机器人三次多项式插值和带抛物线过渡的线性插值法详解

在机器人轨迹规划中， 三次多项式插值和**带抛物线过渡的线性插值（LSPB）**是两种最基础、最常用的方法。它们分别对应“平滑但不可控速度”和“可控速度但加速度有突变”的典型场景。

下面详细拆解这两种方法。

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一、三次多项式插值

这种方法为每一段关节空间轨迹生成一个三次多项式函数 $\theta (t)$，保证位置和速度在起点和终点连续。

1. 数学模型

设单关节从起点 ${\theta }_0$ 运动到终点 ${\theta }_f$，总时间 $t_f$，起点速度为 $v_0$，终点速度为 $v_f$。
三次多项式形式：

$$\theta (t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3$$

速度：

$$\dot{\theta }(t)=a_1+2a_{2}t+3a_3{t}^2$$

代入边界条件：

$$\begin{array}{rl}\theta (0)& ={\theta }_0=a_0\\ \dot{\theta }(0)& =v_0=a_1\\ \theta (t_f)& ={\theta }_f=a_0+a_1{t}_f+a_2{t}_f^2+a_3{t}_f^3\\ \dot{\theta }(t_f)& =v_f=a_1+2a_2{t}_f+3a_3{t}_f^2\end{array}$$

解得：

$$a_0={\theta }_0,a_1=v_0,a_2=\frac{3({\theta }_f-{\theta }_0)-(2v_0+v_f)t_f}{t_f^2},a_3=\frac{-2({\theta }_f-{\theta }_0)+(v_0+v_f)t_f}{t_f^3}$$

2. 典型情况：起点与终点速度为零

若 $v_0=v_f=0$：

$$\theta (t)={\theta }_0+\frac{3({\theta }_f-{\theta }_0)}{t_f^2}{t}^2-\frac{2({\theta }_f-{\theta }_0)}{t_f^3}{t}^3$$

此时加速度为线性变化（因为三次多项式求导二次为一次函数），起点和终点加速度不为零（分别为 $\frac{6({\theta }_f-{\theta }_0)}{t_f^2}$ 和 $-\frac{6({\theta }_f-{\theta }_0)}{t_f^2}$）。

3. 特点

• 优点：位置、速度、加速度均连续（二阶连续），无突变，对电机冲击小。
• 缺点：
  • 中间段速度不可控，可能超过关节极限。
  • 加速度在起点和终点不为零（若要求起止速度为零），意味着需要电机瞬间提供较大加速度。
  • 只能保证经过端点，不能精确经过中间点（除非拼接多段多项式）。

4. 适用场景

• 单段点到点运动。
• 对冲击敏感，且对速度曲线形状无特殊要求的场合。

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二、带抛物线过渡的线性插值（LSPB）

这种方法为了克服纯线性插值（梯形速度曲线）在速度转折点加速度无穷大的问题，在两端用抛物线（匀加速/减）过渡，中间段保持匀速。

1. 基本思想

• 加速段：恒定加速度 $a$（抛物线形状的位置曲线）。
• 匀速段：速度恒定 $v_{\text{max}}$。
• 减速段：恒定减速度 $-a$（对称设计）。

2. 数学推导（以对称 LSPB 为例，起点终点速度为零）

设总行程 ${\theta }_f-{\theta }_0=D$，总时间 $t_f$，加速度 $a$（正值）。
加速段时间 $t_a$，加速度段位移 $\frac{1}{2}a{t}_a^2$。
由于对称，加速和减速位移相等，匀速段位移 $D-a{t}_a^2$，匀速段时间 $t_m=\frac{D-a{t}_a^2}{a{t}_a}$。

总时间：

$$t_f=2t_a+t_m=2t_a+\frac{D-a{t}_a^2}{a{t}_a}=\frac{D}{a{t}_a}+t_a$$

给定 $t_f$ 和 $D$，需选择 $a$ 或 $t_a$ 满足 $a{t}_a\le D/2$（保证有匀速段）且 $a{t}_a^2\le D$。

3. 位置分段表达式

设 $t_b=t_a$（加速结束时间），$t_c=t_f-t_a$（减速开始时间），$v_{\text{max}}=a{t}_a$。

• 加速段 ($0\le t\le t_a$)：

$$\theta (t)={\theta }_0+\frac{1}{2}a{t}^2$$

• 匀速段 ($t_a\le t\le t_f-t_a$)：

$$\theta (t)={\theta }_0+a{t}_a(t-t_a/2)$$

• 减速段 ($t_f-t_a\le t\le t_f$)：

$$\theta (t)={\theta }_f-\frac{1}{2}a(t_f-t{)}^2$$

4. 特点

• 优点：
  • 加速度有限（仅在起点、终点、加速‑匀速交接点有阶跃，但不为无穷大）。
  • 速度可严格控制在 $v_{\text{max}}$ 以内，适合受限于关节速度的机器人。
  • 计算简单，实时性好。
• 缺点：
  • 加速度不连续（在 $t_a$ 和 $t_f-t_a$ 处有突变），理论上会激起机械振动。
  • 需要提前选定 $a$ 和 $t_f$ 或 $a$ 和 $v_{\text{max}}$，若行程太短可能无匀速段，自动退化为三角形速度曲线。

5. 适用场景

• 工业机器人快速搬运、喷涂等对路径精度要求不高但需严格控制最大速度的场合。
• 多用于关节空间或笛卡尔空间直线插补（与直线插补结合，变成“加速‑匀速‑减速”直线运动）。

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三、两者对比表

特性	三次多项式插值	抛物线过渡线性插值 (LSPB)
加速度连续性	连续（线性变化）	不连续（在过渡点阶跃）
速度控制	中间速度不可预测，可能超限	能严格限制最大速度
计算量	简单，仅需解 4 个系数	需要判断是否有匀速段，计算过渡时间
对电机冲击	较小（加速度连续）	较大（加速度突变）
适用场景	精密装配、高平滑轨迹	高速搬运、点到点快速运动
过中间点方式	多段三次多项式拼接（需额外约束）	常与 PVT 模式结合，或使用高阶多项式过渡

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四、实际应用建议

• 若机器人负载较轻、刚性较好（如 SCARA、小型六轴），且希望运动极致平滑，优先选择五次多项式（加速度也连续）而不是三次——三次的加速度在端点不为零，仍有一定冲击。
  但若只能用三次多项式，注意检查中间速度是否超过关节限位。

• 在通用工业机器人轨迹规划中，需要明确的“加‑匀‑减”阶段以便于时间最优控制，LSPB 是一个实用的选择。实际代码中常将 LSPB 与速度前瞻、S 形曲线（加速度也连续，但计算更复杂）结合使用。

• 一个常见陷阱：LSPB 中加速度突变会导致理论上的无穷大加加速度（jerk）。对于大负载或高精度机器人，这会引起残余振动。此时应改用 S 形速度曲线（七段式，加加速度有限）或五次多项式。