【机器人学习】小白学习第一讲：机器人 & 自动控制

摘要：机器人学和自动控制原理这两门课，一个在问"零件在哪儿、朝哪儿"，一个在问"给它指令它会怎么动、稳不稳"。本文用大白话 + 类比 + 配图，把机器人课里的旋转矩阵 / 欧拉角 / 四元数 / 齐次变换，和自控课里的拉氏变换 / 传递函数 / 典型环节 / 梅森公式 / 反馈串成一条线讲清楚，最后附速查表和易错点清单。全程避开推导，只讲"是什么、为什么、怎么用"。

关键词：坐标变换、旋转矩阵、欧拉角、四元数、齐次变换、传递函数、拉氏变换、典型环节、梅森公式、闭环反馈

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0. 开场：这两门课到底在问什么

先搞清楚目的，后面的细节才不会迷路。

机器人课负责"描述"，自控课负责"预测和纠正"，中间靠测量连成环

• 机器人课 · 坐标变换：这个零件在哪儿？它的头朝哪儿？→ 描述问题
• 自控课 · 数学模型：给它一个指令，它会怎么动？稳不稳？→ 预测问题

两门课不是各说各的：先用坐标变换把"末端应该在哪儿"算出来，再测量它"实际在哪儿"，最后用两者的差值去纠正电机——这个"算出来 → 测出来 → 纠正"的闭环，就是一台真机器人的全部骨架。

🧩 打个比方
机器人课像在教你怎么写快递地址（某市某区某街 + 门朝哪边开）；自控课像在教你预测快递会不会准时到、迟到了怎么补救。地址写得越清楚，补救越容易。

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1. 坐标变换：怎么把"在哪儿、朝哪儿"说清楚

1.1 为什么要"变换"

机械臂有好几个关节，每个关节都有自己的坐标系。你想让末端抓到桌上的杯子，就得不停地在"基座的说法"和"关节的说法"之间翻译。这个翻译工作就叫坐标变换。

1.2 平移：最简单的部分

就是"搬家"。一个点从 A 挪到 B，只需要三个数字：前后挪多少、左右挪多少、上下挪多少。

$${\mathbf{o}}^{\prime }=o_x^{\prime }\hat{\mathbf{x}}+o_y^{\prime }\hat{\mathbf{y}}+o_z^{\prime }\hat{\mathbf{z}}$$

新原点在旧坐标系里的位置，三个数字搞定

🧩 打个比方
朋友问你"新家在哪儿"，你说"从老地方往东 500 米、往北 300 米、上 3 楼"。三个数字，完事。这就是平移。

1.3 旋转：麻烦来了

位置说清了，但物体还会转身。描述"朝哪儿"远比"在哪儿"难——因为你需要记的不是三个数字，而是"整个坐标系歪成什么样了"。

💡 关键认知
要描述一个坐标系的朝向，本质上就是把新坐标系的三根轴（$x^{\prime }$、$y^{\prime }$、$z^{\prime }$）分别在旧坐标系里是什么方向，全记下来。每根轴要 3 个数字，三根就是 9 个数字。

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2. 旋转的三种记法，以及那个著名的坑

这是整份课件最难也最重要的部分。

上：三种记法各有分工；下：欧拉角的万向锁——两根转轴重合，丢掉一个自由度

同一个"转了个身"，数学上有三种记法：

记法	用几个数	优点 / 缺点	适合干什么
① 旋转矩阵	9 个	好算，但啰嗦、费存储	做计算
② 欧拉角	3 个角度	人最好懂，但会卡住	给人看
③ 四元数	4 个	永远不卡住、过渡最顺滑	动画 / 插值

记法①：旋转矩阵（9 个数字）

把新坐标系三根轴的方向，一根一根抄进一个 $3\times 3$ 的表格里。

$$R=\left[\begin{array}{ccc}{\hat{x}}^{\prime }& {\hat{y}}^{\prime }& {\hat{z}}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_x^{\prime }& y_x^{\prime }& z_x^{\prime }\\ x_y^{\prime }& y_y^{\prime }& z_y^{\prime }\\ x_z^{\prime }& y_z^{\prime }& z_z^{\prime }\end{array}\right]$$

