内容	必须掌握的	后面在哪用到
指数的扩展	$n$ 次方根定义；分数指数幂与根式的互化；实数指数幂的运算法则	指数运算（增长与衰减模型）的记号基础
指数函数	定义、图像与单调性（按底数 $>1$、$0<$底数$<1$ 分两种情形）	指数衰减/增长模型；softmax 与神经网络激活函数的组成部件
对数的概念	对数的定义、对数恒等式、换底公式、运算法则	把乘法转成加法的标准工具，对数似然的记号基础
对数函数	定义、图像与单调性；与指数函数互为反函数（图像关于 $y=x$ 对称）	log-sum-exp、信息熵等对数记号的数学基础
幂函数	定义 $y=x^{\alpha }$；常见几个幂函数的图像与性质	多项式模型、幂律分布的基本单元

一、指数的扩展

若 $x^n=a$（$n>1$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），则 $x$ 叫 $a$ 的 $n$ 次方根：

• $n$ 为奇数时，任意实数 $a$ 都有唯一的 $n$ 次方根，记作 $\sqrt[n]{a}$
• $n$ 为偶数时，正数 $a$ 有两个互为相反数的 $n$ 次方根，正的那个记作 $\sqrt[n]{a}$（算术根）；负数在实数范围内没有偶次方根

由此得到 $\sqrt[n]{a^n}$ 的取值：$n$ 为奇数时 $\sqrt[n]{a^n}=a$；$n$ 为偶数时 $\sqrt[n]{a^n}=|a|$，这是第 1 篇 $\sqrt{a^2}=|a|$ 的直接推广。

分数指数幂：规定 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$（$a>0$，$m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$n>1$），$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$（$a>0$）。这样定义之后，根式和分数指数幂可以自由互化，且整数指数幂的运算法则可以推广到全体实数指数：

$a^r{a}^s=a^{r+s}$，$(a^r{)}^s=a^{rs}$，$(ab{)}^r=a^r{b}^r$（$a>0$，$b>0$，$r,s$ 为任意实数）

二、指数函数

函数 $y=a^x$（$a>0$ 且 $a\ne 1$，$x\in \mathbb{R}$）叫指数函数。

指数函数的性质：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0,+\infty )$，图象恒过点 $(0,1)$（因为 $a^0=1$ 对任意 $a$ 都成立）；当 $a>1$ 时在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，当 $0<a<1$ 时单调递减。

三、对数的概念

若 $a^x=N$（$a>0$，$a\ne 1$，$N>0$），则 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x={\log }_{a}N$，$a$ 叫底数，$N$ 叫真数。常用对数 $\lg N={\log }_{10}N$；自然对数 $\ln N={\log }_{e}N$，$e$ 是一个无理数（约等于 $2.71828$）的专用记号。

对数的定义直接给出两条对数恒等式：$a^{{\log }_{a}N}=N$，${\log }_a{a}^x=x$——两者都是"指数与对数互为逆运算"的直接表现。

对数运算法则（$a>0$，$a\ne 1$，$M>0$，$N>0$）：

${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$，${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$，${\log }_a(M^n)=n{\log }_{a}M$（$n\in \mathbb{R}$）

证明（以第一条为例）：设 ${\log }_{a}M=p$，${\log }_{a}N=q$，则 $M=a^p$，$N=a^q$。由指数运算法则，$MN=a^p{a}^q=a^{p+q}$，两边取以 $a$ 为底的对数，得 ${\log }_a(MN)=p+q={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$。

换底公式：${\log }_{a}N=\frac{{\log }_{c}N}{{\log }_{c}a}$（$a,c>0$ 且 $\ne 1$，$N>0$）。

证明：设 ${\log }_{a}N=x$，则 $a^x=N$，两边取以 $c$ 为底的对数：${\log }_c(a^x)={\log }_{c}N$，由对数运算法则第三条得 $x{\log }_{c}a={\log }_{c}N$，所以 $x=\frac{{\log }_{c}N}{{\log }_{c}a}$。

四、对数函数

函数 $y={\log }_{a}x$（$a>0$ 且 $a\ne 1$，$x>0$）叫对数函数。

性质：定义域 $(0,+\infty )$，值域 $\mathbb{R}$，图象恒过点 $(1,0)$（因为 ${\log }_{a}1=0$ 对任意 $a$ 都成立）；当 $a>1$ 时单调递增，当 $0<a<1$ 时单调递减。

对数函数与指数函数互为反函数，图象关于直线 $y=x$ 对称：把 $y=a^x$ 中的 $x,y$ 互换位置解出 $y$，得 $x=a^y⟺y={\log }_{a}x$，这正是反函数的构造过程；而 $x,y$ 互换对应的几何操作就是关于直线 $y=x$ 作对称。

五、幂函数

形如 $y=x^{\alpha }$（$\alpha$ 为常数）的函数叫幂函数。

图中五个函数 $y=x$、$y=x^2$、$y=x^3$、$y=\sqrt{x}$、$y=\frac{1}{x}$（即 $\alpha$ 分别取 $1,2,3,\frac{1}{2},-1$）是高中阶段最常见的幂函数：它们的定义域、值域、奇偶性各不相同（$y=x^2$ 的定义域是 $\mathbb{R}$ 但 $y=\sqrt{x}$ 只在 $x\ge 0$ 有定义；$y=x$、$y=x^3$、$y=\frac{1}{x}$ 是奇函数，$y=x^2$ 是偶函数，$y=\sqrt{x}$ 非奇非偶），但都经过点 $(1,1)$——因为 $1^{\alpha }=1$ 对任意 $\alpha$ 都成立。

对应视频

正文看得懂就跳过，卡住了再看对应那一段。下面只列真正值得看的，合计约 2 小时 1 分。

• P26 幂函数（19:35）— 必看
• P27 分数指数幂的计算（16:12）— 必看
• P28 指数函数（21:25）— 必看
• P29 对数定义+基本运算规则（26:24）— 必看
• P30 对数换底公式+练习（15:27）— 必看
• P31 对数函数（22:10）— 必看

合集里另有"初等函数知识串讲复习"“指数、对数大小比较题型解析”“初等函数图像与性质考点解析”“指数、对数的常见重要丑函数”"函数问题的解题流程总结"几集，都是复习课、大小比较技巧或拔高压轴题型，与本篇概念无关，跳过。

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