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🔥 内容介绍

大家好，今天给大家带来一套基于水平集（Level Set）、可达集计算的追逃微分博弈 MATLAB 仿真代码。这类属于连续空间的二人零和微分博弈，也是无人机攻防、拦截对抗、保护目标场景里非常经典的理论框架。 和我们之前分享的栅格 CBS 多机器人规划、Dubins AUV 任务分配不一样：前面那些是离散栅格、时间离散的路径规划；而这份代码是连续状态空间、连续动力学的微分博弈，核心是求解 Hamilton-Jacobi-Isaacs（HJI）偏微分方程，计算可达集，区分追捕方（防御者 Defender）和入侵方（攻击者 Attacker）的胜负区域。

代码支持三种博弈模式：仅保护目标、仅追捕攻击者、保护 + 追捕同时生效（both），同时附带几何解析法的获胜区域对比，最后反向求解最优攻防轨迹并可视化。非常适合做微分博弈、智能对抗、飞行器拦截方向的毕设、小论文基线仿真。

很多刚接触微分博弈的同学容易混淆：可达集到底是什么？HJI 方程又解决什么问题？简单来说，可达集回答的问题是：在给定时间内，攻击者能不能成功抵达目标；防御者能不能在攻击者到达之前抓住它。可达集划分出博弈的获胜区与失败区，在这个基础上，才能进一步求解双方的最优控制策略和最优轨迹。

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一、项目整体概述

这套代码实现二人追逃微分博弈，包含两个玩家：攻击者 Attacker、防御者 Defender。 攻击者目标：尽可能靠近 / 抵达目标区域； 防御者目标：在攻击者到达目标之前，进入捕获半径，抓住攻击者。

核心仿真模块清单：

1. 路径管理：引入 GameDefine、ReachableSet、utils、ToolboxLS（经典 Level Set 工具箱）；

2. 博弈参数配置模块：双方初始位置、速度、捕获半径、最大反向计算时长、网格分辨率；

3. 可达集求解主函数 computeReachableSet：基于 HJI 方程，用水平集方法数值求解可达集；

4. 几何解析解函数 winning_region：用解析公式绘制理论获胜区域，用来和数值可达集做对照验证；

5. 最优轨迹反向求解函数 OptTrajCal：从可达集结果反向回溯，得到攻防双方最优控制下的状态轨迹；

6. 绘图函数 plotOptTraj：可视化可达集等值面、最优攻防轨迹。

关键参数说明：

• 两组攻防对：支持多组攻防，示例里两组攻击者、两组防御者；

• va、vd：攻击者、防御者的运动速度，示例中两者速度相等；

• captureRadius：捕获半径，防御者和攻击者距离小于该值即判定捕获成功；

• timeMax：反向求解的时间上限，HJI 可达集一般是反向时间求解；

• Nx：状态空间网格分辨率，Nx 越大精度越高，计算越慢；

• gameParam.type 博弈模式：

  • protect

    ：防御者只负责保护目标，阻止攻击者靠近目标，不强制抓捕；

  • chase

    ：防御者目标是追上、捕获攻击者；

  • both

    ：保护目标 + 追捕攻击者约束同时生效，是最复杂的复合博弈场景。

✅ 已实现功能

• 基于 Level Set 工具箱数值求解 HJI 偏微分方程，计算博弈可达集；

• 支持三种博弈模式切换，保护、追捕、复合场景；

• 提供几何解析获胜区域，和数值可达集结果对照，验证数值求解正确性；

• 反向回溯计算双方最优状态轨迹；

• 完整可视化：可达集等值线、解析获胜边界、最优攻防轨迹；

• 支持圆形障碍物 + 圆形目标场景（CircleObsAndTarget）。

⚠️ 方案固有局限（论文创新点直接参考） 水平集 + HJI 微分博弈有非常强的理论优势，但也存在众所周知的短板：

1. 维度灾难：这套代码是二维状态，计算尚可；一旦状态维度提升（比如增加航向、加速度），网格数量爆炸，计算成本急剧上升；

2. 计算耗时：网格分辨率 Nx 调高之后，偏微分方程演化很慢，很难在线实时求解；

3. 模型是简单单积分器动力学：攻击者、防御者是匀速质点，没有转弯约束、加速度限制；

4. 是二人零和博弈，没有拓展到多攻击者、多防御者的多人微分博弈；

5. 环境是静态障碍物，不支持动态障碍、目标移动；

6. 解析解winning_region只适配特定几何场景，通用性差，复杂形状目标 / 障碍无法写出解析表达式。

这些不是代码 bug，是 HJI 可达集方法本身的特点，也是后续改进的核心方向。

二、代码结构逐段解读

1. 工具箱路径导入

addpath(genpath('GameDefine'));addpath(genpath('ReachableSet'));addpath(genpath('utils'));addpath(genpath('ToolboxLS'));

