目录

2.1几何学

2.1.1坐标系

旋转矢量

四元数

用四元数描述旋转

四元数到旋转矩阵和旋转矢量的转换

2.1.2李群与李代数

2.1.2SO(3)上的BCH线性近似式

2.2运动学

2.2.1李群视角下的运动学

2.2.2四元数视角下的运动学

2.2.3四元数的李代数与旋转矢量

2.2.4其他几种运动学表达方式

2.2.5线速度与加速度

2.2.6扰动模型与雅可比矩阵

---

2.1几何学

2.1.1坐标系

        假设世界上存在一个固定不动的坐标系，称为世界坐标系或者惯性坐标系。车辆在世界坐标系中运动时，车辆自身的坐标系与世界坐标系之间的变换关系，而这种变换关系可以定义为车辆的线速度、角速度、加速度等物理量。车辆的姿态通常由旋转矩阵或者四元数描述。

        一个三维坐标系由空间中三个长度为1且正交的矢量构成。例如取一个坐标系E={,,}那么任意一个三维空间向量a可用以下公式来表示：

       a=

那么（,,）就是向量a的坐标。即使没有指定参考系和坐标，向量之间也可以进行各种各样的运算，例如，加减运算，数乘，取模，取内积，取外积。此处重点介绍取内积，取外积。

1.取内积。可以计算两个向量的内积，结果为它们的模积乘夹角的余弦值，为一个标量。

2.取外积。两个向量的外积也是一个向量，其方向垂直于两个向量，长度为向量长度之积乘其夹角的正弦值。设向量a,b的坐标定义在系下，那么外积写成

        假设世界坐标系下的某个点坐标为，它在车辆本体坐标系下的坐标为，那么定义旋转矩阵和平移向量，满足：

也可将直接写成变换矩阵，则：

        一个旋转矩阵也可以转换为四元数或者旋转矢量来表示。

旋转矢量

        旋转矢量也称为角轴， 因此旋转矢量也可以用来表达角速度。记一个旋转矢量,且可以按方向和大小分解为，那么旋转矢量到旋转矩阵的转换关系，可以由罗德里格斯公式来描述：

四元数

        三维旋转也可以由单位四元数来描述。四元数由一个实部和三个虚部构成。

        也可以将三个虚部元素记为虚部的矢量，那么四元数可以由标量部分和矢量部分构成

其运算法则仍是遵循向量的计算法则。

用四元数描述旋转

        假设有一个空间三维点,以及一个由单位四元数指定的旋转。那么旋转后的可以表示为：

四元数到旋转矩阵和旋转矢量的转换

        从四元数到旋转矩阵的变换关系:

        从四元数到旋转矢量的变换关系:

2.1.2李群与李代数

2.1.2SO(3)上的BCH线性近似式

2.2运动学

2.2.1李群视角下的运动学

2.2.2四元数视角下的运动学

2.2.3四元数的李代数与旋转矢量

2.2.4其他几种运动学表达方式

2.2.5线速度与加速度

        假设坐标系1和2。某向量在两个该坐标系下的坐标分别是和，显然他们之间满足，当时间变换时对求导可得：

由此可将其转为对两个坐标系下的速度矢量变换的讨论。对时间继续求导可得：

2.2.6扰动模型与雅可比矩阵

        如果在李群上左乘或右乘增量(无论是用旋转矩阵表示，还是用四元数表示)，则其对应的李代数上就会存在一个对应的增量，而这两个增量之间，由于 BCH 公式的存在，在一阶线性近似意义下，会存在一个雅可比矩阵。

ps：2.1.2和2.1.3真是难到我了，应该会用就行吧，俺看不明白，好抽象，2.2整个章节都让我梦回机器人学，等我彻底理解了再更新吧