其实笔记是很早就在我的obsidian里写好的，之前一直拖延没有传上来，一直有人在问我，2026年新年新气象，终于决定发愤图强！传上来！

上一篇文章在这里：GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪 课程笔记 - 汇总（上）

4-shading着色

• shading 的含义：
  • 对一个物体应用一种材质

shading model

Blinn-Phong Reflectance

• 一种最基础的光照模型，反射模型，经验型模型

• 公式

  • $L=L_a+L_d+L_s$
    • 漫反射 $L_d=k_d(I/r^2)max(0,n\cdot l)$
    • 高光 $L_s=k_s(I/r^2)max(0,n\cdot h{)}^p$
    • 环境光 $L_a=k_a{I}_a$

• 分类

  • 漫反射（diffuse reflection）- 变化不是很明显的部分
  • 高光（specular highlights）
  • 间接光照/环境光照（ambient lighting）- 光打到别的物体，再打到它上面

• 输入

  • 观测方向 $v$
  • 平面的法线 $n$
  • 光照方向 $l$
  • p.s. 长度都是1
  • 关于平面的参数
    • 颜色
    • 光照强度（shininess）
  • 

• 着色有局部性：

  • 只考虑某个点的着色（shading），不考虑阴影（shadow）

漫反射

• 漫反射：光线被均匀地反射到各个方向

  • 公式：$L_d=k_d(I/r^2)max(0,n\cdot l)$
    • $k_d$：漫反射系数
      • =1， 完全不吸收，白色
      • =0，全部吸收，黑色
      • 可以用 $(r,g,b)$ 表示颜色
    • $I/r^2$：有多少光到达了这个点
    • $max(0,n\cdot l)$ ：有多少光被接受了
    • $v$ 的方向没有影响
      • 不管从哪个位置看，看到的颜色是完全一样的

• Q：如何确定接收到的光照强度？

  • Lambert’s cosine law

    • 光照强度： $cos\theta =l\cdot n$

    • 

    • 光的能量扩散

• 光的强度衰减规律

  • 

  • 考虑能量守恒

  • 假设在单位距离（=1）上的光强度为 $I$，离光源半径 $r$ 处的光强 $\frac{I}{r^2}$

高光

• 光滑的物体

  • 近乎镜面反射

• 强度依赖于看的方向

  • 当镜面反射与看的方向很接近的时候
  • 接近的程度用 点乘 来计算
  • 

• 

  • 用半程向量做近似
  • 用 $n$ 和 $h$ 的夹角 $⟺$ $R$ 和 $v$ 的夹角
  • $L_s=k_s(I/r^2)max(0,n\cdot h{)}^p$
    • 指数 $p$ 的用途
      • 一般取值 100-200
      • 

• 实际上允许使用视角向量v和镜面反射向量R的接近程度来计算高光，而这种计算方式就称为 Phong 模型，Phong模型与Bling-Phong模型产生的高光效果不一样，Bling-Phong产生的高光更加柔和。

环境光

• $L_a=k_a{I}_a$

着色频率（shading frequencies）

flat shading

• 逐个三角形着色（flat shading）
  • 平面着色是使用一个顶点颜色来代表整个三角面的颜色， 默认是使用索引中第一个顶点的颜色
  • 每个三角形面有一个法线向量（计算方法：两条边叉乘）
  • 缺点：不够平滑

gouraud shading

• 逐个顶点着色（gouraud shading）
  • 针对每个顶点计算，而后对每个顶点的结果颜色进行线性插值得到片元的颜色
  • 每个顶点有一个法线
  • 共有某个顶点的三角形，三角形的法线求平均作为这个顶点的法线

phong shading

• 逐个像素着色（phong shading）
  • phong shading - 指着色频率，区 分phong 反射模型

实时渲染管线

• shading 可能发生在 vertex 阶段，也可能发生在fragment 阶段
  • vertex 阶段：gouraud shading
  • fragment 阶段：phong shading

