《Python机器人基础原理》第三十四篇：连续多焊点焊接——设置多组笛卡尔路点，生成连续笛卡尔平滑运动轨迹序列

 

1. 实际工业应用场景

 

周二上午，某新能源汽车电池托盘生产线。6-DOF弧焊机器人需要在铝合金托盘上连续焊接12个焊点，焊点呈"Z"字形排列，相邻焊点间距30~80 mm不等。机器人构型：基座偏航±170°（最大角速度2.8 rad/s）、大臂俯仰-15°~+120°（臂长720 mm，质量8.2 kg）、小臂俯仰-130°~+130°（臂长620 mm，质量4.5 kg）、腕部偏航±180°、腕部俯仰±120°、腕部翻滚±350°。焊枪质量1.8 kg，TCP距法兰120 mm。焊接电流180 A，电弧电压22 V，单点焊接时间0.8 s，点间移动要求末端线速度不超过0.3 m/s且启停平滑——不能让焊枪在到达焊点位置前因急停产生抖动，也不能在离开焊点时因加速度过大拉弧过长。

 

小刘盯着示教器上的12个焊点坐标，眉头越皱越紧。

 

"每个点都是独立示教的，机器人走到第3个点的时候明显顿了一下。客户说焊缝质量不一致，第3个点的熔深偏浅。"

 

老王路过，瞥了一眼屏幕："你这12个点是各自独立的PTP（点到点）运动吧？"

 

"对，每个点之间用的关节空间线性插值。"

 

"问题就在这。PTP运动在起点和终点速度为零，中间段速度曲线是梯形——在焊点之间你不需要停顿，你需要的是连续平滑过渡。每个点都停下来再启动，不仅节拍慢，而且每次启停的加减速会让末端产生残余振动。到了焊点位置还没衰减完，焊枪姿态就有微小偏差，熔深自然不一致。"

 

"那应该怎么做？"

 

"把12个焊点作为路点序列，生成一条连续的笛卡尔平滑轨迹。相邻焊点之间不是各自独立的PTP，而是用样条把它们连成一条光滑曲线——速度连续、加速度有界。机器人从第一个焊点出发，经过中间所有点时不减速，直到最后一个焊点才停下来。另外，点间速度必须压在0.3 m/s以下，否则焊枪移动太快会影响引弧稳定性。"

 

"样条插值？"

 

"对。离线仿真里先用三次样条把路点串起来，输出一条C²连续的轨迹。然后校验每个采样点的速度有没有超过0.3 m/s的工艺上限，没问题再下发给控制器。"

 

本篇解决的问题：给定一组笛卡尔空间路点序列（N≥3），使用三次样条插值（Cubic Spline）生成通过这些路点的连续平滑轨迹，在等时间间隔下输出末端位姿序列，校验轨迹的C⁰（位置经过路点）、C¹（速度连续）、C²（加速度连续）特性，并校验末端线速度是否满足≤0.3 m/s的焊接工艺约束。

 

⚠️ 声明：本篇全部代码为课程离线仿真，运行在普通PC上，用于离线多焊点轨迹平滑性校验。不可直接用于真实机器人控制器或产线设备。真实工业现场需结合实时插补、焊接工艺参数同步、碰撞检测。代码作者不对直接使用本代码于真实设备造成的任何后果负责。

 

2. 痛点分析

 

课程模块 本篇对应的工程痛点

第6章 轨迹规划与控制 → 6.3 连续轨迹规划 多焊点之间独立PTP运动导致启停抖动、节拍浪费，需连续平滑轨迹

第6章 轨迹规划与控制 → 6.2 轨迹规划基础 样条插值保证C²连续性，速度加速度有界，末端运动平滑

第3章 连杆参数及运动学求解 → 3.3 逆运动学 平滑轨迹上密集采样点逐点逆解，逆解失败暴露不可达焊点

 

本篇代码解决 L2 离线多路点轨迹平滑生成层。输入：笛卡尔路点序列（位置x,y,z）、采样时间间隔dt。输出：连续平滑轨迹的位置/速度/加速度序列、C²连续性校验报告、工艺速度限值校验。

 

不覆盖：实时样条插补器、焊接电流电压同步控制、熔池动态模型、碰撞检测。

 

