第二章 数学基础

旋转矩阵的向量满足：

 也即旋转矩阵是正交矩阵，它的逆等同于它的转置。旋转矩阵的行列式值等于1。

对于矩阵运算，有前乘行得行线性组合（系数为行中的每个元素），后乘列得列线性组合（系数为列中的各个元素）。

绕x,y,z轴的旋转变换：

 它的规律是，在对角线上对应于旋转轴的项为1，其余都为cos，然后如果是拆开看1和另外两个能分开的话，就是cos -sin sin cos，如果1在中间那么就是 cos sin -sin cos；

位姿描述是旋转矩阵对位移向量的增广。这样把旋转方程和位移方程联立在一个矩阵里了。缺点是，它变成了一个4×3的非齐次矩阵。

过渡坐标系：

 第一点，在左上角的字母表示相对于某个坐标系而言。也就是以左上角的字母代表的坐标系为坐标系。第二点，B对于C的旋转矩阵和B对于A的旋转矩阵相同，是因为C与A有相同的姿态。

第三点，旋转矩阵的含义是，P在A中的坐标等于P在B中的坐标左乘一个B相对于A的方位。

 齐次变换，旋转矢量下面都为0，唯一矢量后面是1。坐标点后面加1。

 这里有一个小的概念，用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变该变换矩阵的特性。其实这是矩阵的特点，因为计算矩阵乘法时，取的本就是各行各列的线性组合。变换矩阵相当于基数，向量相当于系数，系数和基数同时放大，总放大倍数就是各个放大倍数之积。

复合变换 只需记住下标对应即可。

 

 求任意矢量旋转的方程。公式过长。不过可解就说明它是简单的。

以下是第二章习题：

 

 

第二章习题的个人解答： 

 比较重要的题目有2.5 涉及到基和坐标的概念。 2.6涉及到通用旋转公式。

第10 11题比较复杂，这里给一个链接

https://www.cnblogs.com/21207-iHome/p/9216719.html

第三章 机器人运动学

n =o×a

o=orientation，机器手两个指尖的连线。

a=approach，机器手对着物体的方向。

欧拉变换：欧拉变换实质上就是在每一次变换中，改变参考坐标为一个新的坐标。在这中情况下，旋转次序十分重要。机械手的运动姿态由一个绕x，y，z轴的序列规定，这种序列的转角称为欧拉角。欧拉变换使用旋转矩阵时，应使用右乘。

 RPY角：

R：roll，可以理解为船绕航行方向轴翻滚，横滚

P：pitch，可以理解为船前后翻滚。俯仰

Y：yaw，可以理解为船进行变向。偏转。

 RPY角在使用时是左乘。

不管是用柱面坐标系还是球面坐标系，在使用姿态变换矩阵时，使用左乘。

连杆：从机器人的固定基座开始为连杆进行编号，固定基座为连杆0。第一个可动连杆称为连杆1。为了使末端执行器能够在三维空间中达到任意的位置和姿态，机器人至少需要6个关节，对应6个自由度。

连杆坐标系的建立：x方向是连杆轴线公垂线的方向。z方向是轴线方向。y方向是x与z叉乘。

 比较重要的几个参数：

a：连杆长度，表示两个轴之间公垂线段的长度。

α：连杆扭角，表示后一个轴与前一个轴夹角。以后一个轴的z轴为参考进行旋转获得角度。

d ：两连杆距离，与a不同，d表示的是z轴重合时两连杆坐标原点在z轴上的距离。

θ：与连杆扭角不同，θ 表示绕z轴旋转的夹角。

在使用连杆坐标系时，使用的变换矩阵是右乘。因为坐标一直在发生变换。

 D-H法，也就是Denavit-Hatenberg法。

逆运动学求解：

1.解的存在性，当一个机器人少于6自由度时，它在三维空间内不能达到全部位姿。若解存在，被指定的目标点必须在工作空间内。

2.多解性问题：机器人在执行操控时只能选择一组解，对于不同的应用其解的选择标准是不同的。一种比较合理的方法是最短行程解，即使得机器人的移动距离最短。但当环境中存在障碍物时，最短行程解可能产生冲突，这时可能需要“较长行程解”我们在求解逆运动学时通常希望能够计算全部可能的解。逆运动学解的个数取决于机器人的关节数量，也英语连杆参数和关节运动范围有关。一般来说，机器人的关节数量越多，连杆的非零参数越多，达到某一特定位姿的方式也越多，即你运动学的解的数量也越多。

机器人的逆运动学求解通常是非线性方程组的求解，与线性方程组的求解不同，非线性方程组没有通用的求解算法。

逆运动学求解方法主要有两大类：封闭解法和数值解法。数值解法是利用迭代求解，因此它比一般的封闭解法求解速度要慢很多。

封闭解法又分为代数法和几何法。

Piper准则：具有六个旋转关节的机器人存在封闭解的充分条件是相邻的三个关节轴线相交与一点。当今的6自由度机器人几乎都满足这个条件，例如PUMA560的4,5,6轴相交，因此大多是可以求解的。

使用atan2的原因是它接受横坐标x和纵坐标y，检查y和x的符号来确定其所在象限。

使用欧拉角的解法

 

 机器人正向运动学举例：

使用D-H法建立连杆变换矩阵的算法

 

 其实比较重要的是3.12式

a：连杆长度，表示两个轴之间公垂线段的长度。

α：连杆扭角，表示后一个轴与前一个轴夹角。以后一个轴的z轴为参考进行旋转获得角度。

d ：两连杆距离，与a不同，d表示的是z轴重合时两连杆坐标原点在z轴上的距离。

θ：与连杆扭角不同，θ 表示绕z轴旋转的夹角

在使用连杆坐标系时，使用的变换矩阵是右乘。因为坐标一直在发生变换。

因此它表示先沿x轴旋转αi-1,再沿x轴位移ai-1，然后绕z轴旋转θi，最后沿z轴位移di。

过程在课本上有详细写明，它的规律是，总是先矫正角度，然后进行偏移。先矫正公垂线方向上的，也就是x轴方向上的α和a，然后矫正z轴也就是工作轴的偏差θi和di。

 这里的例子可以当中间练习。这里Rot和Trans矩阵是一起的，其实是一个齐次变换矩阵，也就是最后的矩阵其实就是两个齐次变换矩阵的乘法。

机器人逆向动力学

逆向动力学就是不断地在最终变换矩阵中左乘逆矩阵。

这里有六个通式

 

 

 

 

 运动学反解多解的解释：

 雅可比公式

微分平移和微分旋转

 它的推导是用通用旋转公式，

 

不太好理解，下面给一个例子 

 需要记住的是dT=△T，和dT=T'△，这里的T’代表矩阵转置。

反对称矩阵：

 

 雅可比矩阵的定义

 

 雅可比矩阵的求法：

简单的讲，雅克比矩阵是由变换矩阵计算得来的。

 第三章习题

 

 

 

 以下是对部分题目的解答：个别题目因为繁琐重复，或者本人知识水平有欠缺未能给出答案。

 

 

 最重要的是微分变换、等效变换和雅克比矩阵。微分变换坐标没搞懂。

涉及到矩阵的知识，反对称矩阵的概念。

基坐标的建立，运动学方程。

第九章 机器人轨迹规划

三次多项式插值：