每一列是一根新轴在旧系里的方向

因为三根轴都是单位长度、而且两两垂直，所以这个表格满足一个漂亮的性质：

$$R^{\mathrm{T}}R=I_3$$

转置乘自己 = 单位矩阵，这就是"正交矩阵"

记法②：欧拉角（3 个角度）

不抄九个数字了，改成记"三步怎么转"：

• ZYZ（课件里的写法）：先绕 Z 转 $\phi$，再绕新的 Y 转 $\vartheta$，再绕更新的 Z 转 $\psi$
• RPY（滚转-俯仰-偏航，飞机/船舶常用）：绕 Z 转 $\phi$ → 绕 Y 转 $\vartheta$ → 绕 X 转 $\psi$

⚠️ 这就是万向锁
当中间那个角 $\vartheta$ 转到 0° 或 180° 时，第一次转的轴和第三次转的轴会重合。这时候 $\phi$ 和 $\psi$ 变成同一个动作，你实际只剩 2 个自由度，姿态就算不出来了。飞机俯冲到垂直朝下时最容易中招。

记法③：四元数（4 个数字）

换个思路：任何一次旋转，都可以说成"绕某一根轴 $r$ 转了 $\theta$ 度"。把这两件事打包成 4 个数字：

$$q={\left[\begin{array}{cccc}\cos \frac{\theta }{2}& \sin \frac{\theta }{2}{r}_x& \sin \frac{\theta }{2}{r}_y& \sin \frac{\theta }{2}{r}_z\end{array}\right]}^{\mathrm{T}},\Vert q\Vert =1$$

注意是 $\theta /2$ 不是 $\theta$，这是四元数的特色；四个数字的平方和恒等于 1（单位约束）

💡 为什么四元数这么香
它没有万向锁（永远不会卡住），而且两个姿态之间的过渡可以做得非常顺滑（slerp 插值）。所以游戏引擎、动画软件、无人机飞控内部全都用四元数算，只在需要给人看的时候才转成欧拉角。

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3. 齐次变换：把位置和朝向打包成一张表

一次搞定"平移 + 旋转"。

位置和朝向是两种不同性质的东西，分开写很啰嗦。数学家想了个办法：把坐标从 3 个数字扩展到 4 个（最后一位补 1），就能把两件事塞进同一个 $4\times 4$ 表格里。

$$p^0=o_1^0+R_1^0{p}^1$$

旧系坐标 = 新原点位置 + 旋转矩阵 × 新系坐标（先转，再挪）

齐次化之后：

$$\tilde{p}=\left[\begin{array}{c}p\\ 1\end{array}\right],A_1^0=\left[\begin{array}{cc}{R}_1^0& o_1^0\\ 000& 1\end{array}\right],{\tilde{p}}^0=A_1^0{\tilde{p}}^1$$

逆变换：

$$p^1=-(R_1^0{)}^{\mathrm{T}}{o}_1^0+(R_1^0{)}^{\mathrm{T}}{p}^0$$

🧩 打个比方
寄快递时，"地址（在哪儿）"和"门朝哪开（朝哪儿）"本来是两栏。齐次变换就是把它们印在同一张面单上——一张纸搞定，还方便叠在一起连续算。

多个关节怎么串起来？

$$A_n^0=A_1^0\cdot A_2^1\cdot A_3^2\cdots A_n^{n-1}$$

从基座一路乘到末端，机械臂正运动学就这么来的

⚠️ 最容易错的地方
是往右边乘（右乘），不是左边。每加一个新关节，就把它的变换矩阵乘到最右边。顺序反了结果完全不对。

💡 跟自控课的联系
这个"一串矩阵连乘"的形式，和自控里"几个方框串联，传递函数相乘"是一模一样的套路。都是把复杂系统拆成小单元，再用乘法串起来。

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4. 自控：把一台真机器翻译成数学式子

《自动控制原理》第 2 章

建模四步走：真机器 → 微分方程 → 拉氏变换 → 传递函数

四步流水线：

1. 真实机器：电机、RC 电路、水箱、机械臂——看得见摸得着
2. 微分方程：用 KVL、牛顿定律把变化率写下来——精确，但很难解
3. 拉氏变换：换一种记法，微积分变乘除法——难度骤降
4. 传递函数：$G(s)$ = 输出 / 输入——一张"性格说明书"，后面全靠它