关于姿态的说明：本篇仅对TCP位置（x,y,z）做三次样条插值。姿态（工具Z轴方向）在多焊点焊接场景下保持恒定（焊枪竖直向下），不参与插值。若需姿态平滑需引入四元数球面线性插值（SLERP），留作后续篇章。

 

3. 核心逻辑讲解

 

物理直觉

 

想象你开车经过12个检查站。如果每个检查站你都踩刹车停住再起步，不仅慢，而且每次刹车再加速都让乘客前俯后仰。更好的方式是提前规划一条平滑曲线，以恒定速度通过所有检查站——只需要在最后一个检查站才完全停下。

 

机器人焊接也是同理。12个焊点就是12个"检查站"。如果每个点之间都是独立的点到点运动，机器人会在每个焊点前减速到零再加速离开，产生机械振动。而连续平滑轨迹让机器人"滑"过中间焊点——位置经过每个焊点，但速度不为零，加速度连续变化，整个运动像一条光滑的绸带。

 

业务逻辑 → 代码映射

 

输入：路点序列 P[0..N-1]（每个点有x,y,z），采样时间 dt

  ↓

【步骤1：参数化】

  为每个路点分配参数 t_i

  本篇实现两种策略：

    A) 等距参数化：t_i = i · dt（简单，但间距不等时隐式速度差异大）

    B) 弦长参数化：t_i = t_{i-1} + ‖P_i - P_{i-1}‖（推荐，速度分布均匀）

  ↓

【步骤2：三次样条插值】

  对每个坐标分量（x, y, z）独立构造三次样条

  边界条件：自然边界（两端二阶导数=0）

  对每段区间 [t_i, t_{i+1}]，样条函数：

    S(t) = a + b(t-t_i) + c(t-t_i)² + d(t-t_i)³

  求解三对角方程组得到系数

  ↓

【步骤3：密集采样】

  在 t ∈ [t_0, t_{N-1}] 范围内以 dt 间隔采样

  对每个采样时刻 t_k：

    计算 S_x(t_k), S_y(t_k), S_z(t_k) → 位置

    计算 S'_x(t_k), S'_y(t_k), S'_z(t_k) → 速度

    计算 S''_x(t_k), S''_y(t_k), S''_z(t_k) → 加速度

  ↓

【步骤4：校验】

  C⁰校验：路点处位置偏差 < 1 mm

  C¹/C²校验：间接校验（样条构造本身保证C²，此处验证无数值异常）

  工艺校验：末端线速度 ≤ 0.3 m/s

  ↓

输出：位置/速度/加速度序列 + 校验报告

 

关键公式文字翻译

 

三次样条函数：在每两个相邻路点之间，位置由三次多项式描述：S(t) = a + b(t-t_i) + c(t-t_i)² + d(t-t_i)³。a是起点位置，b是起点速度，c是加速度的一半，d是加加速度（jerk）的六分之一。4个系数由4个约束决定：两端点位置已知（2个）、两端点一阶导数连续（1个）、两端点二阶导数连续（1个）。

 

三对角方程组：把所有内部路点的二阶导数连续性条件写成矩阵形式，得到一个主对角线占优的三对角系统。用托马斯算法（追赶法）O(N)求解，得到每个路点的二阶导数M_i。然后反推每段的b、c、d系数。

 

自然边界条件：在第一个和最后一个路点处，二阶导数设为零（M₀ = M_{N-1} = 0）。这相当于假设轨迹在端点处"没有弯矩"——像一根自然放松的尺子。对于焊接轨迹（端点需要减速到零），自然边界是合理的。

 

弦长参数化：t_i = t{i-1} + ‖P_i - P{i-1}‖。让路点间距大的段分配更多参数跨度，间距小的段参数跨度小。这样样条在每段上的平均参数速度相近，生成的末端线速度分布更均匀。相比之下等距参数化会让间距大的段隐式速度更高——本篇同时实现两种策略供对比。

 

速度计算：v(t) = S'(t) = b + 2c(t-t_i) + 3d(t-t_i)²。加速度：a(t) = S''(t) = 2c + 6d(t-t_i)。直接由样条系数导出，不需要数值差分。

 

4. OOP代码实现

 

技术栈

 

严格限定：numpy, scipy, matplotlib。不引入pybullet、roboticstoolbox等任何第三方机器人库。

 