纹理贴图 texture

如何将纹理贴上

• 根据 $(u,v)$ 进行查询

解决一些问题

纹理太小

• 双线性插值 bilinear

  • 利用周围的四个点优化

• bicubic
  利用周围的16个点画图

纹理太大

• 远处产生摩尔纹，近处产生锯齿

• 原因：用一个点去替代多个点

• mipmap

  • 拿到一个纹理后，先提前处理好，生成mipmap

  • 给一个区域，可以立即知道这个区域的点的平均值

  • 允许范围查询（vs.点查询 ）

  • 特点：快、近似（不准）、正方形的范围查询

  • 每次减少到一半，原来的尺寸为 $N\times N$，总共计算 $\log N$ 次，到 $1\times 1$

  • 

  • 存储量是原来的 $\frac{4}{3}$，即增加了 $\frac{1}{3}$

• 各向异性过滤（各向同性：不同的方向上都一样）

  • 对 mipmap 优化

  • 可以查询矩形区域，而不完全是正方形区域

  • 

  • 问题：存储量是原来的3倍

环境光

• 在现代的GPU中，纹理 = 一块内存 + 在这块存储中可以进行范围查询
• 环境光 可以看作一种纹理
• 假设 - 环境光来自于无限远处

应用

凹凸贴图

• 给一个假的法线贴图（纹理）造成视觉上的凹凸不平的感觉
• 没有改变一个物体的几何物体形状
  • 视觉上，轮廓没有发生改变
  • 不同高度可能造成阴影，但是凹凸贴图没有

位移贴图

• 改变 三角形顶点的位置
• vs. 凹凸贴图：轮廓发生变化，会有阴影关系
• 重要：
  • 要求三角形足够细致，比纹理定义的频率高才可以

阴影

• 如何在光栅化的时候画阴影？

  • shadow mapping
  • 对应的结构 shadow map

• 在计算阴影的时候，不考虑场景的几何形状

• 核心思想：

  • 如果这个点不在阴影中，光源和相机都可以看到这个点

• 硬阴影（点光源） v.s. 软阴影

  • 

  • 软阴影（点光源有一定的大小）

    • 离物体近的地方，阴影比较硬
    • 离物体远的地方，阴影比较软

点光源

• 做法（两趟）：

  1. 从点光源看向场景（有个虚拟相机），记录下它能看到的点的深度（Z-buffer）
  2. 从实际位置（相机）去看场景，看到某个点，变换到点光源的相机位置，比较它在点光源的相机位置的深度

     • 

     • 如果深度一致，能被点光源看见

     • 如果深度不一致，点光源看不见这个点

• 存在一些问题

  • 计算机内部是浮点数，不准确（加入bias）
  • shadow map 有分辨率，可能是走样的，有锯齿
  • 两趟算法 开销大

5-几何

分类

隐式几何

• 点满足某些固定的关系（可以用公式表达）

• 缺点：

  • 很难直接判断某个点 $f(x)=0$
  • 很难画出复杂的模型

• 优点：

  • 给定某个点的坐标$(x,y,z)$ ，直接判断某个点在里面还是外面
  • 方便判断到表面的距离
  • 光线和表面求交点容易

• 组合几何

  • 交集
  • 并集
  • 差集

• 距离函数

  • 从任何一个地方到物体的最小距离（有正负）
  • $f(x)=0$
    • 如果没有办法表示出来，可以用 level set （水平集）表示，类似于等高线

显式几何

• 所有的点直接给出坐标，或者通过参数映射的方式全部写出
• $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3;(u,v)\mapsto (x,y,z)$
  • e.g. $f(u,v)=((2+\cos u)\cos v,(2+\cos u)\sin v,\sin u)$
    • 把所有的 u, v 遍历就可以得到所有的点
• 缺点：很难根据某个点的坐标$(x,y,z)$ ，直接判断某个点在里面还是外面

