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🔥 内容介绍

一、引言

同步定位与地图构建（SLAM）是自主移动机器人、自动驾驶、增强现实（AR）等领域的核心支撑技术，其核心目标是让载体在未知环境中实时获取自身位姿并构建环境地图。在SLAM系统中，位姿估计的精度直接决定了地图构建的可靠性和载体运动控制的准确性。然而，实际应用场景中，传感器测量噪声、环境光照变化、遮挡等因素，都会导致位姿估计误差累积，影响SLAM系统的稳定性。

AprilTag作为一种高精度视觉 fiducial 标记，凭借其鲁棒的角点检测能力和低成本优势，被广泛应用于SLAM位姿估计中。通过相机拍摄AprilTag图像，提取角点像素坐标，可实现载体与标签之间的相对位姿解算。但从系统状态（标签位姿）到测量值（AprilTag角点像素坐标）的映射过程存在显著的非线性特性，传统线性滤波方法难以精准建模这种非线性关系，导致位姿估计精度下降。

基于卡尔曼滤波的非线性测量模型，为解决上述问题提供了有效方案。该方案通过构建非线性测量方程，精准描述标签位姿到AprilTag角点像素坐标的映射关系，结合扩展卡尔曼滤波（EKF）或无迹卡尔曼滤波（UKF）等非线性滤波方法，实现对标签位姿的精准估计，进而提升SLAM系统的定位精度和稳定性。深入研究该技术，对于推动SLAM在低成本视觉系统中的应用具有重要的现实意义和工程价值。

二、SLAM与AprilTag位姿估计基础理论

（一）SLAM系统核心需求与位姿估计约束

SLAM系统的核心需求是在无先验环境信息的情况下，实现载体的实时自主定位与环境地图构建，其位姿估计需满足“实时性、高精度、鲁棒性”三大核心约束。不同应用场景对约束的优先级存在差异：在自动驾驶场景中，需毫秒级完成位姿估计，同时保证厘米级精度，以保障行驶安全；在室内服务机器人场景中，需适应光照变化、家具遮挡等复杂环境，确保位姿估计的鲁棒性；在AR场景中，需实现位姿的平滑输出，避免虚拟场景与真实环境出现错位。

位姿估计是SLAM系统的核心模块，其本质是通过传感器测量数据解算载体在世界坐标系中的位置（x, y, z）和姿态（滚转角roll、俯仰角pitch、偏航角yaw）。在视觉SLAM中，常用的位姿估计方法包括特征点匹配法、标记点检测法等。AprilTag标记点检测法通过预先定义的二维标记图案，可快速提取角点特征并计算相对位姿，具有鲁棒性强、计算量小的优势，尤其适用于室内等结构化环境。

（二）AprilTag角点检测与位姿解算原理

AprilTag是一种由黑白方块组成的二维基准标记，每个标记都有唯一的编码信息，可实现快速识别与区分。其角点检测过程主要包括图像预处理、标记识别、角点提取三个步骤：首先对相机拍摄的图像进行灰度化、二值化处理，增强标记与背景的对比度；然后通过轮廓检测和编码匹配，识别出图像中的AprilTag标记；最后采用亚像素级角点检测算法（如Shi-Tomasi算法、Harris算法），精准提取标记的四个顶点（角点）的像素坐标。

AprilTag位姿解算的核心是通过相机成像模型，建立标签角点的世界坐标与像素坐标之间的映射关系。相机成像模型通常采用针孔相机模型，其核心参数包括内参（焦距f_x, f_y、主点坐标c_x, c_y）和外参（相机相对于世界坐标系的旋转矩阵R和平移向量t）。位姿解算本质是通过已知的AprilTag角点世界坐标和检测到的像素坐标，求解相机与标签之间的相对位姿（即外参），而标签位姿可通过相机位姿和相对位姿进一步推导得到。

（三）传统位姿估计方法的局限性

传统AprilTag位姿估计方法多基于线性化建模或直接最小二乘求解，存在明显局限性：一方面，从标签位姿到角点像素坐标的映射过程涉及旋转、投影等非线性变换，传统线性化建模会引入近似误差，尤其在大视角、远距离拍摄场景下，误差会显著增大；另一方面，直接最小二乘方法对测量噪声敏感，当图像存在噪声、光照干扰导致角点提取误差时，位姿解算结果会出现较大偏差，且难以实现实时动态修正。

卡尔曼滤波作为一种最优估计方法，可通过“预测-更新”迭代过程平滑测量噪声，提升估计结果的稳定性。但标准卡尔曼滤波仅适用于线性系统，无法直接处理标签位姿到角点像素坐标的非线性映射关系。因此，构建适配该非线性关系的测量模型，并结合非线性卡尔曼滤波方法，成为提升SLAM系统位姿估计精度的关键。

三、核心技术原理详解

（一）卡尔曼滤波基础与非线性扩展方法

卡尔曼滤波的核心思想是通过建立系统的状态方程和观测方程，利用前一时刻的状态估计值预测当前时刻的状态，再结合当前时刻的观测数据对预测值进行修正，得到当前时刻的最优状态估计。其本质是一种线性无偏最小方差估计方法，适用于满足高斯噪声假设的线性动态系统，核心迭代过程包括预测和更新两个步骤。

针对SLAM中位姿估计的非线性问题，常用的卡尔曼滤波扩展方法包括扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）。EKF通过对非线性模型在当前状态估计值处进行一阶泰勒展开，将非线性系统近似为线性系统，再应用标准卡尔曼滤波进行估计；UKF则通过选取一组确定性采样点（Sigma点），通过非线性模型传播后计算统计特性，避免了对非线性模型的线性化近似，在非线性较强的场景下具有更高的估计精度。