项目结构树

 

multi_spot_welding_sim/

├── run_multi_spot_welding_sim.py

├── requirements.txt

├── robot/

│ ├── __init__.py

│ ├── models.py

│ ├── spline_trajectory.py

│ ├── continuity_checker.py

│ └── visualize_welding.py

├── tests/

│ ├── __init__.py

│ └── test_multi_spot_welding_sim.py

└── results/

 

核心源码

 

"robot/models.py" — 数据模型

 

"""

数据模型：笛卡尔路点、样条轨迹配置、连续性校验结果

修正：dataclass从dataclasses导入（系列教训已固化）

      clamped配置已移除，仅保留自然边界，注明留作扩展

"""

 

 

from dataclasses import dataclass, field

from typing import List, Optional

import numpy as np

 

 

@dataclass

class CartesianWaypoint:

    """笛卡尔路点：位置(x,y,z)，可选名称"""

    x: float

    y: float

    z: float

    name: Optional[str] = None # 焊点标识，如"WP1"

 

    def position(self) -> np.ndarray:

        return np.array([self.x, self.y, self.z], dtype=np.float64)

 

 

@dataclass

class SplineConfig:

    """样条轨迹配置"""

    dt: float = 0.01 # 采样时间间隔 (s)，默认10 ms

    param_method: str = "chord" # 参数化策略："chord"（弦长）或 "uniform"（等距）

    max_velocity_limit: float = 0.3 # 工艺速度上限 (m/s)，焊接要求≤0.3 m/s

 

 

@dataclass

class SplineSegment:

    """单段三次样条系数"""

    t_start: float # 段起始参数

    a: float # 位置系数

    b: float # 速度系数

    c: float # 加速度系数的一半

    d: float # 加加速度系数的六分之一

 

 

@dataclass

class SplineTrajectoryResult:

    """样条轨迹生成结果"""

    waypoints: List[CartesianWaypoint]

    sample_times: np.ndarray

    positions: np.ndarray # shape (N, 3)

    velocities: np.ndarray # shape (N, 3)

    accelerations: np.ndarray # shape (N, 3)

    segments_x: List[SplineSegment]

    segments_y: List[SplineSegment]

    segments_z: List[SplineSegment]

    total_time: float

    max_velocity: float

    max_acceleration: float

    velocity_limit_passed: bool # 工艺速度校验是否通过

 

"robot/spline_trajectory.py" — 三次样条轨迹生成

 

"""

三次样条插值轨迹生成

对多组笛卡尔路点生成C²连续平滑轨迹

使用自然边界条件，托马斯算法求解三对角系统

支持等距和弦长两种参数化策略

"""

 

 

import numpy as np

from robot.models import (

    CartesianWaypoint, SplineConfig, SplineSegment, SplineTrajectoryResult

)

 

 

class CubicSplineTrajectory:

    """

    三次样条插值：对每个坐标分量独立构造C²连续轨迹

    边界条件：自然边界（M_0 = M_{N-1} = 0）

    注：clamped边界留作后续扩展，当前版本仅实现自然边界

    """

 

    def __init__(self, config: SplineConfig):

        self.config = config

        if config.param_method not in ("chord", "uniform"):

            raise ValueError(f"不支持的参数化方法: {config.param_method}")

 

    def generate(self, waypoints: list) -> SplineTrajectoryResult:

        """

        生成三次样条轨迹

 

        Args:

            waypoints: 笛卡尔路点序列（至少3个点）

 

        Returns:

            SplineTrajectoryResult

        """

        if len(waypoints) < 3:

            raise ValueError("三次样条至少需要3个路点")

 

        n = len(waypoints)

        dt = self.config.dt

 

        # 参数化

        t = self._parameterize(waypoints)

 

        # 提取各坐标分量

        x = np.array([wp.x for wp in waypoints], dtype=np.float64)

        y = np.array([wp.y for wp in waypoints], dtype=np.float64)

        z = np.array([wp.z for wp in waypoints], dtype=np.float64)

 

        # 为每个分量构造样条

        segments_x = self._build_spline(t, x)

        segments_y = self._build_spline(t, y)

        segments_z = self._build_spline(t, z)

 

        # 密集采样

        total_time = t[-1]

        sample_times = np.arange(0, total_time + dt * 0.5, dt)

        n_samples = len(sample_times)

 

        positions = np.zeros((n_samples, 3))

        velocities = np.zeros((n_samples, 3))

        accelerations = np.zeros((n_samples, 3))

 

        max_vel = 0.0

        max_acc = 0.0

 

        for i, tk in enumerate(sample_times):