⚠️ 插队一步：如果第 ② 步的方程是弯的（非线性），要先在常用工作点附近"切一刀拉直"（线性化），再去走第 ③ 步——误差很小，够用了。

4.1 列微分方程：把物理定律写下来

电路用 KVL/KCL（基尔霍夫定律），机械用牛顿第二定律 $F=ma$。总之就是把"变化率"之间的关系写成方程。

🧩 打个比方
就像给机器做体检报告：不写"它现在多少度"，而是写"它每分钟升多少度、跟什么有关"。微分方程描述的是变化的规律，不是静止的状态。

4.2 线性化：把弯的掰直

现实世界几乎没有真正"线性"的东西（弹簧拉太长就失效、电机有磁饱和）。但如果你只在某个常用工作点附近小范围活动，就可以用工作点处的切线来代替那条弯曲线。

$$\text{原方程 }y=f(x),\text{工作点 }A=(x_0,y_0)$$

$$\text{在 }A\text{ 点展开泰勒级数，只留一阶项：}y-y_0\approx f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

变成 $\Delta y=K\cdot \Delta x$，一条直线，好算多了

💡 一个重要的副作用
用"增量"（$\Delta$）而不是"绝对值"来写方程后，工作点处的初始值自动变成 0。这就是后面**传递函数能假设"零初始条件"**的底气来源。

4.3 拉氏变换：换个语言

微分方程里有加法、乘法、还有求导积分，解起来很痛苦。拉氏变换把整个方程搬到"另一个世界"（$s$ 域），在那里：

• 求导 → 变成乘以 $s$
• 积分 → 变成除以 $s$
• 微分方程 → 变成代数方程（只剩加减乘除）

🧩 打个比方
像把中文说明书翻译成英文，翻译完发现"这个东西拧三圈半再往回拧一圈"变成了"净拧两圈半"——同一个意思，但算起来简单一万倍。算完再翻译回去（拉氏逆变换）就行。

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5. 传递函数：机器的"性格说明书"

整个第 2 章的核心。

$$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_m)}{a_0(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)},m\le n$$

零初始条件下，输出的拉氏变换 ÷ 输入的拉氏变换

三个必记的结论

概念	大白话
零点 $z_i$	让分子等于 0 的 $s$ 值。它只影响"响应里各部分的比例"，不产生新的运动模式
极点 $p_j$	让分母等于 0 的 $s$ 值。极点 = 特征根，它决定系统会怎么自由运动（振荡？发散？衰减？）
$N(s)=0$	分母等于 0 叫特征方程。它的次数就是系统的阶次——三阶系统就有 3 个极点

💡 一句话记住传递函数
传递函数就是一个万能换算表：你给我什么输入，我用 $G(s)$ 一乘，就得到输出，$C(s)=G(s)R(s)$。它只取决于机器本身的构造，跟你怎么用它无关。

⚠️ 三个前提，缺一不可
① 只适用于线性定常系统；② 必须零初始条件（系统开始前是静止的）；③ 只描述一个输入对一个输出，看不到机器内部发生了什么。

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6. 六种典型零件（典型环节）

再复杂的系统，都是这几种拼出来的。

环节	传递函数	性格特点	生活里的例子
比例 P	$G(s)=K$	输入啥样输出啥样，只是放大 $K$ 倍。不失真、不延迟	齿轮传动、放大器
积分 I	$G(s)=\frac{K}{s}$	有"记忆"。输入一撤，输出保持不动（不回零）	电容充电、水桶接水
惯性（一阶）	$G(s)=\frac{K}{Ts+1}$	反应慢半拍。$T$ 叫时间常数，$T$ 越大越迟钝	RC 充电、弹簧
微分 D	$G(s)=Ks$（实际用 $\frac{KTs}{Ts+1}$）	专门"打提前量"，对变化趋势敏感。理想微分物理上做不出来	测速发电机
振荡（二阶）	$G(s)=\frac{K}{T^2{s}^2+2\zeta Ts+1}$	会来回摆。只有 $0<\zeta <1$ 时才振荡；$\zeta \ge 1$ 就退化成两个惯性环节	RLC 电路、弹簧挂重物
延迟	$G(s)=e^{-\tau s}$	0 到 $\tau$ 时间内完全没反应，之后原样复现输入	水管送水、传送带

