《Advances in physics-informed neural networks for solving complex partial differential equations and their engineering applications: A systematic review》的综述论文，由四川大学的研究团队撰写，系统地梳理了物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs） 在求解复杂偏微分方程（PDEs）及其工程应用中的最新进展。

一、研究背景与动机

传统数值方法（如有限元法、有限差分法）在处理高维、非线性、多尺度、复杂边界条件的PDEs时，面临计算效率低、维度灾难、网格依赖等问题。

PINNs 通过将物理定律（PDEs）嵌入神经网络的损失函数中，实现了无网格、物理一致、数据高效的求解方式，成为解决复杂PDEs的有力工具。

二、PINN的基本框架与技术组成

1. 核心思想
   使用多层感知机（MLP） 近似PDE解；

将PDE残差、初始条件、边界条件作为损失函数的一部分；
通过自动微分（AD） 计算导数，实现物理约束的嵌入。

2. 典型框架

前向问题：已知方程、参数，求解场变量；
逆问题：从观测数据中推断未知参数；
不确定性量化：如贝叶斯PINN（B-PINN），通过概率分布量化预测不确定性。

3. 开源工具
   如 DeepXDE、SciANN、PyDEns 等，降低了PINN的实现门槛。

三、PINN的优化与架构创新

1. 超参数优化
   网络结构（层数、神经元数）、激活函数（如tanh, ReLU, Swish, SIREN）；

优化器（Adam, L-BFGS, AdaHessian）；

自适应激活函数（如LAAF）提升收敛性。

2. 采样策略
   固定采样（网格、随机、LHS等）；

残差自适应采样（如RAD、RARD）聚焦高残差区域，提升精度。

3. 损失函数设计
   引入守恒律、对称性、熵条件等物理约束；

动态权重调整（如SA-PINN、LAN）平衡多目标优化。

4. 自动微分的替代策略
   对高维、高阶、分数阶PDEs，使用数值积分（如Runge-Kutta） 或符号替代（如opPINN）降低计算负担。

5. 网络架构创新
   结合LSTM、CNN、GAN、Meta-learning、Transfer Learning、DeepONet等；

域分解方法（如cPINN、XPINN、PPINN）提升并行计算能力。

四、针对复杂PDE问题的应对策略

PDE类型 挑战 PINN应对策略

1. 高度非线性 梯度失衡、多尺度耦合 自适应权重、关键区域采样、引入人工粘性
2. 多尺度PDEs 高频成分难以学习 傅里叶特征嵌入、分治学习、迁移学习
   3)随机PDEs 高维随机性 GANs、VAEs、贝叶斯推断
3. 复杂边界/几何 边界拟合困难 硬约束（ADF）、弱约束（Nitsche方法）、变分法
4. 时间依赖PDEs 长期误差累积 时域分解、LSTM、频域滤波

五、工程应用领域

文中系统梳理了PINN在以下六大领域的应用：

空间科学与量子力学

黑洞QNMs分析、空间碎片轨迹预测、薛定谔方程求解、量子材料设计。

材料科学与制造

材料性能预测、拓扑优化、疲劳寿命预测、缺陷检测。

流体力学

高雷诺数流动、湍流模拟（RANS/LES）、流场重建、气动优化。

能源系统

电池寿命预测、智能电网频率建模、核反应堆安全分析。

生物与环境科学

血液动力学、肿瘤生长、COVID-19传播、污染物扩散、气候变化建模。

电力与信息技术

电力系统动态建模、物联网安全、软体机器人变形模拟。

六、当前挑战与未来方向

主要挑战：

泛化能力差：对未训练区域或参数外推能力弱；

训练效率低：相比传统数值方法，训练时间长；

多目标优化冲突：数据拟合与物理约束难以平衡；

求解精度有限：尤其在高频、刚性、混沌系统中表现不佳。

未来发展方向：

迁移学习与元学习：提升跨任务泛化能力；

量子计算与专用硬件（TPU）：加速训练；

域分解与并行计算：提升大规模问题求解效率；

自适应损失与动态采样：提升精度与鲁棒性；

物理嵌入的生成模型：如VAE、GAN，用于不确定性建模。

七、结论

该综述认为，PINNs 作为一种物理约束驱动的深度学习方法，在求解传统方法难以处理的复杂PDEs方面展现出巨大潜力。尽管目前仍存在训练效率、泛化能力、精度等方面的挑战，但通过架构创新、优化策略、物理嵌入等手段，PINNs 有望成为工程与科学计算中的重要工具。