表示

• 点云

  • 点 $(x,y,z)$ 的列表
  • 优点：可以表达任何几何
  • 缺点：三维扫描，需要很大的存储空间

• polygon mesh

• .obj format

  • 点
  • 法线
  • 纹理坐标
  • 连接关系 $fv/vt/vn$

曲线

• 什么是贝塞尔曲线（Bezier Curve）？

  • 

  • 起点在 $p_0$ 终点在 $p_3$

• 为什么贝塞尔曲线是显式表示？

  • 参数 $t$ 是显示表示

• 如何画一条贝塞尔曲线？

  • de Casteljau Algorithm
  • 给定三个点

    • 

    • 

    • 

    • 

    • ${\mathbf{b}}_0^1(t)=(1-t){\mathbf{b}}_0+t{\mathbf{b}}_1$

    • ${\mathbf{b}}_1^1(t)=(1-t){\mathbf{b}}_1+t{\mathbf{b}}_2$

    • ${\mathbf{b}}_0^2(t)=(1-t){\mathbf{b}}_0^1+t{\mathbf{b}}_1^1$

    • 得到 ${\mathbf{b}}_0^2(t)=(1-t{)}^2{\mathbf{b}}_0+2t(1-t){\mathbf{b}}_1+t^2{\mathbf{b}}_2$

  • 四个点

    • 

    • 

• 数学证明

  • 四个点

    • 

  • 三个点

    • 

      • $t=0$ 时，在 $b_0$ 处
      • $t=1$时，在 $b_1$ 处
      • $1^2=[(1-t)+t{]}^2$ 的展开

  • $n$ 阶的贝塞尔曲线的公式

    • 

    • 三个点，$n=2$

    • 四个点，$n=3$

  • 不一定是平面内，可以是三维空间内的点

    • e.g. 点 ${\mathbf{b}}_0=(0,2,3),{\mathbf{b}}_1=(2,3,5),{\mathbf{b}}_2=(6,7,9),{\mathbf{b}}_3=(3,4,5)$ 代入公式 ${\mathbf{b}}^n(t)={\mathbf{b}}_0(1-t{)}^3+{\mathbf{b}}_{1}3t(1-t{)}^2+{\mathbf{b}}_{2}3t^2(1-t)+{\mathbf{b}}_3{t}^3$ 计算

• 性质

  • 仿射变换下，对曲线上的每个控制点进行仿射变换，再画贝塞尔曲线，和贝塞尔曲线直接进行仿射变换相同。但是，对投影来说不适用。
  • 凸包性质：贝塞尔曲线在控制点形成的凸包范围内

• 逐段的贝塞尔曲线

  • 每4个控制点定义一条贝塞尔曲线

  • 

  • Q：如何保证某个顶点上是光滑的？

  • A：在这点的两个控制点在同一水平线上，反向，等长

    • 

    • C0 连续：$a_n=b_0$

    • C1 连续：$a_n=b_0=\frac{1}{2}(a_{n-1}+b_1)$

• 基函数

• 样条

  • 一个由控制点控制的曲线

• B样条

  • 控制点的影响有限，能知道它影响的范围

曲面

• 把贝塞尔曲线用到曲面上

  • 

  • 4个点，有 $4\times 4=16$个控制点

  • 把4个点连起来，作为一个贝塞尔曲线

    • 

    • 两个控制时间的参数 $[t_1,t_2]$ 或者说是 $[u,v]$

      • 

• mesh 网格

  • 几何处理
    • mesh subdivison 增加三角形的数量，网格细分
    • mesh simplification（downsampling） 用更少的三角形去表示同一个模型，会有一些损失，但是不能丢失太多信息
    • mesh regularization 归一化，用的三角形大小都差不多

