内容	必须掌握的	后面在哪用到
函数的概念	三要素（定义域、对应法则、值域）；两个函数相同的判定标准	描述"输入到输出"关系的通用语言，模型的定义域即输入的合法范围
定义域与值域	常见函数定义域的求法；换元法、判别式法求值域	检查输入是否落在模型的有效范围内
函数的单调性	定义法证明单调性；复合函数单调性判断（同增异减）	损失函数下降性、凸性判断的基本语言
函数的奇偶性	定义、图像对称性、判断顺序	利用对称性化简计算量
函数的零点	零点存在定理；二分法求零点近似值	数值求根、平衡点与收敛判据的基本方法

一、函数的概念

设 $A$、$B$ 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 $f$，使得对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $f(x)$ 和它对应，那么就称 $f:A\to B$ 为从 $A$ 到 $B$ 的一个函数，记作 $y=f(x)$，$x\in A$。

"唯一确定"是这个定义的核心：一个 $x$ 只能对应一个 $y$，但反过来允许多个 $x$ 对应同一个 $y$（比如 $y=x^2$ 里，$x=1$ 和 $x=-1$ 都对应 $y=1$）。上图右边那种"一个 $x$ 引出两条箭头"的对应关系不是函数。

一个函数由三要素唯一确定：

• 定义域 $A$：$x$ 的取值范围
• 对应法则 $f$：把 $x$ 变成 $f(x)$ 的具体规则
• 值域： { f ( x ) ∣ x ∈ A } \{f(x) \mid x \in A\} {f(x)∣x∈A}，是 $B$ 的子集，由定义域和对应法则共同决定

判断两个函数是不是同一个函数，只需比较定义域和对应法则是否都相同——值域相同不能说明两个函数一样：$y=x^2$（$x\in \mathbb{R}$）和 $y=|x|$，值域都是 $[0,+\infty )$，但对应法则不同，不是同一个函数；定义域不同也不是同一个函数：$y=x$（$x\in \mathbb{R}$）和 $y=\frac{x^2}{x}$（$x\ne 0$），化简后表达式一样，但定义域不同，是两个不同的函数。

二、定义域与值域

定义域的求法

定义域由使表达式有意义的所有限制条件联立求出，常见限制来自：

• 分式：分母 $\ne 0$
• 偶次根式：被开方数 $\ge 0$
• 复合函数 $f(g(x))$：$x$ 要落在 $g$ 的定义域里，同时 $g(x)$ 要落在 $f$ 的定义域里——两层条件都要满足，不能只看其中一层

值域的求法

• 直接法：对简单函数直接观察，比如 $y=x^2+1$ 的值域是 $[1,+\infty )$
• 配方法：把二次函数配方成顶点式求最值，进而得到值域（第 2 篇已经证明过配方法本身，这里是它的直接应用）
• 换元法：把式子里的复杂部分换成新变量 $t$，转化成更简单的函数求值域。比如求 $y=x+\sqrt{1-2x}$ 的值域，令 $t=\sqrt{1-2x}$（$t\ge 0$），则 $x=\frac{1-t^2}{2}$，代入得 $y=\frac{1-t^2}{2}+t=-\frac{1}{2}(t-1{)}^2+1$（$t\ge 0$），转化成关于 $t$ 的二次函数，再用配方法求值域
• 判别式法：形如 $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{d{x}^2+ex+f}$ 的分式函数，把 $y$ 看成已知数，两边乘分母整理成关于 $x$ 的一元二次方程，用判别式 $\Delta \ge 0$（方程有实数解）反推 $y$ 的取值范围

三、函数的单调性

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I\subseteq D$：若对任意 $x_1,x_2\in I$，当 $x_1<x_2$ 时都有 $f(x_1)<f(x_2)$，称 $f(x)$ 在 $I$ 上是增函数；都有 $f(x_1)>f(x_2)$，称为减函数。

定义法证明单调性的标准步骤：在 $I$ 上任取 $x_1<x_2$ → 作差 $f(x_1)-f(x_2)$ → 变形（因式分解、通分等）判断这个差的符号 → 根据符号得出增减结论。这一套流程本身就是证明。

复合函数的单调性

设 $u=g(x)$ 在区间 $I$ 上单调，$y=f(u)$ 在 $g(I)$ 上单调，复合函数 $y=f(g(x))$ 在 $I$ 上的单调性遵循同增异减：内外两层同方向（都增或都减）则复合函数是增函数，方向相反则复合函数是减函数（证明见后面）。