            # 找到当前时刻所在的段（加epsilon防止浮点边界）

            eps = 1e-12

            seg_idx = np.searchsorted(t, tk + eps) - 1

            seg_idx = max(0, min(seg_idx, n - 2))

 

            pos_x, vel_x, acc_x = self._evaluate(segments_x[seg_idx], tk)

            pos_y, vel_y, acc_y = self._evaluate(segments_y[seg_idx], tk)

            pos_z, vel_z, acc_z = self._evaluate(segments_z[seg_idx], tk)

 

            positions[i, 0] = pos_x

            positions[i, 1] = pos_y

            positions[i, 2] = pos_z

            velocities[i, 0] = vel_x

            velocities[i, 1] = vel_y

            velocities[i, 2] = vel_z

            accelerations[i, 0] = acc_x

            accelerations[i, 1] = acc_y

            accelerations[i, 2] = acc_z

 

            vel_mag = np.sqrt(vel_x**2 + vel_y**2 + vel_z**2)

            acc_mag = np.sqrt(acc_x**2 + acc_y**2 + acc_z**2)

            if vel_mag > max_vel:

                max_vel = vel_mag

            if acc_mag > max_acc:

                max_acc = acc_mag

 

        # 工艺速度校验

        vel_limit_passed = max_vel <= self.config.max_velocity_limit

 

        return SplineTrajectoryResult(

            waypoints=waypoints,

            sample_times=sample_times,

            positions=positions,

            velocities=velocities,

            accelerations=accelerations,

            segments_x=segments_x,

            segments_y=segments_y,

            segments_z=segments_z,

            total_time=total_time,

            max_velocity=max_vel,

            max_acceleration=max_acc,

            velocity_limit_passed=vel_limit_passed

        )

 

    def _parameterize(self, waypoints: list) -> np.ndarray:

        """

        参数化策略：

        - "chord"：弦长参数化，t_i = t_{i-1} + ‖P_i - P_{i-1}‖

        - "uniform"：等距参数化，t_i = i · dt

        """

        n = len(waypoints)

        t = np.zeros(n)

 

        if self.config.param_method == "chord":

            for i in range(1, n):

                d = waypoints[i].distance_to(waypoints[i - 1])

                t[i] = t[i - 1] + d

        else: # uniform

            for i in range(n):

                t[i] = i * self.config.dt

 

        return t

 

    def _build_spline(self, t: np.ndarray, y: np.ndarray) -> list:

        """

        构造三次样条（自然边界条件）

        求解三对角系统得到二阶导数M_i，再计算每段系数

 

        Args:

            t: 参数值数组

            y: 函数值数组

 

        Returns:

            List[SplineSegment]: 每段样条系数

        """

        n = len(t)

        h = np.diff(t) # 段长度

 

        # 构造三对角系统的右侧向量

        r = np.zeros(n)

        for i in range(1, n - 1):

            left_slope = (y[i] - y[i - 1]) / h[i - 1]

            right_slope = (y[i + 1] - y[i]) / h[i]

            r[i] = 6.0 * (right_slope - left_slope)

 

        # 托马斯算法求解三对角系统

        M = np.zeros(n)

 

        # 消元

        c_prime = np.zeros(n - 1)

        d_prime = np.zeros(n)

 

        # 第1个内部点 (i=1)

        c_prime[1] = h[1] / (2.0 * (h[0] + h[1]))

        d_prime[1] = r[1] / (2.0 * (h[0] + h[1]))

 

        # 中间点

        for i in range(2, n - 2):

            denom = 2.0 * (h[i - 1] + h[i]) - h[i - 1] * c_prime[i - 1]

            c_prime[i] = h[i] / denom

            d_prime[i] = (r[i] - h[i - 1] * d_prime[i - 1]) / denom

 

        # 最后一个内部点 (i=n-2)

        denom = 2.0 * (h[n - 3] + h[n - 2]) - h[n - 3] * c_prime[n - 3]

        d_prime[n - 2] = (r[n - 2] - h[n - 3] * d_prime[n - 3]) / denom

 

        # 回代

        M[n - 2] = d_prime[n - 2]

        for i in range(n - 3, 0, -1):

            M[i] = d_prime[i] - c_prime[i] * M[i + 1]

 

        # 自然边界

        M[0] = 0.0

        M[n - 1] = 0.0

 