mesh subdivison

• 引入更多的三角形后

  • 平面更光滑

• loop subdivision

  • 

  • 两步

    • 先细分
    • 再调整

  • 把一个三角形分成四个三角形

    • 

  • 更新新的顶点位置

    • 更新白色的点：被共享的点
      • 

  • 更新旧的顶点位置

    • 更新白色的点

      • 

    • $(1-nu)\ast \text{原来的位置}+u\ast \text{邻居点的位置之和}$

      • $n$ 顶点的度

• Catmull-Clark Subdivision

• Loop Subdivision v.s. Catmull-Clark Subdivision

  • Loop Subdivision 只能用于三角形面的细分
  • Catmull-Clark Subdivision 多边形的细分

mesh simplification

• 层次结构的几何

  • v.s. 类似于 Mipmap（层次结构的图像）

• 在不同层次上，用不同的 mesh

• Q：如何计算？

• A：边坍缩（edge collapsing）

  • Q：如何坍缩？
  • A：Quadric Error Metrics（二次误差度量）

    • 

    • 把这点放在一个位置上，最小化二次误差（类似于L2）

      • 把这个点放在一个位置上，使得这个点到其它面的平方和最小
  • Q：选择哪些点？
  • A：用堆的数据结构，动态更新，每次取二次误差最小的点，更新后，再取二次误差最小的点
    • 不断在局部取最优解，是个贪心算法，逼近全局最优解

6-光线追踪

光栅化 v.s. 光线追踪

• 光栅化的局限性

  • 不能解决软阴影
  • 当光反弹超过一次的时候
    • Glossy reflection 反弹两次
    • indirection illumination 反弹多次

• 光栅化 v.s. 光线追踪

  • 光栅化：
    • 快速的近似，质量较低
    • 实时的渲染
  • 光线追踪：
    • 准确，非常慢，生成一桢需要大约 10K CPU时间
    • 离线的渲染

光线追踪基础

• 光线的三种假设

  1. 光线沿直线传播（实际上是光波）
  2. 光线相交时，不会相互碰撞
  3. 光线从光源出发，最终到达人眼
     • 光路可逆，视线形成到光源，仍然是有效的光路

• 光线追踪

  • 从眼睛往场景中的物体投射出一个光线（eye ray）
    • eye ray 考虑与场景中的物体最近的交点
  • 将这个点与光源相连，是否被光照到，是否在阴影中
    • 进行着色（用blinn phong model等）

• recursive（whitted-style） ray tracing

  • 弹射多次，是递归的算法

  • 反射

    • 

  • 折射

    • 

  • 着色同样发生了变化

    • 每个点会对这个点产生影响
    • 每个点的能量会发生损耗
    • 

求交点

• 为什么要求交点？

  • 渲染上
    • 可见性
    • 阴影
    • 光照
  • 几何上
    • 判断在内还是在外

• 光线的表达：$\mathbf{r}(t)=\mathbf{o}+t\mathbf{d}$, $0\le t<\inf$

光线与球求交

• 先考虑最简单的情况
  

光线与隐式表面

• 进一步考虑隐式几何的相交

解出：实数、正数

光线与三角形求交

• 分解为两步：

  • 三角形在某个平面上，先看光线是否和这个平面有交点
  • 判断这个点是否在三角形内

• 平面

  • 如何定义一个平面
    • 法线 $N$
    • 平面上一个点 $P^{\prime }$
  • 平面上任何一个点 $\mathbf{p}$ 如何表示
    • $\mathbf{p}:\left(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime }\right)\cdot \mathbf{N}=0$
    • $ax+by+cz+d=0$

