先级。

2、提出的方法

TOPSIS计算权重方法：

其中，rj∗={(maxirij∣j∈J)or(minirij∣j∈J′)}r_j^{*}=\{(max_ir_{ij}|j\in J )or(min_ir_{ij}|j\in J^{'} )\}rj∗​={(maxi​rij​∣j∈J)or(mini​rij​∣j∈J′)}，J是正向特征，$J^{’} $反之。
建立拉格朗日模型：