ToolboxLS 是学术界非常经典的水平集工具箱，大量 HJI 可达集相关论文都在用它做数值演化，它封装了 WENO、Lax-Friedrichs 等差分格式，用来求解 HJI 这类哈密顿雅可比方程，不用自己手写复杂差分。

• GameDefine：博弈场景定义文件，里面写不同场景（圆形目标、非凸区域、障碍物场景）的代价函数、目标集、动力学；

• ReachableSet：可达集求解核心；

• utils：通用绘图、数值辅助函数。

2. 博弈参数初始化

gameParam.xa_init{1} = [-0.4 0.2];gameParam.xd_init{1} = [0.11 0.];gameParam.va = 1;gameParam.vd = 1;gameParam.captureRadius = 0.05;gameParam.timeMax = 1;gameParam.Nx = 51;gameParam.type = 'both';

这里设置两组攻防初始位置，速度相等，捕获半径 0.05，反向计算时长 1 秒，网格 51×51。

重点：HJI 可达集常规是反向时间演化。我们从终止条件（捕获、攻击者抵达目标）往回推，算出所有 “在规定时间内可以达成胜负条件” 的初始状态集合，这个集合就是可达集。

三种模式的区别：

• protect

  ：终止条件是攻击者进入目标区域；防御者的控制目标是阻止这件事；

• chase

  ：终止条件是防御者和攻击者距离小于捕获半径；

• both

  ：同时包含两个终止条件，只要满足其一，博弈结束，是复合约束。

3. 可达集求解与解析解对照

[data, g, dataset, figStruct] = computeReachableSet(gameParam, 'low', 'CircleObsAndTarget');hold on;winning_region(0, 0.1);

computeReachableSet 是顶层求解函数： 第二个参数low代表精度档位，low/medium/high，对应不同网格精度； 第三个参数CircleObsAndTarget代表场景：圆形目标 + 圆形障碍物。 输出：

• g：网格结构体；

• dataset：不同时刻下水平集函数的值；

• figStruct：绘图相关结构体，包含时间序列 tau。

winning_region 是解析解函数，用几何方法直接计算理论获胜边界，画出来和数值可达集叠在一起对比。这是论文里非常经典的验证手段：简单场景下解析解存在，用来证明你的 HJI 数值求解是可靠的。

4. 最优轨迹回溯

dataset_f = flip(dataset, 5);[traj, traj_tau] = OptTrajCal(g, dataset_f, figStruct.tau, gameParam);plotOptTraj(figStruct, traj, traj_tau);

这里非常关键：dataset 是反向时间演化出来的结果，所以先flip翻转时间维度，把时序转正，再调用OptTrajCal反向回溯最优轨迹。 可达集只是 “状态集合”，它只告诉你哪些初始状态能赢、哪些会输；轨迹回溯才是求出从初始状态出发，双方每一步该怎么选择控制量（运动方向），也就是最优策略对应的状态序列。plotOptTraj 把可达集等值线、攻击者轨迹、防御者轨迹一起画出来，可以直观看到博弈全过程：攻击者如何尝试冲向目标，防御者如何拦截。

5. winning_region 解析函数简要说明

这个函数是这个仿真里的对照项。在特定匀速追逃、圆形目标场景下，可以推导出获胜区域的几何解析表达式。 循环遍历角度，计算解析获胜边界上的点，再做旋转变换，同时绘制上下对称的两条曲线。 它的局限前面也提到了：只有非常简单的博弈场景才有解析解；只要加入不规则障碍物、不等速、动力学约束，解析解就不存在，只能依赖 HJI 数值可达集。