• 如何一步求出光线和三角形的交点？

  • 

  • 重心坐标 $(1-b_1-b_2)$, $b_1$, $b_2$ 都是正的

光线和三角形表面如何求交？

• 方法一：
  • 逐个三角形和光线看是否有交点
  • 方法简单，但是很慢

用 AABB 加速

• AABB / uniform grid / spatial partitions 都是在光线追踪前的预处理

• 如何加速？

  • 包围盒体积
  • 如果光线和物体的包围盒没有交点，那么它和物体不会相交

• 一个长方体有 3 对面

  • Axis-Aligned Bounding Box(AABB)
  • 任何一个面都是沿着 x, y, 或者 z 轴

• 考虑 2 维的情况下，2对线

  • 

• 考虑光线与 AABB 点相交

  • 两个关键点
    • 一根光线进入盒子，当且仅当它进入了所有的对面（pairs of slabs）
    • 一根光线离开盒子，当且仅当它离开了任意一个对面（pairs of slabs）
  • 对每一对，计算 $t_{min}$ 和 $t_{max}$（可以是负值）
    • t e n t e r = m a x { t m i n } t_{enter}=max\{t_{min}\} tenter​=max{tmin​}
    • t e x i t = m i n { t m a x } t_{exit}=min\{t_{max}\} texit​=min{tmax​}
  • 如果 $t_{enter}<t_{exit}$ ，光线在盒子中停留了一段时间（即有交点）
  • 注意：还要判断 $t$ 是否是负数，来验证正确性！
    • 如果 $t_{exit}<0$ ，说明盒子在光线的背后，没有交点
    • 如果 $t_{exit}\ge 0$ 且 $t_{enter}$ ，光线的起点在盒子里，一定有交点！
  • 结论：
    • 光线和AABB有交点，当且仅当 $t_{enter}<t_{exit}$ && $t_{exit}\ge 0$

• Q：为什么选择AABB？而不是任意一个包围盒？

• A：计算会容易很多，计算量少很多。

  • 一般的平面相交 v.s. 沿着 x 轴的面相交
  • 

Uniform grids 均匀格子

• 预处理：

  1. 找到包围盒
  2. 画出格子
  3. 表面相交的地方涂黑
     

• 光线追踪：

  • 如果光线与格子有交点
    • 判断光线是否和格子里的物体相交
  • 如何判断光线下一步走到哪个格子？
    • 假设光线向着右上方走，下一步一定是在当前格子的上面或者右面

• 格子的数量

  • 格子太稀疏
    • 没有加速
  • 格子太密集
    • 效率变低
  • 启发式算法
    • 格子数量 = C $\times$ 物体数量（三维情况下，$C\approx 27$）

Spatial Partitions 空间划分

• 解决格子的问题

• 格子大小不同（不均匀地划分），在分布稀疏的地方用大格子，在分布密集的地方用小格子

  • 不同的划分方法

  • 

    • 八叉树：
      • 在二维空间是四叉树
        • 每次划分四块，直到某一块里面包含的物体很少，不再划分
      • 在三维空间是八叉树
    • KD 树：
      • 沿着某个轴砍一刀，分成上下两个块
      • 先水平划分，再竖直划分，交替
    • BSP 树
      • 每次选一个方向切分，不是横平竖直地划分

• KD 树

  • 这里省略了 1 2 3 的下一步划分

  • 

  • 数据结构

    • 中间节点存储
      • 划分的轴：x轴，y轴，z轴
      • 划分的位置：沿着轴的划分平面
      • 子节点（指向子节点的指针）
      • 内部节点不存储任何物体
    • 叶子节点
      • 物体列表

• 如何做？

  • 先看A，有交点，再判定A的两个子节点是否有交点

    • 

  • 假如到了叶子节点

    • 判断和物体是否有交点

• 缺点：

  • 建立 KD 树很难，很难判定一个三角形是否和AABB有交点
  • 一个物体可能在多个不同格子里

BVH

• 解决了 KD树 的问题

• Object Partitions & Bounding Volume Hierarchy (BVH)

• 从物体出发进行划分

  • 分成一堆，计算它的包围盒
  • 递归地把一个包围盒里的物体分成两个部分
    • 重新计算两个部分的包围盒

• 优点：

  • 一个物体在一个包围盒里

• 缺点：

  • 包围盒可能会相交

• 如何划分一个节点？

  • 每次选择一个维度来划分
  • 启发式算法1 ：每次都沿着最长的轴划分
  • 启发式算法2：找中位数那个物体的位置
    • 方法：找第 $\frac{n}{2}$ 个数，用快速划分算法，时间复杂度 $O(n)$
    • 结果：划分出来的三角形数量差不多，接近于平衡树
  • 终止条件：直到包含很少的元素（设定一个阈值）

• 如果加了一个新物体？

  • 需要重新从头开始预处理

• BVH的数据结构

  • 内部节点：
    • 包围盒
    • 子节点（指针）
  • 叶子结点
    • 包围盒
    • 物体列表

• 伪代码实现

  • 

总结: spatial vs. object partition

• 空间划分（e.g. KD树）
  • 划分成不重叠的区域
  • 一个物体可能包含在多个区域中
• 物体划分（e.g. BVH）
  • 把物体划分到不相交的集合
  • 每个集合的包围盒在空间上可能相交

