1.前言

前面一篇文章讲了计算机中的数字表示法：原码、补码和反码，这一篇文章开始进行定点数的讲解。

2.什么是定点数

定点数，从字面意思上理解就是小数点位置固定，如下图所示：

数字既包括整数，又包括小数，而小数的精度范围要比整数大得多，所以如果我们想在计算机中，既能表示整数，也能表示小数，关键就在于这个小数点如何表示？

于是人们想出一种方法，即约定计算机中小数点的位置，且这个位置固定不变，小数点前、后的数字，分别用二进制表示，然后组合起来就可以把这个数字在计算机中存储起来，这种表示方式叫做「定点」表示法，用这种方法表示的数字叫做「定点数」。

3.定点数如何去表示数字

定点数如果要表示整数或小数，分为以下三种情况：

1.纯整数：例如整数88，小数点其实在最后一位，所以忽略不写
2.纯小数：例如：0.1234，小数点固定在最高位
3.整数+小数：例如1.23、10.24，小数点在指定某个位置

对于纯整数和纯小数，小数点固定在最低位和最高位，只需要把整数部分、小数部分，分别按照十进制转二进制的规则，分别转换即可。下面以8bit为例：

纯整数定点数表示(从右到左，第N位二进制为$2^{N-1}$)：
$$88_{(D)}=01011000_{(B)}‬$$
纯小数定点数表示(从左到右，第N位二进制为$1/2^N$)：
$$0.625_{(D)}=0.500_{(D)}+0.125_{(D)}=0.00100000_{(B)}+‬0.10000000_{(B)}=0.10100000_{(B)}$$
可以看到表示小数的时候并能够全精度的表示一切数值，8bit纯小数定点数的精度只到$1/2^8$，超过精度外的数字需要进行舍取。

定点数表示整数+小数:

而对于整数 + 小数的情况，用定点表示时，需要约定小数点的位置，才能在计算机中表示。以 8 位为例，我们约定从高位开始，1位符号位，4位整数位，后3位表示小数部分。

对于数字 -1.5 用定点数表示就是这样：

首先表示数字正的1.5，即原码：
$$1.5_{(D)}=00001100_{(B)}$$
符号位不变，其余各位取反，+1得：
$$01110011_{(B)}+1=01110100_{(B)}$$
然后对于负数，符号位填充为"1"得数字 -1.5 用定点数表示：
$$-1.5_{(D)}=11110100_{(B)}$$

表示步骤如下：

1.在有限的 bit 宽度下，先约定小数点的位置，一般取高位为符号位
2.先不管符号，整数部分和小数部分，分别转换为二进制表示
3.对于正数，两部分二进制组合起来，即是结果
4.对于负数，除符号位进行取反，然后+1，符号位填充"1"

4.定点数表示法的局限性

前面我们约定从高位开始，1位符号位，4位整数位，后3位表示小数部分。这样做，整数部分的二进制最大值只能是 1111，即十进制的 15，加上符号只能表示-16~+15，小数部分的二进制最大只能表示 0.111，即十进制的 0.875。

如果我们想要表示更大范围的值，怎么办？

1.扩大 bit 的宽度：例如使用 2 个字节、4 个字节，这样整数部分和小数部分宽度增加，表示范围也就变大了
2.改变小数点的位置：小数点向后移动，整个数字范围就会扩大，但是小数部分的精度就会越来越低，没有办法表示类似 0.00001 这种高精度的值

由此我们发现，不管如何约定小数点的位置，都会存在以下问题:

1.数值的表示范围有限（小数点越靠左，整个数值范围越小）
2.数值的精度范围有限（小数点越靠右，数值精度越低）

所以，定点表示法的主要问题是它不能有效地表示非常大或非常小的数。为了解决这个问题，人们发明了浮点表示法，其中小数点的位置是浮动的，可以根据需要移动以表示不同大小的数。下一篇文章来讲浮点数。

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