一、矩阵初等变换基础

基本概念

• 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等变换有三种类型，分别是交换两行（列）、某一行（列）乘以非零常数、某一行（列）乘以一个数加到另一行（列）上，所以对应的初等矩阵也分这三类。
• 矩阵乘法与变换关系：“左行右列”揭示的是矩阵乘法和初等变换之间的内在联系。矩阵$A$左乘或右乘初等矩阵，会引发$A$相应的行或列的变化。

具体例子

左行情况

设矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$。

• 交换两行的初等矩阵作用：若单位矩阵$E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$交换第$1$行和第$2$行得到初等矩阵$P_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，$P_{1}A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$，$A$的第$1$行和第$2$行交换了。
• 某行乘以非零常数的初等矩阵作用：单位矩阵$E$的第$2$行乘以非零常数$k$得到初等矩阵$P_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，$P_{2}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ k{a}_{21}& k{a}_{22}& k{a}_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$，$A$的第$2$行乘以了$k$。
• 某行乘以数加到另一行的初等矩阵作用：单位矩阵$E$的第$1$行乘以$m$加到第$3$行得到初等矩阵$P_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ m& 0& 1\end{array}\right]$，$P_{3}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ m& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ m{a}_{11}+a_{31}& m{a}_{12}+a_{32}& m{a}_{13}+a_{33}\end{array}\right]$，$A$的第$1$行乘以$m$加到了第$3$行。

右列情况

同样设矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$。

• 交换两列的初等矩阵作用：单位矩阵$E$交换第$1$列和第$3$列得到初等矩阵$Q_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$，$A{Q}_1=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{13}& a_{12}& a_{11}\\ a_{23}& a_{22}& a_{21}\\ a_{33}& a_{32}& a_{31}\end{array}\right]$，$A$的第$1$列和第$3$列交换了。
• 某列乘以非零常数的初等矩阵作用：单位矩阵$E$的第$2$列乘以非零常数$n$得到初等矩阵$Q_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& n& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，$A{Q}_2=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& n& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& n{a}_{12}& a_{13}\\ a_{21}& n{a}_{22}& a_{23}\\ a_{31}& n{a}_{32}& a_{33}\end{array}\right]$，$A$的第$2$列乘以了$n$。
• 某列乘以数加到另一列的初等矩阵作用：单位矩阵$E$的第$3$列乘以$s$加到第$1$列得到初等矩阵$Q_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& s\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，$A{Q}_3=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& s\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}+s{a}_{13}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}+s{a}_{23}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}+s{a}_{33}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$，$A$的第$3$列乘以$s$加到了第$1$列。

背后原理

从矩阵乘法的定义来看，左乘时，初等矩阵的行与$A$的列进行运算，会改变$A$的行；右乘时，$A$的行与初等矩阵的列进行运算，会改变$A$的列。这一性质在矩阵求逆、解线性方程组、矩阵的等价变换等很多线性代数的问题中都有重要应用。

二、初等行变换求逆矩阵

（一）原理与方法

在矩阵家族中，可逆矩阵是一群特殊的成员。对于一个$n\times n$的矩阵$A$，如果它可逆，那就意味着存在另一个矩阵$A^{-1}$，使得$A$乘$A^{-1}$以及$A^{-1}$乘$A$都等于单位矩阵$E$（单位矩阵就是主对角线元素都是$1$，其他元素都是$0$的方阵，比如$2\times 2$的单位矩阵是$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$）。

可逆矩阵$A$还有两个重要特点：一是它必然是满秩的。秩可以简单理解为矩阵中“有效”的行或列的数量，满秩就是说矩阵的秩等于它的行数（也是列数，因为是方阵），即$rank(A)=n$。二是它必然与$n\times n$的单位矩阵$E$等价，也就是说可以通过一系列的初等变换把$A$变成$E$，反过来也可以把$E$变成$A$。

当矩阵$A$可逆时，数学上可以证明存在有限个初等矩阵$P_1,P_2,\cdots ,P_n$，使得$P_n\cdots P_2{P}_{1}A=E$。这里的每个$P_i$都对应着一次初等行变换，就像一个个小魔法步骤。而且还有$P_n\cdots P_2{P}_{1}E=A^{-1}$，这就是用初等行变换求逆矩阵的核心原理。

在实际计算中，我们用一种巧妙的办法：把矩阵$A$和单位矩阵$E$写成一个“并排”的增广矩阵$(A|E)$。然后对这个增广矩阵进行初等行变换，在变换过程中，左边的$A$会慢慢发生变化。当我们通过一系列变换把左边的$A$变成单位矩阵$E$时，右边原来的单位矩阵$E$就会变成$A$的逆矩阵$A^{-1}$，也就是$(A|E)\stackrel{初等行变换}{\to }(E|A^{-1})$。