辐射度量学 Basic radiometry

• 动机
  • blinning phong 着色过于简化
  • 辐射度量学：精确地描述光的强度
    • 度量方法和单位
    • 定义了光照的若干属性
      • radiant flux
      • intensity
      • irradiance
      • radiance

Radiant Energy and Flux(power)

• Radiant Energy
  • 定义：电磁辐射能量
  • 符号：$Q$
  • 单位：焦耳 Joule
• Radiant Flux（功 power）
  • 定义：单位时间 energy
  • 符号：$\Phi \equiv \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$
  • 单位：watt（热学） / lumen（光学）

Radiant Intensity

• Radiant Intensity
  • 定义：单位立体角上的 power
  • 符号：$I(\omega )\equiv \frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}\omega }$
  • 单位：cd = candela

• 球体的单位立体角
  • $d\omega =sin\theta d\theta d\varphi$

Irradiance

• Irradiance

  • 定义：power per unit area
  • 符号：$E(\mathbf{x})\equiv \frac{\mathrm{d}\Phi (\mathbf{x})}{\mathrm{d}A}$
  • 单位：lux

• 光线垂直于面的部分才被吸收

radiance

• radiance
  • 描述光线传播过程中的属性
  • 定义：power per unit solid angle, per projected unit area
    • = irradiance per solid angle
    • = intensity per projected unit area
  • 符号：$L(\mathrm{p},\omega )\equiv \frac{{\mathrm{d}}^2\Phi (\mathrm{p},\omega )}{\mathrm{d}\omega \mathrm{d}A\cos \theta }=\frac{\mathrm{d}E(\mathrm{p})}{\mathrm{d}\omega \cos \theta }=\frac{\mathrm{d}I(\mathrm{p},\omega )}{\mathrm{d}A\cos \theta }$
  • 单位：nit
  • 

BRDF

• Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF)
• 定义了不同的材质
• 反射方程

  • 

    • $f_r({\omega }_i\to {\omega }_r)$ 从 ${\omega }_i$ 到 ${\omega }_r$ 的能量

  • 

    • $H^2$ 指半球
    • 从四面八方到这一点的光求和

渲染方程 rendering equation

• $L_o\left(p,{\omega }_o\right)=L_e\left(p,{\omega }_o\right)+{\int }_{{\Omega }^{+}}{L}_i\left(p,{\omega }_i\right)f_r\left(p,{\omega }_i,{\omega }_o\right)\left(n\cdot {\omega }_i\right)\mathrm{d}{\omega }_i$

  • ${\Omega }^{+}$ 正半球
  • 假设所有的方向都是指向外面的

• 两部分组成：自己发出的光 + BRDF 反射别人的光

• 蒙特卡罗采样，进行近似计算

• 

• 

• 

  • 通过算子把渲染方程展开成递归项

• 光栅化

  • 只有光源自己的光照 + 直接光照（只弹射一次）

全局光照

• 直接 + 间接光照（包括了一次、两次……、N次的光照）

蒙特卡洛积分

概率论

• 

• 

• 概率密度函数（probability distribution function） PDF

• 解决什么问题？

  • 解决定积分（围的面积，一个数字）
    • 之前的解法，先解出不定积分，再相减，得到定积分
    • 不希望把解析式求出来，而是希望直接求得一个值

• vs. 黎曼积分：分成小的长方形，积起来

• 蒙特卡罗积分

  • 利用采样的方法
  • 基本的蒙特卡罗估算式子
    • 随机均匀地采样一个位置 $X_i\sim p(x)=\frac{1}{b-a}$（常数）
    • $F_N=\frac{b-a}{N}{\sum }_{i=1}^{N}f\left(X_i\right)$
  • 不是均匀的采样（即此时的 $p(X_i)\ne \frac{1}{b-a}$ ）
    • $\int f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N\frac{f\left(X_i\right)}{p\left(X_i\right)}{X}_i\sim p(x)$
    • 求平均
    • 重要：在 $x$ 上求积分，就在 $x$ 上采样

