最近在学习运放的噪声计算，发现不同资料的计算方法有一些细微差异，在这里做一下总结对比。

一、铺垫

1.关于噪声类型

        看书的时候，被书上所写的热噪声、白噪声、宽带噪声、1/f噪声、闪烁噪声等给弄迷糊了，以为有特别多种类型的噪声，后来发现，对于运放的噪声来说可以理解为热噪声=白噪声=宽带噪声，而1/f噪声=闪烁噪声，电阻的噪声就称为电阻热噪声。

2.噪声的表示方法

        噪声有时域表示方法和频域表示方法，时域表示中，横轴为时间，纵轴为噪声的幅度值，如图1所示：

图1 噪声的时域表示

        在实际工程应用中，工程师会更关注噪声的峰峰值，噪声作为一种随机信号，幅度随时间任意变化，无法预估一个噪声变量的瞬间值。因此采用统计学的方法来进行计算与分析。

         我们对噪声的时域表示进行一个变换，得到图2右边这张图，纵坐标是噪声电压值，横坐标表示的是在噪声测量时间段内该电压值出现的数量，这个图的分布有点类似于高斯分布。

图2 噪声的时域表示与统计学表示

       把它横过来就变成图3这幅图，横坐标是噪声电压值，纵坐标是在噪声测量时间段内该电压值出现的数量，出现的次数（数量）越多，说明这个幅度的噪声出现的概率越大。

图3 

        在这里我们就可以可以借助统计学的分析方法，也就是概率密度函数与概率分布函数进行峰峰值的计算。   

         实际上图3的红色曲线部分就可以看作噪声的概率密度函数了，我们对概率密度函数进行积分可以得到概率分布函数，这个函数表示的是一个事件在已知区间内发生的概率。例如图4左边是噪声的概率分布函数，那么我们可以知道噪声在a-b之间发生的概率是图4中红色积分区域的面积。

图4 左：概率密度函数与概率分布函数 右：标准差与峰峰值的关系

        高斯分布两端是无限延伸的，这说明任何幅值的噪声都是可能出现的，虽然理论是这样，但是实际上瞬时产生极大幅度噪声的概率很小，6σ范围就可以涵盖测量幅度值的99.7%，有些工程师会计算6.6σ来估算噪声峰峰值，也就是涵盖99.9%。也就是说我们计算出RMS噪声之后，把他乘以6或者6.6系数就可以得到噪声峰峰值了。

         讲完这个，可以开始说频域了，噪声在频域是以频谱密度的形式来表示的，横坐标是频率，纵坐标是噪声频谱密度，我们对频谱密度在某频段进行积分就可以得到这个频段的噪声RMS值了，噪声频谱密度如图5所示：

图5 运放的噪声频谱密度

3. 运放噪声频谱密度的组成

        从图5可以看出，运放的噪声的频谱密度有电压噪声频谱密度、电流噪声频谱密度，而电压/电流噪声频谱密度又包含1/f噪声和宽带噪声。1/f噪声和宽带噪声都满足高斯分布。

        电压噪声频谱密度函数为ev，单位V/√Hz，电流噪声频谱密度函数为ei，单位是A/√Hz。

        1/f噪声与宽带噪声都延申在所有频率上，他们两个的临界处成为转角频率或者1/f拐点频率。

图6 1/f噪声和宽带噪声的叠加

       我的理解是，1/f噪声和宽带噪声在所有频段都存在，只是每个频段的主导不一样，他们的总的噪声频谱密度是两者的叠加，在转角频率（1/f拐点）处，1/f噪声密度等于白噪声密度。

4. 如何通过频谱密度计算RMS噪声？

        如果我们采用上述方法，试图用在某个频段对电压噪声频谱密度进行积分从而得到该频段电压噪声的RMS值，我们会发现最终的计算结果得到了一个特别奇怪的单位，如图7：

        图7 错误的噪声积分方法

        同样的对于电流噪声的积分也是如此，采用这种方式会得到错误的单位。 因此在这里引入了一个功率频谱密度，它被定义为电压/电流频谱密度的平方（记住P=V^2/R和P=I^2R），要点是RMS噪声是功率频谱密度函数的积分，再通过积分结果的平方根转换为电压值。这种方式计算得到的就是正确的单位，如图8所示：

图8 正确的噪声积分方法

所以要点就是，RMS噪声是功率频谱密度函数积分的开根号，而电压/电流频谱密度函数需平方后才能得到功率频谱密度函数，需要先转换成功率频谱密度后再积分开根号。

因此在知道电压噪声频谱密度为ev，电流噪声频谱密度为ei的情况下，RMS噪声的计算公式为：

电压RMS噪声 = 

电流RMS噪声 = 

5. 噪声的叠加

       分别产生于两个独立噪声源的噪声信号是不相干的。对于不相干噪声的叠加，采用毕达哥拉斯定理进行计算（我感觉就和勾股定理差不多）

 

6. 噪声的带宽

       到现在我们知道了，对噪声的频谱密度在某个频率范围内进行积分可以得到噪声在这个频率范围内的RMS值，那么频率范围如何计算呢？这个范围的主要参数是噪声的起点频率和终点频率。

（1）

        对于白噪声来说，他在所有频率范围内都是存在的，是广谱的，通常远大于，所以对于白噪声来说是最重要的。理论上说噪声的频率是没有上限的，可能是无穷大，但是在实际应用中，噪声的输出会受到外部影响而变得有限。

