参考：计算机视觉基础2——相机成像的几何描述 - 湘厦人 - 博客园 (cnblogs.com)

1.世界坐标、相机坐标和像平面坐标

试想像一下，很多游客同时在不同角度拍摄Eiffel Tower(埃菲尔铁塔)，该如何用数学的方法来描述这一过程呢？首先要解决的问题就是定位，或者说坐标选定的问题，埃菲尔铁塔只有一座，如果按经、纬度来刻画，它的坐标是唯一确定的，但游客显然不关心这一点，他(她)只按自己的喜好选择角度和位置，因此，物体(景物)有物体的坐标系统，相机有相机的坐标系统，即便同一个相机，当调整参数时，在同样的位置、相同的角度，也可能得到不同的图像。为了统一描述，有必要引入世界坐标(或物体坐标)、相机坐标和像平面坐标。

1.1 世界坐标用UVW记

 

1.2 相机坐标用XYZ

1.3 像平面

中学物理告诉我们，物体与像是倒的关系，但作为数学分析，我们采用虚像。像平面用xoy记。

1.4 数字图像

而数字图像用(u,v)来表示，不弄混淆像平面和数字图像这两个概念，同一个像通过平移、拉伸等，可以得到不同的数学图像(u,v)。

1.5 总的关系

2. 数学语言描述变换过程

2.1camera coords->film coords

 红框标注的部分是3D物体到2D像平面的透视投影

显然，OP上的任一点的像都是p(x,y)，为了描述这一关系，需要引入齐次坐标（已经在前面的基础中讲解）。

By convention, we specify that given (x’,y’,z’) we can recover the 2D point (x,y) as x=x'/z'     y=y'/z'.

Note: (x,y) = (x,y,1) = (2x, 2y, 2) = (kx, ky, k)

关于齐次坐标，更详细的介绍可参考高等几何。

上述透视投影的过程可以描述为

2.2 world coords->camera coords

正如开头所言，不同游客会选择不同的位置和角度拍摄同一物体，因此，物体对于相机的关系各不相同，这就是物体到相机坐标变换的问题。

上述红框部分描述的是从物体的坐标(称为世界坐标)到相机坐标变换的过程，它是一种刚体运动，可以用平移、旋转来描述。

平移是容易理解的，我们先讨论更简单的情形，即假设世界坐标系和相机坐标系的原点重合(其实先平移将两个原点重合即可)，则变换只剩下旋转了。

旋转矩阵的元素也很容易确定。试想(U,V,W)=(1,0,0)，而它在相机坐标系中的坐标是(X,Y,Z)=(a,b,c)(同一物理点的不同坐标)则有：

因此有：

上面的意思是(r11,r21,r31)这三个的值是世界坐标(1,0,0)在相机坐标中的新坐标；

                        (r12,r22,r32)这三个的值是世界坐标(0,1,0)在相机坐标中的新坐标；

                        (r13,r23,r33)这三个的值是世界坐标(0,0,1)在相机坐标中的新坐标。

不难得出：

上面的意思是(r11,r12,r13)这三个的值是相机坐标(1,0,0)在世界坐标中的新坐标；

                        (r21,r22,r23)这三个的值是相机坐标(0,1,0)在世界坐标中的新坐标；

                        (r31,r32,r33)这三个的值是相机坐标(0,0,1)在世界坐标中的新坐标。

由于物体的坐标到相机坐标的变换，相对于相机内部参数而言属于外部参数(External Parameters)，往往写作R和T，即

总结

本小节讲述了如何将3D世界坐标系中的点变换到相机坐标系中，然后经透视投影，变成2D像平面上的点(x,y).