先引入格兰杰因果关系（Granger Causality, 后简称GC）检验，再介绍收敛交叉映射convergent cross mapping，CCM）。

目录：

1. 格兰杰因果关系（Granger Causality, GC）
2. 非线性系统下的相关性和因果关系
3. CCM算法简介
4. CCM的主要思想
5. CCM的收敛性
6. CCM的缺陷
7. 相关文献

格兰杰因果关系（Granger Causality, GC）

GC主要通过预测能力来识别时间序列的因果关系。具体来说，假如我们构建了一个计量模型来预测时间序列Y，此时如果序列X从模型中移除后，该模型对Y的预测能力下降了，那就认为X是Y的格兰杰原因。GC的一个关键假定是可分离性（separability），也就是说原因是独立于结果而存在的，某个原因变量可以从系统（或模型）中移除而不影响系统的其他部分。对于纯随机系统和线性系统而言，可分离性是可以被满足的，此时GC也可以发挥出较好的效果。或者对于某些紧密度很高的耦合状态，GC也可以发挥出不错的效果。但是，格兰杰本人也提到过，对于类似于上述方程的那种确定性系统，尤其是紧密度没那么强的动态耦合系统，GC的效果可能并不好。

总结一下GC检验难以发挥较好效果的一些领域：
（1）不可分离的系统；
（2）变量间存在弱耦合关系；
（3）当两个变量同时首某个共同因素（混杂）影响时，如何区分这两个变量的因果关系和相关性。

非线性系统下的相关性和因果关系

1.时间序列和动态系统的关系。
下面这个视频动画说得比较清楚。比如说，假如三个时间序列构成了一个动态系统，每个时间序列对应一个维度，那么对于每一个时点，三个时间序列各贡献一个维度的坐标值，从而确定了一个三维空间中的点。这样随着时间不断演进，这个点就在上述三维空间中跑来跑去。那么反过来，给我们一个这样的动态系统，我们也可以通过系统的动态变化在各个维度绘制出对应的时间序列。这些时间序列的形态可能各异，但其实它们都源自同一个非线性动态系统，因此哪怕它们可能看起来毫无关系，但实际上一定是存在关联的。

时间序列和动态系统

CCM算法简介

GC适用于一个纯随机的世界，但现实情况是，这个世界并不是纯随机的，而是一个具有一定确定性的动态系统。这样一个动态系统可以用一个流形（manifold）表示。可以把一个流形理解为一个高维空间中点随时间推进而形成的运动轨迹。

如果时间序列X和Y同属于一个动态系统，也就是说，如果X和Y共享一个流形，那么X和Y就可以被认为存在因果关系。X和Y共享一个流形，意味着给定X和Y共享的流形，那么根据X的状态就可以推出Y的状态，反过来根据Y的状态也可以推出X的状态。结合前一个视频，以及下面的两个视频，你可以有一个更直观的认知。

Takens定理和影子流形
收敛交叉映射

CCM的主要思想

如果X导致Y，那么Y的历史信息便能够很好地估计X。（父子举例：父亲导致了儿子，那么儿子必有父亲的“痕迹”。因导致果，果中必有因的“痕迹”）。CCM算法主要是通过时间序列的非线性吸引子重构，基于“果”中会包含“因”的“痕迹”而推断因果关系。再具体一点，我们用Y构造影子流形My，用X构造影子流形Mx，那么如果Y和X存在因果关系，则利用My中某点的邻居点就应该能比较好地识别Mx中对应点的邻居点，这就是交叉映射。看一下上述三个视频，有助于更直观地理解。

CCM的收敛性

CCM的一个重要特征是收敛性。也就是说如果真的存在因果关系的话，那么我们使用的时间序列越长（样本量越大），所得到的交叉映射估计误差就会越小。这是因为，时间序列越长，我们绘制出来的流形M，以及影子流形Mx和My就会越“稠密”，此时某点的邻居点就会越“紧凑”，误差就会越小，X的真实值与交叉映射得到的估计值的相关系数也就会越高。当样本量足够大时，这个相关系数就会趋于一个常数，而这个常数就可以用来反映X对Y的因果效应强度。一般情况下，当时间序列长度高于30时，CCM的效果还是不错的。

注意：Sugihara等（2012）指出CCM是因果关系的一个必要条件，也就是如果X导致Y，那么必有Y对X的收敛交叉映射，反之则不一定成立。 举例：父亲导致儿子，儿子对父亲的估计一定有价值，反之父亲估计儿子不一定有价值。

需要说明的是，CCM算法并不是比GC更好，更不是GC的替代，而是对GC的一个补充。CCM适用于上述GC无法覆盖的领域。因此，当你在采用CCM时，也应当谨慎一点，并非所有的数据类型采用CCM都是合适的。

CCM可以用于检验双向因果关系、单向因果关系、剔除混杂因素的影响

CCM的缺陷

CCM的缺陷之一就是，当原因X对结果Y的影响很强时，尽管X和Y是单向的因果关系，但CCM却常常错误地给出X和Y存在双向因果关系的结论。也就是说，CCM无法区分双向因果关系和强单向因果关系。

相关文献

1.Sugihara等（2012）在Science上发表了一篇名为Detecting Causality in Complex Ecosystems的文章，首次提出了CCM算法。
2.Clear et al. (2015)在Ecology上发表了一篇名为Spatial convergent cross mapping to detect causal relationships from short time series的文章，指出，Sugihara et al. (2012)提出的CCM方法对时间序列的长度是有一定的要求的，序列越长，估计的效果就会越好。但现实中存在很多较短的时间序列，这时候怎么应用CCM？提出的办法是，把多个较短的时间序列拼接成一个较长的时间序列，然后应用CCM算法，他们还用自助法（Bootstrap）对拼接的顺序进行随机置换，以此获得稳健的CCM估计值。
3.Ye et al. (2015)的Distinguishing time-delayed causal interactions using convergent cross mapping.这篇文章在CCM的基础上进一步考虑了时间滞后，也就是用t 时刻的“果”去预测 t+h（h 可正可负）时刻的“因”。这样做的贡献在哪里呢？简单概括就是，通过对比不同时间滞后的预测效果，拓展的CCM方法能够有效区分强单向因果关系和双向因果关系，并且可以给出原因导致结果变化的最可能的时滞。
4.Bartsev et al. (2020)的名为Imperfection of the convergent cross-mapping method。这篇文章主要通过一些案例介绍了CCM可能存在的缺陷。总结： CCM只是因果关系存在的一个必要条件，而不是充分条件。如果CCM结果显示X对Y不存在影响，那说明X可能的确对Y不存在因果关系，但若果CCM结果显示X对Y存在影响，此时X实际上对Y是否存在影响还需要再进一步确认。
5.Stavroglou et al. (2019)的Hidden interactions in financial markets。这篇文章主要介绍的是一种新的基于CCM和符号动力学的因果模式发掘算法，我们可以称之为暗因果（dark causality）
符号因果：识别正、负和暗因果

以上内容是对 知乎账号“passenger” 所写内容的汇总，觉得受益匪浅。还有一些没看懂的地方，以下是账号相关内容链接，现粘贴在下面，方便时刻查看阅读：
笔记01：收敛交叉映射（CCM）及一些拓展
笔记02：收敛交叉映射（CCM）及一些拓展——短时序的多空间CCM
笔记03：收敛交叉映射（CCM）及一些拓展——时间滞后与因果方向
笔记04：收敛交叉映射（CCM）及一些拓展——CCM靠谱吗？
笔记05：收敛交叉映射（CCM）及一些拓展——暗因果