CG14下

“参数化 Parameterization”与“保角映射 Conformal Mapping”

一、什么是参数化（Parameterization）

概念定义

参数化是指将一个三维表面（如模型的网格）映射到二维纹理空间的过程：

• 目的是赋予每个顶点一个纹理坐标 $(u,v)\in [0,1{]}^2$；
• 使得 2D 纹理图像能正确贴合在 3D 表面上；
• 类似于将一张贴纸展开、包裹在物体表面。

参数化的数学表达

设 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ 为一个从 2D 纹理空间到 3D 表面的映射：
$$f(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$
这个映射就是参数化函数。我们希望它满足以下目标：

• 连续：$(u,v)$ 的小变化对应 $(x,y,z)$ 的小变化；
• 无折叠：Jacobian $\det \left(\frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial f}{\partial v}\right)\ne 0$；
• 低扭曲：保持局部形状、面积或角度。

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二、参数裂缝（Parameter Crack）问题

现象

在纹理映射中，常见的问题是“参数裂缝”：

• 当表面在纹理坐标中不连续时（例如 $u=0$ 与 $u=1$ 不连接）；
• 会导致纹理在边缘出现断裂、跳变或缝隙。

场景示例

• 圆柱映射中，$u=0$ 和 $u=1$ 分别对应 $\theta =0$ 和 $\theta =2\pi$；
  • 如果两个边界的纹理值不同或法线不连续，就会看到一条明显的接缝。
• 球面映射中，极点的经度未定义，可能导致多个纹理点“压缩”到极点，形成裂缝。

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三、解决裂缝的高级技术 —— 保角映射（Conformal Mapping）

数学背景

保角映射是保持角度不变的映射：

若映射 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 满足 $f$ 在复平面上解析且 $f^{\prime }\ne 0$，则称其为保角映射。

• 保角映射 不保证面积，但能保持图像在局部的形状不失真；
• 广泛应用于三维网格的参数化，减少纹理扭曲。

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四、保角映射的实现方法

基本思路

将三维模型展平为二维纹理域 $(u,v)$，使得：

• 三角面片展开后角度不变（角度和仍为 $\pi$）；
• 接缝平滑；
• 内部连续、边界可控。

数学形式 —— 拉普拉斯方程

对顶点的 $(u,v)$ 坐标求解 离散拉普拉斯方程：
$$\Delta u=0,\Delta v=0$$
其中 $\Delta$ 是网格上的拉普拉斯算子。

离散形式（即每个内部点是邻居加权平均）：
$${\mathbf{u}}_i=\sum _{j\in \mathcal{N}(i)}{w}_{ij}{\mathbf{u}}_j$$

• $\mathcal{N}(i)$ 是点 $i$ 的邻居；
• $w_{ij}$ 是权重，常用 cotangent 权重 或均匀权重；
• 求解系统方程可得 $(u,v)$。

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五、边界处理与展平方式

边界条件（Dirichlet Boundary）

• 固定边界顶点，内部顶点由拉普拉斯约束自动计算；
• 常见边界形状：

类型	说明
单位圆	避免角度奇异点，适合保角性
单位正方形	便于 UV 包装，适合游戏中图集布局

展平输出结果

• 每个三角面被展平成一个平面三角形；
• 保证角度接近原始角度；
• 输出 $(u,v)$ 可直接用作纹理坐标。

六、保角映射的效果与应用

优点：

• 局部形状扭曲最小；
• 纹理接缝更平滑；
• 适合雕塑、角色等高细节模型。

应用场景：

• 人脸贴图（UV 展开）；
• 地形纹理；
• 程序化纹理生成；
• 图形学研究中的流形参数化。

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七、与两阶段映射的关系

在复杂对象中，先对模型做参数化（如保角映射），再进行纹理贴图，构成一种间接映射流程：

1. 三维模型 → 保角展平 → 得到 $(u,v)$ 坐标；
2. 再用 $(u,v)$ 映射纹理图像；
3. 可选：中间映射到球面/圆柱（两阶段映射）提升控制性。

覆盖抗混叠、程序化纹理与Mipmap技术

一、抗混叠技术（Anti-Aliasing）

1. 点采样（Point Sampling）

定义：在屏幕空间的每个像素，只选取一个纹理图像点 (u, v)，直接使用其颜色。

缺点：

• 若纹理中存在高频细节（如条纹），单点可能错过该特征 → 造成 混叠（aliasing）。
• 混叠表现为：锯齿、图案消失、闪烁等视觉伪影。

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2. 区域平均（Area Averaging）

原理：
不再使用一个采样点，而是对像素对应在纹理图像上的“区域”（称为前像 preimage）进行积分求平均。

数学建模：

设屏幕像素在纹理空间中的前像为区域 $R$，纹理图为 $t(u,v)$，则对应像素的颜色值为：
$$C=\frac{1}{\text{Area}(R)}{\iint }_{R}t(u,v)dudv$$

