A 题 药材烘干 思路分析

这题的本质一句话：在圆柱体上联立求解热传导和水分扩散两个偏微分方程，而且参数是变的、最后边界还会动。

一、先定一个关键简化

药材长 25cm、半径才 2cm，长度是半径的 12 倍多，所以完全可以当成无限长圆柱处理，轴向的热和水分传递忽略掉，问题就降成一维的径向问题——温度、水分都只跟到中心的距离 r 和时间 t 有关。这一步不做，后面会复杂到没法算。

二、问题 1：预热阶段

你要建的是两个方程：一个是热传导方程，一个是水分扩散方程，都写在柱坐标下。表面边界用的是对流换热（第三类边界条件），也就是表面热流跟药材表面温度和烘房温度的差成正比；水分这边表面是对流传质，表面水分通量跟表面水分浓度和烘房水分浓度的差成正比。烘房的温度和水分浓度不是常数，附件 1 给的是每隔 60 秒一个点，你要插值成连续函数再喂进边界条件。

然后离散求解：时间步 1 秒、空间步 0.1cm，用有限差分（建议 Crank-Nicolson，稳定性好）。注意附录 2 里扩散系数 D 等于 7 乘 10 的负 9 次方再乘 e 的负 0.89C 次方，它是跟着水分浓度变的，所以这是非线性方程，要么显式处理、要么迭代，别当常数。算完按表 1、表 2 填数，再导 result1.xlsx。

三、问题 2：整个烘干过程

参数换成附录 3 那套经验公式，密度、比热、导热系数、扩散系数全部跟着水分浓度 C 变，扩散系数还额外跟着温度 T 变。这就成了强耦合非线性 PDE，温度和水分要交替求解、每一小步内部迭代到收敛。特别注意：附录 3、4 里的 T 是开尔文温度，你前面算的是摄氏度，代入公式前要加 273.15，这个坑一踩结果全错。时间跨度从预热到恒温，要处理两阶段的参数切换。给出 3 小时的表和 result2.xlsx。

四、问题 3：烘干时长

模型不变，就是往长了积分，积到两三天，直到药材所有位置的水分浓度都低于 0.15。因为表面先干、中心最后干，所以这个终止条件等价于看中心点（r 等于 0）的水分浓度什么时候降到 0.15 以下，那个时刻就是烘干时间。每 6 小时出一行水分浓度，result3.xlsx 里存每隔 60 秒、0.1cm 的完整结果。

五、问题 4：尺寸收缩

这问最麻烦。附件 2 给了半径随时间收缩的数据，也就是说求解区域本身在变，这是动边界问题。处理办法：做个坐标变换，把 r 归一化成 r 除以 R(t)（专业叫 Landau 变换），让动边界变成固定的 0 到 1 区间，代价是方程里多出一些含 R(t) 和对流项的修正项。参数用附录 4 的经验公式。核心就是变边界的 PDE 数值求解，思路和问题 3 一样，只是多套一层坐标变换。

六、方法清单和易错点

整体方法：偏微分方程建模、柱坐标一维化、有限差分法（Crank-Nicolson）、非线性耦合迭代、插值、动边界 Landau 变换。最容易翻车的三个点：温度单位（开尔文还是摄氏度）、扩散系数不能当常数、以及长圆柱近似要不要做（要做）。数值结果一定要自洽验证，比如中心点温度该比表面低、水分中心该比表面高，这个物理直觉能帮你快速查错。