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前言

  在机器学习、数值计算与最优化理论的每一次“收敛”与“距离”背后，都站着同一位无名英雄——范数。它像一把万能标尺，把向量、矩阵、函数乃至抽象空间中的元素映射成可比较的非负实数，让“大小”“远近”“误差”有了严谨而统一的度量。本文用“定义→公式→示例→代码”四步曲，一次性梳理最常用的 3 种向量范数与 4 种矩阵范数。

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一、范数

1.范数的定义

  范数是把向量或更一般的数学对象映射到非负实数的“大小尺”，它严守非负且仅零元为零、齐次于数乘、满足三角不等式这三条公理，从而将直观的“长度”概念推广到矩阵、函数乃至抽象空间，支撑起有限维的欧几里得距离、无限维的 Lp 函数空间、算子理论中的矩阵范数以及概率测度上的收敛性，成为贯穿线性代数、泛函分析与最优化等学科的统一度量语言。

2.范数满足以下三个条件

（1）非负性：
∥x∥≥0，且 ∥x∥=0⟺x=0
（2）齐次性：
∥αx∥=∣α∣⋅∥x∥，对任意标量 α
（3）三角不等式：
∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥

二、向量范数

1.曼哈顿范数

对于向量$$X=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$$其曼哈顿范数定义为：

$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$$即向量各分量绝对值的和
示例：
对于向量 $$\mathbf{x}=(3,-4,5)$$，
$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1=|3|+|-4|+|5|=3+4+5=12$$

代码如下：

import numpy as np
x = np.array([3, -4, 5])
l1_norm = np.linalg.norm(x, ord=1)
print("x =", x)
print("‖x‖₁ =", int(l1_norm))   # 输出 12

2.欧几里得范数

对于向量 $$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$$，其欧几里得范数定义为
$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

示例
对向量 $$\mathbf{x}=(3,-4,5)$$，
$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=\sqrt{3^2+(-4{)}^2+5^2}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$
代码如下：

import numpy as np
x = np.array([3, -4, 5])
l2_norm = np.linalg.norm(x, ord=2)
print("x =", x)
print("‖x‖₂ = √50 =", l2_norm)        # 7.0710678118654755
print("‖x‖₂ = 5√2  ≈", 5 * np.sqrt(2))  # 同上

3.无穷范数

对于向量 $$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$$，其无穷范数定义为
$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i|$$

示例：
对向量
$$\mathbf{x}=(3,-4,5)$$，
$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }=\max (|3|,|-4|,|5|)=5$$

代码如下：

import numpy as np
x = np.array([3, -4, 5])
inf_norm = np.linalg.norm(x, ord=np.inf)
print("x =", x)
print("‖x‖∞ =", int(inf_norm))   # 输出5

三、矩阵范数

1.列和最大值

对于矩阵 $$A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$$，其列和最大值定义为
$$\Vert A{\Vert }_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\sum _{i=1}^m|a_{ij}|$$

示例：
对矩阵 $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$，
$$\Vert A{\Vert }_1=\max (|1|+|3|,|2|+|4|)=\max (4,6)=6$$
代码如下：

import numpy as np
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
l1_norm = np.linalg.norm(A, ord=1)   # 列和最大
print("A =\n", A)
print("‖A‖₁ =", l1_norm)   # 输出6.0

2.行和最大值

对于矩阵 $$A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$$，其行和最大值定义为
$$\Vert A{\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le m}{\max }\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$$

示例：
对矩阵 $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$，
$$\Vert A{\Vert }_{\infty }=\max (|1|+|2|,|3|+|4|)=\max (3,7)=7$$
代码如下：

import numpy as np
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
inf_norm = np.linalg.norm(A, ord=np.inf)  # 行和最大
print("A =\n", A)
print("‖A‖∞ =", inf_norm)   # 输出7.0

3.谱范数

对于矩阵 $$A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$$，其谱范数定义为
$$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_{\max }(A^{\top }A)}$$
其中 $${\lambda }_{\max }(A^{\top }A)$$ 是 $$A^{\top }A$$ 的最大特征值。

示例:
设矩阵$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$，则
给定矩阵
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],$$
计算 Gram 矩阵 $A^{\top }A$：

1. 写出转置
   $$A^{\top }=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right].$$

2. 逐元素相乘并累加
   $$\begin{array}{rl}{A}^{\top }A& =\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}1\cdot 1+3\cdot 3& 1\cdot 2+3\cdot 4\\ 2\cdot 1+4\cdot 3& 2\cdot 2+4\cdot 4\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}10& 14\\ 14& 20\end{array}\right].\end{array}$$
   特征方程
   $$\det (A^{\top }A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{cc}10-\lambda & 14\\ 14& 20-\lambda \end{array}\right]=(10-\lambda )(20-\lambda )-14^2={\lambda }^2-30\lambda +36=0$$
   解得
   $$\lambda =\frac{30\pm \sqrt{756}}{2}\approx 29.798,0.202$$
   故
   $$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{29.798}\approx 5.459$$

import numpy as np
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
sigma_max = np.linalg.norm(A, ord=2)  # 谱范数
print("A =\n", A)
print("‖A‖₂ =", sigma_max)          # 输出5.459...

4.弗罗贝尼乌斯范数

对于矩阵 $$A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$$，其 弗罗贝尼乌斯范数定义为
$$\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2}$$

示例
对 $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$，
$$\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{1^2+2^2+3^2+4^2}=\sqrt{30}\approx 5.477$$
代码如下：

import numpy as np
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
fro_norm = np.linalg.norm(A, ord='fro')  # 默认就是 Frobenius
print("A =\n", A)
print("‖A‖_F = √30 ≈", fro_norm)   # 输出5.477225575051661

总结

  范数作为线性空间与矩阵分析的核心度量工具，通过非负性、齐次性与三角不等式三大公理，将“长度”概念推广至任意高维与抽象对象；本文系统梳理向量 L₁（曼哈顿）、L₂（欧几里得）、L∞ （无穷）及矩阵列和、行和、谱与 Frobenius（弗罗贝尼乌斯） 共七种常用范数，可应用于稀疏建模、数值稳定性分析及最优化算法设计。