计算逆矩阵

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前言

  逆矩阵是我们线性代数所学习的，在Python中我们可以通过numpy.linalg一个包含线性代数的函数模块。使用这个模块，我们可以实现计算逆矩阵。

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一、矩阵

  矩阵与数组的概念有着本质的区别：①数组是计算机专业的概念，矩阵是数学专业的概念；②数组可以是一维、二维、三维或其他任意维度的，矩阵只能且必须是二维的；③数组中可以包含任意类型的数据，矩阵中元素必须是数值；④数组乘法与矩阵乘法的规则不同。

定义矩阵的两种方式，代码如下：

import numpy as np
A = np.matri`x([[1, 2], [3, 4]])      # 列表
B = np.mat('5 6; 7 8')               # 字符串
print(A)
print(B)

二、逆矩阵

1.逆矩阵的定义

   A、B为同阶矩阵，如果存在AB = BA = E，即称B为A的逆矩阵，同理，A也是B的逆矩阵,记作.

• 注意

1）不是所有的矩阵都存在逆矩阵

2）只有方阵才存在逆矩阵

3）如果逆矩阵存在，逆矩阵唯一

4）逆矩阵存在的条件|A| != 0，即可逆矩阵的行列式不为0

2.计算逆矩阵

   拓展库Numpy 的线性代数子模块linalg中提供了用来计算逆矩阵的函数inv()。
计算方阵的逆矩阵

代码如下：

（1）方阵求逆

A = np.array([[4, 7],
              [2, 6]])
det_A = np.linalg.det(A) #计算行列式
print('A =\n', A)
print('det(A) = {:.2f}'.format(det_A))

A_inv = np.linalg.inv(A)          # 求逆
I_check = A @ A_inv               # 原矩阵 × 逆矩阵
print('A_inv =\n', A_inv)
print('A · A_inv =\n', I_check)
print('是否单位矩阵？', np.allclose(I_check, np.eye(2)))

运行结果：

（2）非方阵求逆（报错）：

B = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
print('B =\n', B)
try:
    np.linalg.inv(B)
except np.linalg.LinAlgError as e:
    print('非方阵求逆报错：', e)

运行结果：

（3）奇异矩阵求逆（报错）：

C = np.array([[1, 2],
              [2, 4]])        # 第 2 行是第一行的 2 倍 => 行列式 = 0
print('C =\n', C)
print('det(C) = {:.2f}'.format(np.linalg.det(C)))
try:
    np.linalg.inv(C)
except np.linalg.LinAlgError as e:
    print('奇异矩阵求逆报错：', e)

运行结果：

3.广义逆矩阵

对于任意矩阵A，存在一个唯一的的矩阵M使得下面三个条件同时成立：

（1）AMA=A
（2）MAM=M
（3）AM与MA均为对称矩阵
这样的矩阵M称为矩阵A的Moore-Penrose广义逆矩阵，奇异矩阵也可以计算广义逆矩阵。

在Python中，可以使用numpy库中的numpy.linalg.pinv函数来计算矩阵的Moore-Penrose逆矩阵：

代码如下：

A = np.random.RandomState(42).rand(4, 3)
print('A (4×3):\n', A)

# 计算 Moore-Penrose 广义逆
B = np.linalg.pinv(A)
print('B (3×4)——A 的广义逆:\n', B)

# 验证三个 Moore-Penrose 条件
print('验证 A B A = A：', np.allclose(A, A @ B @ A))
print('验证 B A B = B：', np.allclose(B, B @ A @ B))
print('验证 (A B)^T = A B：', np.allclose(A @ B, (A @ B).T))
print('验证 (B A)^T = B A：', np.allclose(B @ A, (B @ A).T))

计算奇异矩阵的广义逆矩阵：

import numpy as np

C = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 4, 6],
              [3, 6, 9]], dtype=float)
print('C (3×3 奇异矩阵):\n', C)
print('det(C) =', np.linalg.det(C))

# 广义逆
D = np.linalg.pinv(C)
print('D (3×3)——C 的广义逆:\n', D)

# 验证三个 Moore-Penrose 条件
print('验证 C D C = C：', np.allclose(C, C @ D @ C))
print('验证 D C D = D：', np.allclose(D, D @ C @ D))
print('验证 (C D)^T = C D：', np.allclose(C @ D, (C @ D).T))
print('验证 (D C)^T = D C：', np.allclose(D @ C, (D @ C).T))

运行结果：

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4.判断是否为正交矩阵

（1）正交矩阵的定义
  如果AA^T=E（E为单位矩阵，A^T表示“矩阵A的转置矩阵”）或A^TA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。
（2）正交矩阵的性质

• 正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量（即长度为1）。
• 行向量与列向量两两正交，任意两行（或两列）的点积为0。
• 逆矩阵等于转置矩阵：A⁻¹=A^T。
• 行列式的绝对值为1，即|det(A)|=1。

# 1. 单位矩阵
mat = np.matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]])
print('inv(mat) == mat.T:\n', np.linalg.inv(mat) == mat.T)
print('det(mat) =', np.linalg.det(mat))

# 2. 对角反射矩阵
mat = np.matrix([[1,0], [0,-1]])
print('inv(mat) == mat.T:\n', np.linalg.inv(mat) == mat.T)
print('det(mat) =', np.linalg.det(mat))