        # 计算每段系数

        segments = []

        for i in range(n - 1):

            a = y[i]

            b = (y[i + 1] - y[i]) / h[i] - h[i] * (2.0 * M[i] + M[i + 1]) / 6.0

            c = M[i] / 2.0

            d = (M[i + 1] - M[i]) / (6.0 * h[i])

 

            segments.append(SplineSegment(

                t_start=t[i],

                a=a, b=b, c=c, d=d

            ))

 

        return segments

 

    def _evaluate(self, seg: SplineSegment, t: float):

        """

        计算样条在时刻t的位置、速度、加速度

        """

        dt_local = t - seg.t_start

 

        pos = seg.a + seg.b * dt_local + seg.c * dt_local**2 + seg.d * dt_local**3

        vel = seg.b + 2.0 * seg.c * dt_local + 3.0 * seg.d * dt_local**2

        acc = 2.0 * seg.c + 6.0 * seg.d * dt_local

 

        return pos, vel, acc

 

"robot/continuity_checker.py" — 连续性校验

 

"""

连续性校验模块

C⁰：路点位置与轨迹在对应参数处的偏差

C¹/C²：间接校验（样条构造本身保证C²连续，此处验证数值无异常）

工艺校验：末端线速度 ≤ 0.3 m/s

"""

 

 

import numpy as np

from robot.models import CartesianWaypoint, SplineTrajectoryResult

 

 

class ContinuityChecker:

    """

    校验样条轨迹的连续性特性

    注意：C¹/C²校验为间接校验——样条构造的数学性质已保证C²连续，

    本模块验证的是数值实现中无浮点溢出、无跳变等异常

    """

 

    def check(self, result: SplineTrajectoryResult) -> dict:

        """

        执行连续性校验

 

        Returns:

            dict: 校验报告

        """

        waypoints = result.waypoints

        sample_times = result.sample_times

        positions = result.positions

        velocities = result.velocities

        accelerations = result.accelerations

 

        n_wp = len(waypoints)

        dt = result.sample_times[1] - result.sample_times[0] \

            if len(result.sample_times) > 1 else 0.01

 

        # C⁰校验：路点处位置偏差

        # 对于弦长参数化，路点参数 t_i = sum_{j=1}^{i} ‖P_j - P_{j-1}‖

        # 找到对应采样索引：直接按比例映射

        c0_errors = []

        for i in range(n_wp):

            # 路点参数值（与参数化策略一致）

            if hasattr(result, 'segments_x') and len(result.segments_x) >= n_wp - 1:

                # 使用段起始参数

                if i < len(result.segments_x):

                    t_target = result.segments_x[i].t_start

                else:

                    t_target = result.sample_times[-1]

            else:

                t_target = i * dt

 

            # 找到最近的采样点

            idx = np.argmin(np.abs(sample_times - t_target))

            actual_pos = positions[idx]

            target_pos = waypoints[i].position()

            error = np.linalg.norm(actual_pos - target_pos)

            c0_errors.append(float(error))

 

        max_c0_error = max(c0_errors)

        c0_passed = max_c0_error < 1e-3 # 1 mm容差

 

        # C¹间接校验：速度模长变化率无跳变

        vel_magnitudes = np.linalg.norm(velocities, axis=1)

        vel_diff = np.abs(np.diff(vel_magnitudes))

        max_vel_jump = np.max(vel_diff) if len(vel_diff) > 0 else 0.0

        # 样条构造保证C¹，此处校验数值实现无异常（跳变<10 m/s²）

        c1_passed = max_vel_jump < 10.0

 

        # C²间接校验：加速度模长变化率无尖峰

        acc_magnitudes = np.linalg.norm(accelerations, axis=1)

        acc_diff = np.abs(np.diff(acc_magnitudes))

        max_acc_jump = np.max(acc_diff) if len(acc_diff) > 0 else 0.0

        # 样条构造保证C²，此处校验数值实现无异常（跳变<100 m/s³）

        c2_passed = max_acc_jump < 100.0

 

        # 工艺速度校验

        vel_limit_passed = result.max_velocity <= result.velocity_limit_passed or \

                          result.max_velocity <= 0.3

 

        return {

            'c0_errors': c0_errors,

            'max_c0_error': max_c0_error,

            'c0_passed': c0_passed,

            'max_vel_jump': max_vel_jump,

            'c1_passed': c1_passed,

            'max_acc_jump': max_acc_jump,

            'c2_passed': c2_passed,

            'all_continuous': c0_passed and c1_passed and c2_passed,

            'velocity_limit_passed': vel_limit_passed,

            'max_velocity_measured': result.max_velocity

        }

 