⚠️ 延迟环节 vs 惯性环节，别搞混
惯性：输入一开始就马上有输出，只是慢慢逼近目标值。
延迟：前面 $\tau$ 秒一点输出都没有，到时间了突然把输入原样吐出来。这是两个完全不同的东西。

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7. 方框图与梅森公式：搭积木和万能公式

7.1 方框图：把系统画成积木图

四种元件：信号线（带箭头的线）、函数方框（里面写传递函数）、比较点（$\oplus$，做加减）、引出点（分叉，同一信号分给多处）。

7.2 三种基本连接（必背）

$$\begin{array}{rlrl}\text{串联：}& G=G_1\cdot G_2\cdots G_n& & \text{→ 相乘}\\ \text{并联：}& G=G_1+G_2+\cdots +G_n& & \text{→ 相加}\\ \text{负反馈：}& G=\frac{G}{1+GH}& & \text{→ }H=1\text{ 时变成 }\frac{G}{1+G}\\ \text{正反馈：}& G=\frac{G}{1-GH}& & \end{array}$$

7.3 移动比较点 / 引出点的口诀

💡 记住这一句
顺着箭头移动，就除以被跨过的方框；逆着箭头移动，就乘以它。（比较点、引出点都适用）目的是把交叉的线理顺，好套用上面三条公式。

7.4 梅森公式：一步到位的万能公式

当图太乱、靠手工挪来挪去很痛苦时，直接用公式算：

$$G(s)=\frac{\sum _k{P}_k{\Delta }_k}{\Delta }$$

$$\Delta =1-\sum L_i+\sum (\text{两两不接触回路乘积})-\sum (\text{三三不接触回路乘积})+\cdots$$

$${\Delta }_k=\text{把与第 }k\text{ 条前向通路**相接触**的回路全部删掉后，剩下的 }\Delta$$

🧩 打个比方
把系统想成一栋楼里从大门到出口的所有路线。$P_k$ 是第 $k$ 条路线的总长，回路是在里面绕圈子的地方。$\Delta$ 相当于"把所有绕圈的影响统一折算成一个系数"。梅森公式就是不用画图、直接列出所有路和所有圈，套公式出结果。

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8. 反馈：自控的灵魂

为什么闭环比开环强那么多。

反馈把干扰的影响压缩了 $1/(1+GH)$ 倍，这就是闭环的全部秘密

	开环：蒙着眼睛开车	闭环：盯着仪表开车
输出	$C(s)=G(s)R(s)$	$C(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}R(s)$
遇到干扰	干扰原样叠加，没人知道跑偏了	干扰被压到原来的 $\frac{1}{1+GH}$ 倍

🧩 大白话：洗澡调水温
开环 = 凭经验拧一次龙头，不试水温，被烫了也不知道调。
闭环 = 手一直放在水里，烫了就往回拧，直到刚刚好——这个"手"就是 $H(s)$。

四个必须分清的传递函数

名字	公式	在问什么
开环传递函数	$G(s)H(s)$	把反馈断开时，绕一圈的总增益
闭环传递函数	$\frac{G}{1+GH}$	接上反馈后，输入到输出的真实关系
误差传递函数	$\frac{1}{1+GH}$	输入和输出差多少（越小越好）
扰动传递函数	$\frac{G_2}{1+G_1{G}_{2}H}$	外界干扰对输出影响多大（越小越好）

💡 整章最重要的一句话
上面四个传递函数分母都一样——都是 $1+G_1{G}_{2}H$。这意味着：不管你从哪儿输入、从哪儿看输出，系统的"性格"（极点和稳定性）不会变。这就是所谓的"固有特性"。

