第三章概率分布

生物统计学最主要的任务是用样本统计数来推断其所属总体的参数

从同一总体中随机抽取样本，每次得到的样本不会完全相同，用不同样本去推断同一总体将得到不同的结论，如何判断这些结论的可靠性

•这些推断的基础是关于概率分布的基本知识，以及抽样分布。

概率基础知识

1. •必然事件**(certain event)，以U表示。**

2. •不可能事件**(impossible event)，以V表示。**

3. •随机事件**(random event，简称事件)，指在某些确定条件下，因为偶然因素的影响而可能出现也可能不出现的现象。**

4. 和事件(sum event):A+B至少有一件事发生

5. 积事件(product event)：A·B多个事件同时发生

6. 互斥事件(mutually exclusive event)：A·B=V，不可能同时发生

7. 对立事件(contrary event)：A+B=U，A·B=V，必有一件事发生

8. 完全事件系(complete event system)：A1+A2+……+An=U，Ai·Aj=V(当i不等于j时)，多个事件两两相斥

9. 独立事件(independent event)：两者毫无关系

10. 加法定理P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)

11. 乘法定理P(A·B)=P(A|B)·P(B)= P(B|A)·P(A)

12. 频率(frequency)：即某事件发生的次数除以重复试验次数

13. 概率(probability)：随着重复试验次数不断增大，某事件发生的频率越来越接近某一固定值p，p就定义为该事件发生的概率。（一般情况下，因为重复试验的次数是有限的，所以频率只是概率的一个近似值。）

    •频率是试验中真实观察到的概率，概率是理论上的频率。

    •频率是样本的统计数，概率是总体的参数。

概率分布

概率分布**(probability distribution)：**随机变量的取值与取这些值的概率之间的对应关系

离散型变量的分布：二项分布、泊松分布**……**

连续型变量的分布：正态分布、t分布、卡方分布、F分布

二项分布(binomial distribution)：结果只有两种情况的事件组成的总体的概率分布，试验具有重复性和独立性

泊松分布(poisson distribution)：就是p值很小，但n值很大的特殊情况的二项分布

​ •泊松分布的平均数和方差均为λ。

​ •二项分布当p<0.1且np<5时，可以用泊松分布来近似计算。

​ •泊松分布的形状参数λ无限增大时，泊松分布接近正态分布。

正态分布(normal distribution)：随机误差****一般服从正态分布

​ •该正态分布记为N(μ, σ2)，其中μ是正态分布的平均数，σ是正态分布的标准差。

​ •变量落在 (μ-σ, μ+σ)范围内的概率是68.26%；

​ •变量落在(μ-2σ, μ+2σ)范围内的概率是95.45%。

​ μ决定f(x)的位置，μ增大，曲线右移。

​ σ决定f(x)的性状，σ增大，曲线越宽矮。

•P(-1.96<x<1.96)=0.95•P(-2.58<x<2.58)=0.99

生物统计学的研究包含两个过程：从总体抽取样本的过程，从样本统计数推断总体参数的过程

重置抽样也称“回置抽样”、“重复抽样”或“有放回的抽样”

若只有一个总体

u分布：当μ=0，σ=1时，N(0，1)被称为标准正态分布，又称为u分布，F(u)

t分布:不服从正态分布，服从自由度为n-1,是从平均数为μ，标准差未知的正态总体中，独立随机地抽取含量为n的样本产生的分布。

卡方分布：从平均数为μ，标准差为σ的正态总体中，独立随机地抽取k个含量为n的样本

​ •卡方分布的取值范围是0到正无穷；

​ •曲线不对称，峰值偏左(特别在df=1时，曲线以y轴为渐近线)。

​ •随着自由度df增大，卡方分布趋于左右对称直至正态分布。

若需要比较两个总体

•两个样本平均数差的平均数等于两个总体平均数的差；

•两个样本平均数差的方差等于两个样本平均数的方差的和。

•在已知总体方差时，u检验可以用于比较总体平均数。

•在已知样本方差时，t检验可以用于比较总体平均数。

若两个总体的标准差已知

•当σ1与σ2相等时，F可以简化为两个样本方差的比值。

•F检验可以用于比较总体的方差。

•F分布的取值范围是0到正无穷；

•F分布的平均数趋向1；

•曲线不对称**，峰值偏左(特别在df1=1或2时，曲线以y轴为渐近线)。**

•曲线性状仅取决于df1和df2。