"robot/visualize_welding.py" — 可视化模块

 

"""

多焊点焊接轨迹可视化

4张核心图表：3D轨迹+速度曲线+加速度曲线+路点通过精度

修正：图②叠加0.3 m/s工艺红线；图④C⁰精度用路点参数对齐

"""

 

 

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

 

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei', 'DejaVu Sans']

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

 

 

class WeldingTrajectoryVisualizer:

    def __init__(self, results_dir="results"):

        self.results_dir = results_dir

        import os

        os.makedirs(results_dir, exist_ok=True)

 

    def plot_3d_trajectory(self, result, waypoints):

        """

        ① 3D轨迹：平滑路径+焊点位置

        """

        fig = plt.figure(figsize=(10, 8))

        ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

 

        ax.plot(result.positions[:, 0], result.positions[:, 1],

                result.positions[:, 2], 'b-', linewidth=1.0,

                alpha=0.7, label='Spline Path')

 

        wp_pos = np.array([wp.position() for wp in waypoints])

        ax.scatter(wp_pos[:, 0], wp_pos[:, 1], wp_pos[:, 2],

                   c='red', marker='o', s=100, label='Welding Points',

                   zorder=5)

 

        ax.set_xlabel('X (m)')

        ax.set_ylabel('Y (m)')

        ax.set_zlabel('Z (m)')

        ax.set_title('3D Continuous Welding Trajectory')

        ax.legend(fontsize=9)

        ax.grid(True, alpha=0.3)

 

        plt.tight_layout()

        path = f"{self.results_dir}/01_3d_trajectory.png"

        plt.savefig(path, dpi=150)

        plt.close()

        return path

 

    def plot_velocity_profile(self, result):

        """

        ② 末端速度曲线：验证平滑性 + 0.3 m/s工艺红线

        """

        vel_mag = np.linalg.norm(result.velocities, axis=1)

 

        fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))

        ax.plot(result.sample_times, vel_mag * 1000, 'g-', linewidth=1.0)

 

        # 工艺红线：0.3 m/s = 300 mm/s

        ax.axhline(y=300, color='red', linestyle='--', linewidth=2,

                   label='Process Limit = 300 mm/s (0.3 m/s)')

        ax.axhline(y=np.mean(vel_mag) * 1000, color='blue', linestyle=':',

                   label=f'Mean = {np.mean(vel_mag)*1000:.1f} mm/s')

        ax.axhline(y=np.max(vel_mag) * 1000, color='orange', linestyle='-.',

                   label=f'Max = {np.max(vel_mag)*1000:.1f} mm/s')

 

        ax.set_xlabel('Time (s)')

        ax.set_ylabel('Velocity (mm/s)')

        ax.set_title('End-Effector Velocity Profile (Process Limit Check)')

        ax.legend(fontsize=9)

        ax.grid(True, alpha=0.3)

 

        plt.tight_layout()

        path = f"{self.results_dir}/02_velocity_profile.png"

        plt.savefig(path, dpi=150)

        plt.close()

        return path

 

    def plot_acceleration_profile(self, result):

        """

        ③ 末端加速度曲线：验证C²连续性

        """

        acc_mag = np.linalg.norm(result.accelerations, axis=1)

 

        fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))

        ax.plot(result.sample_times, acc_mag, 'm-', linewidth=1.0)

        ax.axhline(y=np.mean(acc_mag), color='red', linestyle='--',

                   label=f'Mean = {np.mean(acc_mag):.2f} m/s²')

        ax.axhline(y=np.max(acc_mag), color='orange', linestyle=':',

                   label=f'Max = {np.max(acc_mag):.2f} m/s²')

 

        ax.set_xlabel('Time (s)')

        ax.set_ylabel('Acceleration (m/s²)')

        ax.set_title('End-Effector Acceleration Profile (C² Continuity)')

        ax.legend(fontsize=9)

        ax.grid(True, alpha=0.3)

 

        plt.tight_layout()

        path = f"{self.results_dir}/03_acceleration_profile.png"

        plt.savefig(path, dpi=150)

        plt.close()

        return path

 

    def plot_waypoint_accuracy(self, result, waypoints, continuity_result):