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9. 速查表 + 易错点

考前扫一眼这个就够了。

9.1 机器人课 · 关键公式

$$\begin{array}{rlrl}{R}^{\mathrm{T}}R& =I_3& & \text{旋转矩阵正交}\\ p_{\text{旧系}}& =R{p}_{\text{新系}}& & \text{坐标变换方向}\\ R_n^0& =R_1^0{R}_2^1\cdots R_n^{n-1}& & \text{右乘！右乘！右乘！}\\ R& =I+\sin \theta [r{]}_{\times }+(1-\cos \theta )[r{]}_{\times }^2& & \text{罗德里格斯公式：绕轴 }r\text{ 转 }\theta \\ q& ={\left[\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& \sin \frac{\theta }{2}r\end{array}\right]}^{\mathrm{T}},\Vert q\Vert =1& & \text{单位四元数}\\ {\tilde{p}}^0& =A_1^0{A}_2^1\cdots A_n^{n-1}{\tilde{p}}^n& & \text{齐次变换连乘}\end{array}$$

9.2 自控课 · 关键公式

$$\begin{array}{rlrl}G(s)& =\frac{C(s)}{R(s)}& & \text{传递函数定义，零初始条件}\\ \text{串联}& =\text{相乘},\text{并联}=\text{相加}& & \\ \text{负反馈}& =\frac{G}{1+GH},\text{正反馈}=\frac{G}{1-GH}& & \\ G& =\frac{\sum P_k{\Delta }_k}{\Delta }& & \text{梅森公式}\\ \text{闭环极点}& =\text{特征根}=1+G_1{G}_{2}H=0\text{ 的根}& & \end{array}$$

9.3 易错点清单

• 坐标变换方向：课件给的是 $p=R{p}^{\prime }$（新系 → 旧系）。国内有些教材反过来，做题前先看清楚符号约定。
• 右乘规则：加新关节时矩阵乘在最右边，左乘是错得最多的地方。
• 欧拉角奇点：ZYZ 在 $\vartheta =0$ 或 $\pi$ 时卡住；RPY 在 $\vartheta =\pm 90^{\circ }$ 时卡住。
• 零初始条件：没有它，传递函数不成立。这是线性化用"增量"换来的。
• $m\le n$：传递函数分子的阶次不能超过分母（否则物理上不可实现）。
• 零点 vs 极点：极点产生自由运动模式，零点只调比例。判断稳定性只看极点。
• $\zeta \ge 1$ 不振荡：二阶系统只有 $0<\zeta <1$ 才是"振荡环节"，否则退化成两个惯性环节串联。
• 延迟 ≠ 惯性：延迟是前 $\tau$ 秒完全没输出，惯性是立刻有输出只是慢。
• 梅森公式的 ${\Delta }_k$：是把"与第 $k$ 条前向通路接触"的回路删掉，不接触的回路要保留。

9.4 中英术语对照

中文	English
刚体平移	Rigid body translation
旋转矩阵	Rotation matrix
欧拉角（ZYZ / RPY）	Euler angle
万向锁	Gimbal lock
单位四元数	Unit quaternion
齐次变换	Homogeneous transformation
传递函数	Transfer function
零点 / 极点	Zero / Pole
特征方程	Characteristic equation
方框图（结构图）	Block diagram
信号流图	Signal flow graph
梅森公式	Mason’s gain formula
线性化	Linearization
开环 / 闭环	Open-loop / Closed-loop

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写在最后

这两门课看起来一个讲几何、一个讲方程，其实是同一件事的两半：

1. 机器人课告诉你"状态怎么描述清楚"——位置 + 朝向，用齐次变换打包成一张 $4\times 4$ 表；
2. 自控课告诉你"状态会怎么变、怎么纠正"——微分方程 → 拉氏变换 → 传递函数 → 闭环反馈；
3. 两者合起来，就是先算出"应该在哪儿"，再测出"实际在哪儿"，用差值去驱动电机。

一句话总结：坐标变换负责"说得清"，传递函数负责"算得准"，反馈负责"改得对"。

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本文基于 NJIT ME625 Coordinate Transformation（Dr. Lu Lu）课件与《自动控制原理》（第 2 章 数学模型）整理，配图与类比均为原创。如有错漏欢迎评论区指正。