路径追踪 Path tracing

• whitted-style ray tracing

  • 只有镜面反射
  • 漫反射就停止反射

• 在全局光照环境下存在 color blending 现象

• whitted-style ray tracing 是错误的

• 渲染方程是正确的

  • 解决定积分，得到值 => 蒙特卡罗解
  • 解决递归问题

• 对于渲染方程： $L_o\left(p,{\omega }_o\right)={\int }_{{\Omega }^{+}}{L}_i\left(p,{\omega }_i\right)f_r\left(p,{\omega }_i,{\omega }_o\right)\left(n\cdot {\omega }_i\right)\mathrm{d}{\omega }_i$

  • 忽略自己发出的光强
  • 只考虑直接光照
    • 从方向 ${\omega }_i$ 过来
      • 如果是光源，就为光源的 $L_i(p,{\omega }_i)$
      • 否则就为 0
  • $\int f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N\frac{f\left(X_i\right)}{p\left(X_i\right)}{X}_i\sim p(x)$
    • $f(x)=L_i\left(p,{\omega }_i\right)f_r\left(p,{\omega }_i,{\omega }_o\right)\left(n\cdot {\omega }_i\right)$
    • $p\left({\omega }_i\right)=1/2\pi$，在半球上均匀采样（整个球的立体角是 $4\pi$，半球的立体角是 $2\pi$）
  • $L_o\left(p,{\omega }_o\right)\approx \frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N\frac{L_i\left(p,{\omega }_i\right)f_r\left(p,{\omega }_i,{\omega }_o\right)\left(n\cdot {\omega }_i\right)}{pdf\left({\omega }_i\right)}$
  • 伪代码
    • 

• （进一步优化）如果考虑间接光照

  • 

  • Q 点反射到 P 点的光照 = 在 P 点看 Q 点（把Q点当成光源）的直接光照

  • 伪代码（递归求 shade(q, -wi) ）

    • 

  • 存在的问题：

    1. 光线数量大，运算量大，指数级爆炸

       • 

       • 解决的伪代码

         • 当 $N=1$ 的时候，就不会爆炸啦！ 就是 path tracing！（当 $N\ne 1$ 的时候，是 distributed path tracing）

         • （优化）去除 For 循环

         • 

         • 可以用到达某个 pixel 的足够多的 path 去对 radiance 求平均

         • 

    2. 递归没有结束条件

       • 不能直接cut反射数量，不然能量也被cut了
       • 解决方法：
         • 俄罗斯轮盘赌（RR），以一定概率停下来。
         • 设置一个概率$P$
           • 以 $P$ 的概率渲染 $\frac{L_o}{P}$
           • 以$1-P$的概率，不发出射线，得到0
         • 最终期望值 $E=P\ast (Lo/P)+(1-P)\ast 0=Lo$
           • 

• 效率不高

  • SPP，samples per pixel（发出path的个数）
    • SPP 低，效果差
    • SPP 搞，效果好，但是效率低
  • 原因：均匀向四面八方采样，很多光线打不到光源，被浪费掉了
  • 解决方法：选择一个合理的 pdf，不再是均匀向四面八方采样，而是在光源上均匀采样
    • 在光源上采样，把渲染方程从对 $\omega$ 采样改成对光源采样
    • 写出 $d\omega$ 和 $dA$ 的关系：$d\omega =\frac{dA\cos {\theta }^{\prime }}{{\Vert x^{\prime }-x\Vert }^2}$ ，将 $dA$ 的法线朝向 $d\omega$
    • 

• 某一点收到的 radiance 来源于两部分

  • from the light source（不需要俄罗斯轮盘赌）
  • from other reflectors（需要俄罗斯轮盘赌）
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• （最后一步优化）如果某个点到光线的采样被 block 了

  • contribution from the light source
    • 再加两行
    • 

• 一些问题

  • 点光源处理：当作一个小的面光源