三、核心原理：微分博弈、HJI 方程与可达集

1. 二人零和微分博弈

这个是典型的追击 - 保护微分博弈，属于零和博弈：攻击者收益 = - 防御者收益。 攻击者选择控制输入，最大化抵达目标的机会；防御者选择控制输入，最大化捕获攻击者的机会，二者对抗。 动力学是简单一阶积分器：状态的导数等于速度控制方向，速度幅值固定。

2. HJI 方程和可达集

HJI（Hamilton-Jacobi-Isaacs）方程是这类博弈的核心偏微分方程。 对于最优控制是 HJ 方程；对于双方对抗的微分博弈，就变成 HJI 方程。 我们求解的不是单条轨迹，而是一整个状态集合：可达集。

• 攻击者可达集：攻击者可以在规定时间内成功到达目标的所有初始状态；

• 防御者捕获集：防御者可以在攻击者到达目标之前完成捕获的所有初始状态。

水平集（Level Set）方法的思路：用一个隐函数表示集合，函数小于 0 的区域就是可达集内部，大于 0 是外部。通过数值演化 HJI 方程，更新这个隐函数，得到不同时刻的可达集。

一个很容易踩坑的知识点： 普通正向路径规划是 “给定起点，找一条终点轨迹”； HJI 可达集是 “给定终止条件，找出所有能满足终止条件的起点”，是集合层面的求解，不是单轨迹。 所以它适合事前做态势评估、区域划分，判断初始态势谁占优。

3. 可达集 vs 最优轨迹

很多初学者会混淆二者：

1. 先求解 HJI，得到可达集（胜负区域划分）；

2. 再基于已经算好的水平集函数梯度，沿着梯度方向回溯，得到双方最优控制和最优轨迹； 可达集是基础，轨迹是可达集的衍生结果。

四、仿真结果解读

运行代码后，图上会出现几层信息：

1. 水平集等值线：数值求解得到的可达集边界；

2. 红色 / 黑色解析曲线：几何方法算出的理论获胜边界，用来对照；

3. 两条轨迹：攻击者轨迹、防御者轨迹；

4. 目标区域、障碍物圆形轮廓。

对照实验可以这样设计：

1. 切换 protect/chase/both，观察可达集形状、最优拦截策略变化；

2. 修改 va、vd，让攻击者速度大于防御者，或者反过来，观察胜负区域变化；

3. 调整 captureRadius，捕获半径变大，防御者更容易拦截；

4. 调高 Nx，对比低分辨率和高分辨率下可达集边界精度；

5. 修改 timeMax，给博弈更长时间，观察可达集扩张。

五、论文创新点改进方向（直接可用）

1. 动力学升级：把简单积分器改成 Dubins 车辆、固定翼无人机动力学，增加最小转弯半径约束，更贴近飞行器攻防；

2. 多智能体微分博弈：扩展成多防御者、多攻击者，多人微分博弈；

3. 不确定性拓展：加入速度扰动、测量噪声，鲁棒可达集；

4. 混合博弈框架：上层任务分配（SOM / 匈牙利）+ 下层 HJI 微分博弈；

5. 降维加速：传统 HJI 网格维度灾难，可以结合深度学习、神经网络隐式表示可达集，提升在线计算速度；

6. 动态目标、动态障碍物场景，构建时变可达集；

7. 融合模型预测控制 MPC：用离线可达集作为安全约束，在线 MPC 生成控制指令；

8. 指标量化：计算获胜区域面积、拦截成功率、最小拦截时间，形成对比曲线。

六、写在最后

微分博弈 + 可达集是无人机攻防、拦截对抗、主动保护领域非常硬核的理论方向，和我们之前分享的 MAPF、SOM 任务分配属于完全不同的范式。 MAPF 是离散时间、栅格、多机器人避撞；而 HJI 可达集是连续状态、连续时间、对抗博弈，它回答的是态势优劣问题：这个初始局面，防御者能不能拦得住？

这套代码的价值在于：它把学术界成熟的 ToolboxLS 水平集工具封装成了可直接运行的追逃博弈仿真，并且附带解析解对照验证、最优轨迹回溯，是非常标准的基线。如果你要做微分博弈、无人机拦截、目标保护方向的论文，这个框架可以直接作为对比基线。

⛳️ 运行结果

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