# 3. 正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵
mat_inv = np.linalg.inv(mat)
print('mat_inv @ mat_inv.T =\n', np.dot(mat_inv, mat_inv.T))

运行结果：

①单位矩阵逆等于转置且行列式为1，是最基本的纯旋转正交矩阵；
②二阶对角反射矩阵同样逆等于转置但行列式为–1，表明它也是正交矩阵，仅做一次镜像翻转；
③最后计算该矩阵的逆再乘其转置得到单位矩阵，证实正交矩阵的逆依旧是正交矩阵。

三、拓展内容

1.特征值、特征向量与逆矩阵的关系

  对于矩阵 $A$，如果存在非零向量 $\mathbf{v}$ 和标量 $\lambda$，使得 $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$，则 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\mathbf{v}$ 是对应的特征向量；若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 的特征值为 ${\lambda }^{-1}$，且特征向量与 $A$ 相同。

import numpy as np
# 定义矩阵 A
A = np.array([[4, 7], [2, 6]])
# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
# 计算矩阵的逆
A_inv = np.linalg.inv(A)
# 验证逆矩阵的特征值是原矩阵特征值的倒数
inv_eigenvalues = 1 / eigenvalues
# 验证逆矩阵的特征向量与原矩阵相同
inv_eigenvectors = eigenvectors
print("矩阵 A 的特征值：", eigenvalues)
print("矩阵 A 的特征向量：\n", eigenvectors)
print("矩阵 A 的逆矩阵的特征值：", inv_eigenvalues)
print("矩阵 A 的逆矩阵的特征向量：\n", inv_eigenvectors)

2.稀疏矩阵的逆矩阵

  稀疏矩阵是指矩阵中大部分元素为零的矩阵称为稀疏矩阵。计算稀疏矩阵的逆矩阵时，可以使用稀疏矩阵库（如 SciPy 的 scipy.sparse）来提高效率。

import numpy as np
from scipy.sparse import csc_matrix, spdiags
from scipy.sparse.linalg import inv
import matplotlib.pyplot as plt

# 8×8 对角稀疏矩阵：对角线 8 个非零元，其余全是 0
n = 8
vals = np.array([5, 8, 2, 7, 4, 9, 1, 6], dtype=float)  # 对角元
A = spdiags(vals, 0, n, n).tocsc()        # 快速生成对角稀疏矩阵

A_inv = inv(A)           # 现在可逆

print("稀疏矩阵 A (8×8)：")
print(A.toarray())
print("\nA 的逆矩阵：")
print(A_inv.toarray())

3.逆矩阵实现图像变换

  将图片中的每个像素坐标$(x,y)$写成齐次坐标列向量$\mathbf{p}=[x,y,1{]}^T$，图像变换就是左乘一个$3\times 3$矩阵$M$ 计算目标坐标：${\mathbf{p}}^{\prime }=M\mathbf{p}$。若是要实现逆向变换图片则需要计算$M^{-1}$，将目标坐标${\mathbf{p}}^{\prime }$再映射回原始坐标$\mathbf{p}$
  参数解释：
M = cv2.getRotationMatrix2D(center, angle=45, scale=1.0) ：
（1） center=(cx,cy) —— 旋转中心 像素坐标（非矩阵下标）；
（2）angle=45 —— 逆时针角度（单位 °），负值即顺时针；
（3） scale=1.0 —— 旋转后缩放比例，1.0 原大，0.5 半倍，2.0 两倍。
齐次矩阵  M = [cosθ -sinθ tx;sinθ cosθ ty; 0 0 1]

import cv2
import numpy as np

img = cv2.imread(r'C:\Users\wangyuyan\Pictures\Screenshots\houzi.png', cv2.IMREAD_COLOR)
if img is None:
    raise FileNotFoundError("图片路径不对或文件不存在")

h, w = img.shape[:2]          # 只取高、宽
center = (w // 2, h // 2)

# 正向旋转 45°
M = cv2.getRotationMatrix2D(center, 45, 1.0)
rot = cv2.warpAffine(img, M, (w, h))

# 反向旋转 45°
M_inv = cv2.getRotationMatrix2D(center, -45, 1.0)
restored = cv2.warpAffine(rot, M_inv, (w, h))

cv2.imshow("Original", img)
cv2.imshow("Transformed", rot)
cv2.imshow("Restored", restored)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

总结

  本文围绕Python中逆矩阵的计算与应用展开，先明确矩阵与数组的本质区别，介绍逆矩阵“仅非奇异方阵存在、且唯一”的核心特性；接着讲解用numpy.linalg.inv()计算常规逆矩阵的方法，以及非方阵、奇异矩阵求逆的报错情况；随后引入广义逆矩阵（通过np.linalg.pinv()实现，适用于任意矩阵，需满足4个验证条件），并阐述正交矩阵“逆等于转置、行列式绝对值为1”的特殊性质；最后拓展了逆矩阵在特征值关系（逆矩阵特征值为原矩阵倒数）、稀疏矩阵（用scipy.sparse库高效计算）、图像变换（通过旋转矩阵及其逆实现正向变换与逆向恢复）中的应用，形成从基础概念到实践操作的完整知识体系。