难点：

• 这个区域 $R$ 经过透视投影、表面参数化等变换，往往不是规则矩形，而是弯曲多边形甚至非线性形状。
• 计算积分通常需数值近似（如：多重采样、多边形裁剪、Monte Carlo 等）。

优点：

• 保留更多纹理细节，抗混叠效果好。

缺点：

• 计算开销大，实时渲染中难以使用。

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二、程序化纹理（Procedural Texture）

3. 连续映射函数（Continuous Mapping）

目标：不使用图像作为纹理，而通过数学函数动态生成纹理图案。

示例函数：

$$t(u,v)=G+B_1\cos (f_{1}u+g_{1}v+{\phi }_1)+B_2\cos (f_{2}u+g_{2}v+{\phi }_2)$$

• $G$: 平均灰度或基础颜色
• $B_1,B_2$: 振幅，控制纹理强度
• $f_i,g_i$: 空间频率，决定图案密度
• ${\phi }_i$: 相位偏移，调节纹理起始位置

应用场景：

• 球面映射：$u,v$ 表示球面参数 $(\theta ,\varphi )$
• 圆柱映射：$u,v$ 表示 $(\theta ,z)$
• 可生成木纹、金属拉丝、波纹、云彩等自然纹理

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三、Mipmap：多级纹理抗混叠

[深入解析纹理贴图——纹理过滤及MipMap技术-CSDN博客](https://blog.csdn.net/Mapmost/article/details/139002197?ops_request_misc=&request_id=&biz_id=102&utm_term=mip map&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2_allsobaiduweb~default-2-139002197.142^v102pc_search_result_base4&spm=1018.2226.3001.4187)

4. Mipmap 技术原理

由 Lance Williams 于 1983 年提出。

方法：

• 预先生成多级缩小版本的纹理图像，称为 mipmap 金字塔。
• 每层分辨率为前一层的 $1/4$，即每边减半（宽 × 高）

示例：

• Level 0：128×128
• Level 1：64×64
• Level 2：32×32
• … 直到 Level 7：1×1

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5. Mipmap 存储代价（空间开销）

数学推导：

设原始纹理为 $N\times N$，则总存储为：
$$S=N^2+{\left(\frac{N}{2}\right)}^2+{\left(\frac{N}{4}\right)}^2+\cdots =N^2\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\cdots \right)$$
这是一个等比数列，公比 $r=\frac{1}{4}$，和为：
$$\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{4}\right)}^k=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$$
所以总存储为：
$$S=\frac{4}{3}{N}^2$$
即：Mipmap 的空间开销为原始纹理的约 $1.33$ 倍。

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6. Mipmap 屏幕像素选择级别

纹理足迹估计（texture footprint）

使用偏导数估计像素在纹理空间的伸缩程度：
$$\begin{array}{r}\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial y}\end{array}$$
以最大伸缩为准，定义纹理尺度 $L$：
$$L=\max \left(\sqrt{{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)}^2},\sqrt{{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)}^2}\right)$$
对应的 Mipmap 级别 $D$ 为：
$$D={\log }_{2}L$$

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7. 取整与插值：三线性过滤（Trilinear Filtering）

• $D$ 是浮点数 → 对应 两个整数层级（如 $2.3\to$ Level 2 与 Level 3）

• 步骤：

  1. 对 Level 2 和 Level 3 各做一次双线性插值，得到 $C_2$ 和 $C_3$

  2. 在它们之间再线性插值：
     $$C=(1-\alpha )C_2+\alpha C_3,\text{其中 }\alpha =D-\lfloor D\rfloor$$

• 结果：避免层级跳跃带来的颜色突变，提升平滑性。

四、高级纹理映射：Catmull 方法

8. Catmull Texture Mapping + Surface Subdivision

由 Ed Catmull 提出，属于早期的高质量纹理映射方法：

• 表面细分：将模型细分为更多小面（四边形、三角形），为每个面精准贴图。
• 优点：
  • 提高贴图精度，适用于光滑曲面
  • 更好处理高曲率或纹理密集区域
• 缺点：
  • 算法复杂，实时渲染中较少使用

