目录

§5.1  留   数

1. 留数的定义

2. 留数定理

 定理5.1 (留数定理) 

3. 留数的计算方法

4. 在无穷远点的留数

定理5.2​编辑​编辑​编辑​编辑

于是就有​编辑​编辑​编辑​编辑​编辑​编辑​编辑

§5.2  留数在积分计算上的应用​编辑

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2

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§5.1  留   数

1. 留数的定义

     如果z0是f(z)的孤立奇点，那么对于解析圆环内包含z0的正向简单闭曲线C，上述积分只与f(z)和z0有关，而与C无关，但积分值不一定为零.

    f(z)在z0的邻域内可展开成罗朗级数：

*/-+

2. 留数定理

 定理5.1 (留数定理) 

设函数f(z)在区域D内除有有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外处处解析，C是D内包围这些奇点的一条正向简单闭曲线，那么

证明：以zk为圆心，作完全含在C内且互不相交的正向小圆Ck:|z−zk|=k,(k=1,2,…,n)，由复合闭路上的柯西积分定理，有

但

于是有

3. 留数的计算方法

(1) 如果z0为f(z)的m级极点，那么

证明：因为z0是f(z)的m级极点，故在z0的邻域中有

于是

所以

于是

4. 在无穷远点的留数

        

定理5.2

于是就有

§5.2  留数在积分计算上的应用

1

2

因此

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