一、向量加法

• 平行四边形法则

两个向量统一起点，构成平行四边形，对角线为向量加和的结果

• 三角形法则

两个向量尾首相连，从a起点连接到b终点，为向量加法的结果

多向量首尾相连的加法结果为第一个向量的起点到最后一个向量的终点

二、向量减法运算

向量同起点，连接两个向量的终点，指向被减数就是减法的值

三、向量点乘

• 向量点乘，也称内积，结果是一个标量，结果是两个向量的x、y、z位置分别相乘后相加的结果。向量a(ax,ay,az)和向量b(bx,by,bz)点乘的结果是 ax * bx + ay * by + az * bz
• 向量点乘也可以用长度和夹角表示,其中ang为两个向量的夹角。a.b = |a| * |b| * cos(ang)

如何证明这两个公式结果是相等的呢？

向量点乘的运算性质

交互率：a.b = b.a

结合律：a.(b + c) = a.b + a.c

分配律：k*(a.b) = a.(k * b) = (k * a).b // 其中k是实数

向量点乘的应用

1.  计算投影向量和投影向量的长度

2. 计算两个向量是否同向

四、向量的叉乘

叉乘结果和叉乘顺序有关

• （二维）向量a(ax,ay)和向量b(bx,by)叉乘结果为一个标量：ax * by - ay * ax，所以叉乘结果和叉乘顺序有关
• （三维）向量a(ax,ay,az)和向量b(bx,by,bz)叉乘结果为一个三位向量：(ay * bz - by * az,az * bx - bz * ax,ax * by - bx * ay)
• （三维）两个向量叉乘结果为同时垂直于两个向量的第三个向量，即垂直于两个向量所在的平面的向量，所以叉乘可以求法向量
• |a 叉乘 b| = |a||b|sin(ang)
• 叉乘的结果满足右手螺旋法则

叉乘运算性质

a 叉乘 b = - b叉乘 a

a 叉乘 a = 0

(k * a)叉乘 b = k * (a 叉乘 b)

a 叉乘 (b + c) = (a 叉乘 b) + (a 叉乘 c)

叉乘的应用

1. 求三角形面积

2. 判断点在三角形内部