凹凸映射（Bump Mapping）与法线贴图（Normal Mapping）

一、凹凸映射的背景与动机

1. Gouraud 着色的局限

Gouraud Shading：

• 在多边形顶点处计算光照强度 $I$。
• 然后使用线性或双线性插值在像素之间过渡强度。

问题：

• 无法捕捉曲面微细节（如皮肤纹理、砖缝凹陷）。
• 多边形越少，越容易出现“表面平滑但不真实”的问题。

2. 凹凸映射的核心思想

由 Jim Blinn 在 1978 年提出，本质是：

在不改变几何模型的前提下，通过修改表面法线方向来影响光照，从而模拟表面细节。

不同于 Gouraud，只在顶点计算光照，凹凸映射强调：

• 逐像素光照计算（per-fragment lighting）。
• 使用修改后的法线来增强光照细节。

二、数学基础：从高度图导出法线

3. 表面表示与法线计算

设高度图 $d(x,y)$ 表示表面高度，构建隐函数：
$$F(x,y,z)=z-d(x,y)=0$$
根据隐函数法线公式，法线为梯度：
$$\nabla F=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)=\left(-\frac{\partial d}{\partial x},-\frac{\partial d}{\partial y},1\right)$$
所以法线向量为：
$$\mathbf{n}(x,y)=\left(-\frac{\partial d}{\partial x},-\frac{\partial d}{\partial y},1\right)$$
再归一化

即可。

4. 漫反射光照公式（用于光照计算）

光照强度 $I_d$ 通常基于 Lambertian 漫反射模型：
$$I_d=\frac{R_d{I}_i}{a+bd+c{d}^2}\cdot (\mathbf{s}\cdot \mathbf{n})$$
其中：

• $R_d$: 材质的漫反射系数
• $I_i$: 入射光强度
• $a,b,c$: 距离衰减参数
• $\mathbf{s}$: 光源方向（单位向量）
• $\mathbf{n}$: 法线向量

简化假设（无衰减）：
$$a=1,b=c=0\Rightarrow I_d=R_d{I}_i(\mathbf{s}\cdot \mathbf{n})=k(\mathbf{s}\cdot \mathbf{n})$$
只与法线与光源的夹角有关。

三、离散实现：从高度图生成法线图

5. 离散偏导数计算（差分法）

设二维高度图为 $H[x,y]$，使用差分近似导数：
$$\frac{\partial d}{\partial x}\approx H[x+1,y]-H[x,y],\frac{\partial d}{\partial y}\approx H[x,y+1]-H[x,y]$$
代入法线公式，得：
$$\mathbf{n}=\left(-(H[x+1,y]-H[x,y]),-(H[x,y+1]-H[x,y]),1\right)$$
归一化后作为最终法线。

6. 局限与改进动机

• 早期凹凸映射采用上述计算方式，但计算代价高。
• 适用于离线渲染，不适合实时应用。

四、法线贴图：凹凸映射的现代实现

7. 法线贴图（Normal Map）原理

核心思想：

将每个像素的法线直接编码成颜色，作为纹理贴图存储。

8. 法线编码为颜色（RGB）

设法线向量：
$$\mathbf{n}=(N_x,N_y,N_z),-1\le N_i\le 1$$
映射到 RGB 空间（0~255）：
$$R=\lfloor (N_x+1)\cdot 127.5\rfloor ,G=\lfloor (N_y+1)\cdot 127.5\rfloor ,B=\lfloor (N_z+1)\cdot 127.5\rfloor$$
反向解码时：
$$N_x=\frac{R}{127.5}-1,\text{同理 }{N}_y,N_z$$

9. 从高度图生成法线贴图（Normal Map）

结合前文：

1. 计算偏导数（用差分法）
2. 构造法线向量
3. 归一化后编码为 RGB

得到的彩色图像即为法线贴图。

10. 法线贴图在 GPU 中的使用

现代 GPU 使用 片段着色器（fragment shader）：

• 每个像素从法线贴图读取法线
• 解码 RGB → 法线向量
• 计算光照强度（如 $I_d=k(\mathbf{s}\cdot \mathbf{n})$）
• 输出最终颜色

五、高保真应用：从高模生成法线贴图（烘焙）

网格简化：

11. 工作流程（称为 Baking Normal Maps）

1. 创建高多边形模型（如 30000 面）
2. 渲染其每个三角形面的法线（表面细节丰富）
3. 将其投影到简化的低模表面纹理空间
4. 存储为法线贴图
5. 在低模（如 632 面）上实时使用法线贴图 → 视觉效果逼近高模

OpenGL Texture Mapping

暂时略