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前言

记录一下阻抗控制和导纳控制，阻抗控制（Impedance Control）和导纳控制（Admittance Control）是机器人力控制领域中两种最常用的方法。这两种方法的核心思想都是通过构造一个虚拟的质量—阻尼—弹簧系统（Mass–Spring–Damper System），来描述机器人末端运动与接触力之间的动态关系，使机器人在与环境交互时表现出期望的力学特性。

$$导纳控制图$$

$$阻抗控制图$$

阻抗控制

阻抗模型

机械阻抗的定义为
$$Z(s)=\frac{F(s)}{V(s)}$$
即输入运动，输出力。典型的阻抗动力学模型为
$$F=M\ddot{x}+B\dot{x}+Kx$$
考虑期望轨迹与期望接触力时，可以写为
$$F_e-F_d=M(\ddot{x}-{\ddot{x}}_d)+B(\dot{x}-{\dot{x}}_d)+K(x-x_d)$$
即
$$F=F_d+M(\ddot{x}-{\ddot{x}}_d)+B(\dot{x}-{\dot{x}}_d)+K(x-x_d)$$
阻抗控制得到的力指令$F$直接发送给电流/力矩环，使得机器人与外界接触力F_e为指令F.

力/力矩控制

阻抗控制得到的力指令 $F$ 需要进一步转换为关节空间的力矩指令，然后由底层的电流/力矩控制环执行。设机械臂末端力与关节力矩之间的关系为
$$\tau =J^T(q)F$$
其中 $J(q)$ 为机械臂在关节位姿 $q$ 处的雅可比矩阵，$\tau$ 为关节力矩向量。由此可得到期望关节力矩
$$\tau =J^T(q)F$$
机械臂在力矩驱动下满足其动力学方程
$$M(q)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+g(q)=\tau +{\tau }_{ext}$$
其中

• $M(q)$ 为惯性矩阵
• $C(q,\dot{q})$为科氏力和离心力项
• $g(q)$ 为重力项
• ${\tau }_{ext}$为环境作用在机械臂上的外部力矩

当末端执行器与环境发生接触时，环境会产生接触力 $F_e$，该力通过雅可比矩阵传递到关节空间形成外部力矩
$${\tau }_{ext}=J^T(q)F_e$$
$F$是指令接触力，$F_e$是实际接触力，如果我们假设其相等，则我们的机器人实现了
当末端位置偏离期望轨迹时，控制器会产生相应的作用力，使机器人逐渐恢复到期望轨迹附近，从而实现柔顺的接触行为。
$$F_e-F_d=M(\ddot{x}-{\ddot{x}}_d)+B(\dot{x}-{\dot{x}}_d)+K(x-x_d)$$
总的来说，阻抗控制就是当机器人偏离期望轨迹时，我们控制它的末端接触力。末端接触力和运动轨迹偏离量的关系，符合阻抗模型。

导纳控制

导纳模型

机械导纳的定义为
$$Y(s)=\frac{V(s)}{F(s)}$$
即输入力，输出运动。典型的导纳动力学模型为
$$M\ddot{x}+B\dot{x}+Kx=F$$

考虑期望轨迹与期望接触力时，可以写为
$$M(\ddot{x}-{\ddot{x}}_d)+B(\dot{x}-{\dot{x}}_d)+K(x-x_d)=F_e-F_d$$
即
$$M(\ddot{x}-{\ddot{x}}_d)+B(\dot{x}-{\dot{x}}_d)+K(x-x_d)=F_e-F_d$$
其中：

• $x$ 为导纳模型输出的指令位置
• $x_d$ 为期望位置
• $F_e$ 为实际接触力
• $F_d$ 为期望接触力

$$\ddot{x}={\ddot{x}}_d+\frac{1}{M}\left(F_e-F_d-B(\dot{x}-{\dot{x}}_d)-K(x-x_d)\right)$$
$$\dot{x}(t)=\int \ddot{x}(t)dt$$
$$x(t)=\int \dot{x}(t)dt$$
导纳控制以接触力误差 $F_e-F_d$ 作为输入，通过导纳模型生成位置指令 $x$。当实际接触力偏离期望接触力时，导纳模型通过调整位置指令来修正机器人的运动。

位置控制

导纳控制得到的位置指令 $x$ 需要进一步转换为关节空间的位置指令，然后由位置控制环执行。
$$q=IK(x)$$
其中 $ IK$ 为机械臂逆运动，q为关节位置指令（我们也可以通过逆雅各比通过末端速度指令计算关节速度指令）。位置控制环我们掠过不讲了，最终得到了机器人实际位置$x_e$。

$x$是指令位置，$x_e$是实际位置，如果我们假设其相等，则我们的机器人实现了
当末端力偏离期望力时，控制器会产生相应的位移，使机器人逐渐恢复到期望接触力附件，从而实现柔顺的接触行为。
$$M(\ddot{x}-{\ddot{x}}_d)+B(\dot{x}-{\dot{x}}_d)+K(x-x_d)=F_e-F_d$$
总的来说，导纳控制就是当机器人偏离期望力时，我们控制它的末端运动。末端接触力和运动轨迹偏离量的关系，符合阻抗模型。

对比与总结

阻抗控制与导纳控制的核心区别在于系统输入与输出关系不同。

阻抗模型描述的是 运动到力的关系：
$$F=M\ddot{x}+B\dot{x}+Kx$$

导纳模型描述的是 力到运动的关系：
$$M\ddot{x}+B\dot{x}+Kx=F$$

在机器人控制系统中，两种控制方法的实现方式也有所不同。

阻抗控制中，控制器根据末端位置与期望轨迹之间的偏差，通过阻抗模型计算得到期望接触力 $F$，再通过雅可比矩阵转换为关节力矩并发送至电流/力矩控制环，从而直接调节机器人与环境之间的交互力。因此阻抗控制的本质是：

通过调节末端接触力来修正机器人运动。

导纳控制中，控制器首先测量机器人末端的实际接触力 $F_e$，并与期望接触力 $F_d$ 进行比较，通过导纳模型计算得到新的末端位置指令 $x$，再通过逆运动学转换为关节空间位置指令并发送至位置控制环，从而通过改变机器人运动来调节接触力。因此导纳控制的本质是：

通过调节末端运动来修正机器人接触力。

两种控制方法的主要区别可以总结如下：

控制方式	输入	输出	控制接口
阻抗控制	运动偏差	力/力矩	力矩控制
导纳控制	力偏差	位置/速度	位置控制

因此，在具有力矩控制接口的机器人（如力矩控制机械臂）中，通常采用阻抗控制；而在大多数工业机器人仅提供位置控制接口的情况下，导纳控制更容易实现。

总体而言，阻抗控制和导纳控制本质上都是通过构造一个 虚拟质量–阻尼–弹簧系统（Mass–Spring–Damper system） 来描述机器人与环境之间的动态关系，使机器人在与环境接触时表现出期望的柔顺特性。