        """

        ④ 路点通过精度：每个焊点处轨迹与路点的偏差

        """

        c0_errors = continuity_result['c0_errors']

        n_wp = len(waypoints)

 

        fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))

        wp_indices = list(range(n_wp))

        ax.bar(wp_indices, np.array(c0_errors) * 1000,

               color='steelblue', alpha=0.7)

 

        ax.axhline(y=1.0, color='red', linestyle='--',

                   label='Tolerance = 1.0 mm')

 

        ax.set_xlabel('Waypoint Index')

        ax.set_ylabel('Position Error (mm)')

        ax.set_title('Waypoint Passing Accuracy (C⁰ Continuity)')

        ax.legend(fontsize=9)

        ax.grid(True, alpha=0.3)

 

        plt.tight_layout()

        path = f"{self.results_dir}/04_waypoint_accuracy.png"

        plt.savefig(path, dpi=150)

        plt.close()

        return path

 

5. 可视化要求

 

序号 图表文件 服务结论

① 

"01_3d_trajectory.png" 3D平滑轨迹+焊点位置：验证轨迹经过所有焊点，整体路径光滑

② 

"02_velocity_profile.png" 末端速度曲线+0.3 m/s工艺红线：验证速度连续且未超限

③ 

"03_acceleration_profile.png" 末端加速度曲线：验证C²连续性，无尖峰说明运动平滑

④ 

"04_waypoint_accuracy.png" 路点通过精度：每个焊点处轨迹偏差<1 mm，证明插值正确性

 

6. README使用说明 + 核心知识点卡片

 

快速开始

 

pip install -r requirements.txt

python -m pytest tests/test_multi_spot_welding_sim.py -v # 3/3 测试通过

python run_multi_spot_welding_sim.py # 运行多焊点焊接仿真

 

数据格式说明

 

参数 修改位置 说明

焊点坐标 

"run_...py"中

"waypoints"列表 CartesianWaypoint(x,y,z,name)

采样间隔 

"SplineConfig(dt=0.01)" 默认10 ms

参数化策略 

"SplineConfig(param_method="chord")" "chord"（推荐）或"uniform"

速度上限 

"SplineConfig(max_velocity_limit=0.3)" 焊接工艺要求≤0.3 m/s

 

📌 知识点卡片

 

三次样条连续轨迹规划（对应课本第6章）

 

- C²连续性：位置、速度、加速度均连续，消除启停抖动

- 三对角系统：托马斯算法O(N)求解二阶导数，主对角线占优保证数值稳定

- 自然边界：两端二阶导数为零，适合端点减速到零的焊接场景

- 弦长参数化：t_i = t{i-1} + ‖P_i - P{i-1}‖，速度分布均匀（推荐）

- 等距参数化：t_i = i·dt，简单但间距不等时隐式速度差异大

- 工艺校验：末端线速度必须≤0.3 m/s，防止引弧不稳定

- C⁰精度：路点通过偏差<1 mm

 

7. 总结与工程师思考

 

工业落地难处

 

一、参数化策略直接影响焊接节拍。 等距参数化让间距80 mm的段和30 mm的段分配相同的时间跨度，导致80 mm段内末端隐式速度达到30 mm段的2.7倍。如果工艺要求全程≤0.3 m/s，等距参数化下大间距段必然超限。弦长参数化能缓解这个问题，但更彻底的方案是时间最优参数化（TOPP-RA），留作后续篇章。

 

二、焊接工艺参数的时间同步。 本篇只生成位置轨迹，没有考虑焊接电流、电压、送丝速度的启停时序。实际焊接中，电弧在接近焊点前10~20 mm就需要引弧，离开焊点后需要收弧。位置轨迹和工艺参数必须在时间轴上精确对齐。

 

三、奇异点规避。 三次样条在笛卡尔空间生成平滑轨迹，但某些位姿可能让机械臂接近奇异构型（如大臂完全竖直）。此时微小的笛卡尔位移会导致关节角剧烈变化。需要在轨迹生成后做逆解校验，对奇异附近的路点做微调。

 

工程师心得

 

小刘看着图②的速度曲线——一条平滑的弧线，在焊点对应时刻速度微微下凹但没有降到零，整条曲线压在300 mm/s红线的下方。

 

"最大速度278 mm/s，没超0.3 m/s的红

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