        对于运放来说，噪声会受到运放带宽的限制，呈现出低通滤波的效果；对于电阻来说，会受到输出端与地之间的杂散电容的影响，也会构成低通滤波器；即使没有任何时间常数，只要用示波器来观察客观存在的噪声，示波器也有上限截止频率，也相当于把更高频率的噪声给滤掉了。

        所以噪声的带宽的上限可以看作是低通滤波器的截止频率，然而在现实世界，绝对理想的砖墙式滤波器是不存在的，图7显示了理想砖墙滤波器与现实一阶、二阶、三阶低通滤波器的区别：

图7 理想砖墙滤波器与现实滤波器的比较

        为了噪声的计算方便，我们可以用一个砖墙式转换因子将实际滤波器转化为与之等效的砖墙滤波器，转换因子为Kn，若低通滤波器的截止频率为fc，那么，不同阶数滤波器对应的砖墙系数如图8：

图8 不同阶数滤波器对应的砖墙系数Kn

（2）

        理论上最低频率可以是0Hz，但是实际上不能让它为0，这个和后续给的公式相关，在这里我们只需要知道，在绝大多数情况下，取值为0.1Hz，因为在工程上认为当噪声频率低于0.1Hz，即10s以上发生一次的事件，一般可以认为是人为的、环境因素带来的扰动，这个可能与运放本身无关。

二、噪声计算公式

1. 参考《运算放大器噪声优化手册》，TI资料，作者Art Kay

（1）1/f噪声

        对于电压/电流的1/f噪声，其RMS值计算公式均为：

 

       在这里为1Hz归一化1/f噪声，,其中是1/f区域某频点的电压/电流噪声密度，f是该点的频率值。

        对于的求解，需要借助运放的Datasheet，一般我们会见到两种类型的噪声密度曲线，如图9：

图9 左：曲线最低频率不为1Hz 右：曲线最低频率为1Hz

        左边的情况当噪声密度曲线最低频率不为1Hz时，利用公式计算，如左图中红色框图所示，(我把单位写全了)

        右边的情况当噪声密度曲线最低频率为1Hz时，可以直接读出50nV，或者用公式算也行，

（2）宽带噪声

         对于电压/电流宽带噪声的计算，其RMS值公式均为：

         为宽带噪声密度。

（3）电阻热噪声

         电阻热噪声RMS值计算公式为：

        K为玻尔兹曼常数（J/K），T是以开尔文（K）为单位的温度，R是以欧姆（Ω）为单位的电阻，Δf是以Hz为单位的噪声带宽，也就是

2. 参考《运算放大器参数解析与LTspice应用仿真》，作者郑荟民

（1）1/f噪声

        这里的计算方式与《运算放大器噪声优化手册》稍有不同。

        先给出计算公式，对于电压/电流的1/f噪声，其RMS值计算公式均为：

        主要体现在前面的系数上，《运算放大器噪声优化手册》中系数为，是1Hz归一化1/f噪声，其计算公式为，而在这里书中将Kn定义为比例常数，其计算公式与转交频率相关：

        转角频率的计算步骤三部：

        第一步，找到运放datasheet里面的噪声概率密度曲线；

        第二步，读出噪声概率密度曲线最低频率的1/f噪声的概率密度值，最低频率为，读出宽带噪声概率密度值，定义为最低频率点1/f噪声的平方值；

        第三步，将第二部中的计算结果，也就是最低频率点1/f噪声的平方值除以宽带噪声概率密度值的平方值，所得结果即为，也就是说

         到这里，就可以进行1/f噪声的RMS值计算了。

（2）宽带噪声

         对于电压/电流宽带噪声的计算，其RMS值公式均为：

         为宽带噪声密度。

（3）电阻热噪声

         电阻热噪声RMS值计算公式为：

3. 参考《你好，放大器》，作者杨建国

（1）1/f噪声

        还是先给出计算公式，对于电压/电流的1/f噪声，其RMS值计算公式均为：

        其基本形式与上述两本书是一致的，主要区别还是在前面的参数上，《你好，放大器》给出了三种计算方法可以得到C，计算方法与《运算放大器噪声优化手册》中的参数的计算方式不同，但是三种方法中的第三种与《运算放大器参数解析与LTspice应用仿真》中Kn的计算方法是一样的，接下来我们看它的三种计算方法。

        三种计算方法均要借助运放datasheet里面的噪声概率密度函数曲线。

        第一种：曲线含有1Hz，读出1Hz处的噪声密度值，读出宽带噪声密度值，此时：

        第二种：曲线不含1Hz，有的是从10Hz开始的，这时候读出曲线里面的最小频率，最小频率对应的噪声概率密度值，还要读出宽带噪声密度值，此时：

        第三种：利用转角频率fnc计算，有的数据手册会明确给出转角频率fnc，这时候可以利用下面的公式：

        这个计算过程就和《运算放大器参数解析与LTspice应用仿真》中Kn的计算方法是一样的。

（2）宽带噪声

         对于电压/电流宽带噪声的计算，其RMS值公式均为：

         为宽带噪声密度。

（3）电阻热噪声

         电阻热噪声RMS值计算公式为：

        理论公式就先写到这里，后面有时间我会结合具体电路案例进行计算分析。

        第一次写博客，谢谢大家看到这里，如果我有写的不对的欢迎大家在评论区纠正，我会认真看的！