使用 MATLAB 计算二维光子晶体能带的算法

mubiao05

955人浏览 · 2025-03-11 22:37:19

mubiao05 · 2025-03-11 22:37:19 发布

简介

计算二维光子晶体的能带结构是研究其光学性质的重要步骤。MIT Photonic Bands (MPB) 是一个广泛使用的工具，但如果你希望在 MATLAB 中实现类似的计算，可以参考以下算法和步骤。

基本原理

计算光子晶体能带结构的核心是求解 Maxwell 方程在周期性介质中的本征值问题。对于二维光子晶体，通常采用平面波展开法（Plane Wave Expansion Method）。

Maxwell 方程

对于二维情况，假设电场和磁场具有特定的偏振（如 TE 或 TM 模式），Maxwell 方程可以简化为一个二维问题。

平面波展开法

将电磁场展开为平面波的傅里叶级数。
利用 Bloch 定理，考虑周期性边界条件。
将 Maxwell 方程转化为矩阵形式的本征值问题。
求解本征值问题，得到能带结构。

MATLAB 实现步骤

1. 定义光子晶体参数

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% 晶格常数
a = 1.0;

% 介电常数
epsilon1 = 12.0; % 包含介质柱的介电常数
epsilon2 = 1.0;  % 周围介质的介电常数

% 晶格类型（例如正方晶格）
lattice_type = 'square';

% 介质柱的半径
r = 0.2 * a;

% 计算 k 空间中的路径
k_path = ['Gamma', 'X', 'M', 'Gamma'];

2. 生成晶格的倒格子空间

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% 正格子基矢
if strcmp(lattice_type, 'square')
    a1 = [a, 0];
    a2 = [0, a];
elseif strcmp(lattice_type, 'hexagonal')
    a1 = [a, 0];
    a2 = [a/2, (a*sqrt(3))/2];
end

% 倒格子基矢
b1 = 2*pi*[a2(2), -a2(1)] / (a1(1)*a2(2) - a1(2)*a2(1));
b2 = 2*pi*[-a1(2), a1(1)] / (a1(1)*a2(2) - a1(2)*a2(1));

3. 定义 k 空间中的路径

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% 定义高对称点
Gamma = [0, 0];
X = [pi/a, 0];
M = [pi/a, pi/a];

% 生成 k 空间路径
k_points = [Gamma; X; M; Gamma];
num_k_points = 100; % 每段路径上的点数

4. 平面波展开法计算能带

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% 平面波截断数
num_G = 50;

% 生成倒格子矢量
[Gx, Gy] = meshgrid(-num_G:num_G, -num_G:num_G);
G_vectors = [Gx(:), Gy(:)];
G_magnitude = sqrt(Gx(:).^2 + Gy(:).^2);
G_max = 2*pi*num_G/a;

% 截断平面波
valid_G = find(G_magnitude <= G_max);
G_vectors = G_vectors(valid_G, :);

% 预分配能带数据
num_bands = 4; % 计算的能带数量
band_structure = zeros(num_k_points * length(k_path), num_bands);

% 遍历 k 空间路径
for i = 1:length(k_path)-1
    start_point = k_points(i, :);
    end_point = k_points(i+1, :);
    
    for j = 1:num_k_points
        k = start_point + (end_point - start_point) * (j-1)/(num_k_points-1);
        
        % 构建 Hamiltonian 矩阵
        H = zeros(length(valid_G));
        for m = 1:length(valid_G)
            Gm = G_vectors(m, :) + k;
            H(m, m) = (Gm(1)^2 + Gm(2)^2) / (2*epsilon1); % 假设 TE 模式
        end
        
        % 求解本征值问题
        [V, D] = eig(H);
        eigenvalues = sort(diag(D));
        
        % 存储能带数据
        band_structure((i-1)*num_k_points + j, :) = eigenvalues(1:num_bands);
    end
end

5. 绘制能带结构

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% 绘制能带
figure;
hold on;
for i = 1:num_bands
    plot(band_structure(:, i), 'LineWidth', 2);
end
hold off;

% 设置坐标轴和标签
xlim([1, length(band_structure)]);
ylim([0, max(band_structure(:))]);

% 添加高对称点标记
symmetry_points = cumsum([0, num_k_points*ones(1, length(k_path)-1)]);

for i = 1:length(symmetry_points)
    x = symmetry_points(i);
    y = ylim;
    plot([x, x], y, 'k--', 'LineWidth', 1.5);
end

% 设置 x 轴刻度标签
xticks(symmetry_points);
xticklabels(k_path);

% 添加标题和标签
title('二维光子晶体能带结构');
xlabel('k 空间路径');
ylabel('频率 (归一化)');
grid on;