（二）举例说明

我们来看一个具体例子，设矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$，现在求它的逆矩阵。

首先构造增广矩阵$\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right)$，左边是$A$，右边是$2\times 2$的单位矩阵。

然后开始进行初等行变换：

1. 我们想把第一行的第一个元素变成$1$，同时让第二行的第一个元素变成$0$。所以先把第一行减去第二行的$2$倍，计算过程是：第一行的第一个元素$2-2\times 1=0$，第二个元素$1-2\times 1=-1$，第三个元素$1-2\times 0=1$，第四个元素$0-2\times 1=-2$，这样矩阵就变成了$\left(\begin{array}{cccc}0& -1& 1& -2\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right)$。
2. 这时候第一行的第二个元素是$-1$，为了把它变成$1$，我们把第一行乘以$-1$，得到$\left(\begin{array}{cccc}0\times (-1)& -1\times (-1)& 1\times (-1)& -2\times (-1)\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -1& 2\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right)$。
3. 接着，为了让第二行的第二个元素变成$0$，我们把第二行减去第一行，计算得：第二行的第一个元素$1-0=1$，第二个元素$1-1=0$，第三个元素$0-(-1)=1$，第四个元素$1-2=-1$，矩阵就变成了$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -1& 2\\ 1& 0& 1& -1\end{array}\right)$。

经过这些变换，左边的$A$变成了单位矩阵$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，右边的矩阵就是$A$的逆矩阵$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$。

三、矩阵的秩相关知识

（一）秩的求解与性质

矩阵的秩是描述矩阵“本质”的一个重要数字。我们可以通过初等行变换来找到它。具体做法是把矩阵通过初等行变换变成行阶梯型矩阵，行阶梯型矩阵中非零行的行数就是这个矩阵的秩。

矩阵的秩有一些很重要的性质：

• 转置不变性：矩阵转置后，它的秩不会改变。比如矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，它的转置$A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$，$A$和$A^T$的秩是一样的。
• 同型矩阵关系：如果两个矩阵的行数和列数都相同（叫同型矩阵），并且它们的秩也相等，那它们在很多方面有相似的性质。
• 可逆变换不变性：可逆变换不会改变矩阵的秩。因为可逆变换其实就是一系列初等变换的组合，而初等变换不会改变矩阵的秩。

矩阵的秩还可以从其他角度理解，比如从有效方程的个数或者非零子式的最高阶数来定义，但不管哪种方式，得到的秩都是一样的。

（二）秩的运算规律

在矩阵的运算中，秩有一些有趣的规律，我们可以用三句话来记住：“秩越乘越小，越拼越大，分开加最大”。

• 秩越乘越小：当两个矩阵$A$和$B$相乘得到新矩阵$C=AB$时，$C$的秩不会超过$A$和$B$中秩较小的那个。比如$A$的秩是$3$，$B$的秩是$2$，那么$AB$的秩最大就是$2$。
• 越拼越大：要是把两个矩阵$A$和$B$拼接起来（可以横着拼或者竖着拼），得到的新矩阵的秩通常会比$A$和$B$各自的秩大。比如把$A$和$B$横着拼成$[A|B]$，$[A|B]$的秩一般会大于$A$的秩和$B$的秩。
• 分开加最大：当把两个矩阵分开相加时，它们秩的和能达到一种相对最大的情况。

还有一种特殊情况，当$AB=0$（两个矩阵相乘等于零矩阵）时，$A$的秩加上$B$的秩小于等于$n$（$n$和矩阵的维度有关，比如$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times p$矩阵，这里的$n$就是$A$的列数和$B$的行数）。

四、矩阵运算的简化技巧

（一）简化矩阵乘法

在计算$A^{-1}B$时，有个偷懒的好办法。我们把矩阵$A$和$B$横着拼在一起，形成一个新矩阵$[A|B]$，然后对这个新矩阵进行初等行变换。在变换过程中，当把左边的$A$变成单位矩阵$E$时，右边原来的$B$就会变成$A^{-1}B$的结果。这样就不用先单独算出$A^{-1}$，再去乘$B$，能省不少计算量呢。

（二）求解$XA=B$形式

当遇到$XA=B$这样的矩阵方程时，我们可以用转置的方法来解决。先把等式两边都转置，得到$A^T{X}^T=B^T$。这时候，我们把$A^T$和$B^T$看成新的矩阵，构造增广矩阵$(A^T|B^T)$，然后对它进行初等行变换。当把左边的$A^T$变成单位矩阵时，右边就会得到$X^T$，最后再把$X^T$转置一下，就得到我们要的矩阵$X$啦。这就好像把一个复杂的问题转个身，变成我们熟悉的样子来解决。