（二）非线性测量模型构建——从标签位姿到AprilTag角点像素坐标

基于卡尔曼滤波的非线性测量模型构建的核心，是精准描述系统状态（标签位姿）到测量值（AprilTag角点像素坐标）的非线性映射关系。具体构建过程包括状态向量定义、测量向量定义、非线性测量方程建立三个关键步骤：

1. 状态向量定义：选取标签在世界坐标系中的位姿作为系统状态向量X，包括位置参数（x, y, z）和姿态参数（roll, pitch, yaw）。为便于计算，姿态参数通常采用四元数（q_0, q_1, q_2, q_3）表示（避免欧拉角奇异问题），因此状态向量可表示为X = [x, y, z, q_0, q_1, q_2, q_3]^T。

2. 测量向量定义：选取相机拍摄到的AprilTag四个角点的像素坐标作为测量向量Z。每个角点的像素坐标包括u（水平方向）和v（垂直方向）两个分量，因此测量向量可表示为Z = [u_1, v_1, u_2, v_2, u_3, v_3, u_4, v_4]^T，其中（u_i, v_i）为第i个角点的像素坐标。

3. 非线性测量方程建立：结合针孔相机模型，建立状态向量X与测量向量Z之间的非线性映射关系，即Z = h(X) + v，其中h(·)为非线性测量函数，v为测量噪声（服从高斯分布，协方差矩阵为R）。非线性测量函数h(·)的具体推导过程如下：

   1. 将AprilTag角点的世界坐标P_w转换为相机坐标系下的坐标P_c。根据位姿变换原理，P_c = R × (P_w - T)，其中R为标签相对于世界坐标系的旋转矩阵（由四元数转换得到），T为标签相对于世界坐标系的平移向量（即状态向量中的x, y, z）。

   2. 将相机坐标系下的三维坐标P_c通过针孔相机模型投影为图像平面的像素坐标（u, v）。根据针孔相机成像原理，投影公式为：u = f_x × (X_c / Z_c) + c_x，v = f_y × (Y_c / Z_c) + c_y，其中（X_c, Y_c, Z_c）为P_c的坐标分量，f_x, f_y为相机焦距，c_x, c_y为主点坐标（相机内参，预先通过标定得到）。

   3. 对AprilTag的四个角点分别执行上述坐标转换和投影过程，即可得到测量向量Z与状态向量X之间的非线性函数关系Z = h(X)。

（三）基于EKF的非线性测量模型求解流程

由于构建的测量模型具有非线性特性，采用扩展卡尔曼滤波（EKF）进行求解，核心流程包括初始化、预测、线性化、更新四个步骤，具体如下：

1. 初始化：设定初始状态估计值X̂₀⁺（如标签初始位姿的先验估计）和初始后验协方差矩阵P₀⁺；预先标定相机内参（f_x, f_y, c_x, c_y），确定测量噪声协方差矩阵R和系统噪声协方差矩阵Q。

2. 预测步骤：基于系统状态方程，预测当前时刻的先验状态估计值X̂ₖ⁻和先验协方差矩阵Pₖ⁻。由于标签位姿在短时间内可近似为匀速运动，系统状态方程可采用匀速运动模型：Xₖ = A × Xₖ₋₁ + w，其中A为状态转移矩阵，w为系统噪声（服从高斯分布，协方差矩阵为Q）。预测公式为：X̂ₖ⁻ = A × X̂ₖ₋₁⁺，Pₖ⁻ = A × Pₖ₋₁⁺ × Aᵀ + Q。

3. 线性化处理：对非线性测量函数h(·)在当前先验状态估计值X̂ₖ⁻处进行一阶泰勒展开，得到线性化后的测量矩阵Hₖ（即h(·)在X̂ₖ⁻处的雅可比矩阵）。雅可比矩阵Hₖ的维度为8×7（测量向量维度为8，状态向量维度为7），其元素为测量函数h(·)各分量对状态向量各分量的偏导数。

4. 更新步骤：结合线性化后的测量模型，计算卡尔曼增益Kₖ，并用相机检测到的AprilTag角点像素坐标（测量值Zₖ）修正先验状态估计值，得到后验状态估计值X̂ₖ⁺和后验协方差矩阵Pₖ⁺。具体公式为：Kₖ = Pₖ⁻ × Hₖᵀ × (Hₖ × Pₖ⁻ × Hₖᵀ + R)⁻¹，X̂ₖ⁺ = X̂ₖ⁻ + Kₖ × (Zₖ - h(X̂ₖ⁻))，Pₖ⁺ = (I - Kₖ × Hₖ) × Pₖ⁻，其中I为单位矩阵。

通过上述迭代过程，可实现对标签位姿的实时动态估计，同时利用卡尔曼滤波的最优估计特性，平滑测量噪声带来的误差，提升位姿估计的精度和稳定性。

⛳️ 运行结果

📣 部分代码

function tests = test_state_transition

tests = functiontests(localfunctions);

end

%% Test if body states are updated correctly in the case of a purely linear motion

% TODO: Description of the test scenario

function testPureLinMvmtBodyStates(testCase)

end

%% Test if body states are updated correctly in the case of a purely rotational motion

% TODO: Description of the test scenario

function testPureRotMvmtBodyStates(testCase)

end

%% Test for pure

🔗 参考文献

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