四、函数的奇偶性

设函数 $f(x)$ 的定义域关于原点对称（这是奇偶性成立的前提，定义域不对称直接判定"非奇非偶"）：

• 若对定义域内任意 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$，称 $f(x)$ 为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称
• 若对定义域内任意 $x$ 都有 $f(-x)=-f(x)$，称 $f(x)$ 为奇函数，图象关于原点对称

判断奇偶性的顺序固定：先看定义域是否关于原点对称，再验证 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。两步都要做，只验证了 $f(-x)=f(x)$ 而没检查定义域对称性，结论可能是错的。

常数函数 $f(x)=0$（定义域取 $\mathbb{R}$）同时是奇函数也是偶函数——这是唯一同时满足两条定义的函数，因为 $f(-x)=f(x)$ 且 $f(-x)=-f(x)$ 联立，直接推出 $f(x)=-f(x)⟹f(x)=0$。另外，若奇函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有定义，则必有 $f(0)=0$：把 $x=0$ 代入 $f(-x)=-f(x)$ 得 $f(0)=-f(0)$，同样推出 $f(0)=0$。

五、函数的零点

使 $f(x)=0$ 成立的实数 $x$，叫函数 $f(x)$ 的零点。"零点"这个概念把三件事统一了起来：$x_0$ 是 $f(x)$ 的零点 $⟺$ 方程 $f(x)=0$ 有实数根 $x_0$ $⟺$ 函数图象与 $x$ 轴的交点横坐标为 $x_0$——这正是第 6 篇"三个二次"讲的转化关系，从二次函数推广到一般函数。

零点存在定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且 $f(a)\cdot f(b)<0$（两端点函数值异号），则 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一个零点。曲线从 $x$ 轴一侧走到另一侧，中途不断开，必然要穿过 $x$ 轴至少一次，这就是定理成立的直观道理。

图示：二分法求零点

零点存在定理只保证零点存在，不给出具体位置，二分法用来求它的近似值：取区间 $[a,b]$ 的中点 $m=\frac{a+b}{2}$，计算 $f(m)$——若 $f(m)=0$，$m$ 就是零点；若 $f(m)$ 与 $f(a)$ 异号，零点在 $[a,m]$ 里，把 $[a,m]$ 当作新区间；若 $f(m)$ 与 $f(b)$ 异号，零点在 $[m,b]$ 里，把 $[m,b]$ 当作新区间。不断重复这个过程，区间长度每次减半，直到区间长度小于预先设定的精度要求，取这时区间的中点作为零点的近似值。

上图以 $f(x)=x^3-2x-5$ 为例：$f(2)=-1<0$，$f(3)=16>0$，异号，零点在 $(2,3)$ 内；取中点 $2.5$，$f(2.5)=5.625>0$，与 $f(2)$ 异号，零点缩小到 $(2,2.5)$；再取中点 $2.25$，$f(2.25)\approx 1.89>0$，零点进一步缩小到 $(2,2.25)$。区间越缩越窄，逼近真实零点。

推导与证明

复合函数单调性的证明

证明：任取 $x_1<x_2\in I$。若 $g$ 在 $I$ 上递增，则 $g(x_1)<g(x_2)$；此时若 $f$ 在 $g(I)$ 上也递增，把 $g(x_1)<g(x_2)$ 代入 $f$ 的增性定义，得 $f(g(x_1))<f(g(x_2))$，即复合函数递增；若 $f$ 递减，则 $f(g(x_1))>f(g(x_2))$，复合函数递减。若 $g$ 在 $I$ 上递减，则 $g(x_1)>g(x_2)$，同样代入 $f$ 的增减性，可得"异号则复合减、同号则复合增"的结论对称成立。

对应视频

正文看得懂就跳过，卡住了再看对应那一段。下面只列真正值得看的，合计约 3 小时 12 分。

• P18 函数概念+定义域（39:35）— 必看
• P20 分式函数的值域（38:19）— 必看
• P21 函数单调性（43:52）— 必看
• P22 函数奇偶性（38:21）— 必看
• P37 零点存在性定理的运用（31:55）— 必看

合集里另有"引导课：为什么用 f(x)"（P17）、“函数解析式求法”（P19），是记号动机说明和求表达式的技巧，与本篇内容无关；“单调奇偶考法复习”“单调奇偶综合拓展”“抽象函数、恒成立、构造函数”（P23-P25）是应试考法和拔高压轴题型，都跳过。合集中没有专门讲二分法的一集。

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