在 Mathematica 中，可以使用 FindFit 或 NonlinearModelFit 函数来实现数据的曲线拟合。

X	Y
11	5
60	81
14	28
50	80
51	45
36	93
30	65
96	86

1. 准备数据

首先，将数据点输入为一个列表：

data = {{11, 5}, {60, 81}, {14, 28}, {50, 80}, {51, 45}, {36, 93}, {30, 65}, {96, 86}};

2. 选择拟合模型

假设想拟合一个线性模型（一次多项式）：
$y=ax+b$

或者更高阶的多项式，例如二次多项式：
$y=a{x}^2+bx+c$

或者其他非线性模型，如指数模型：
$y=a{x}^{bx}+c$

这里以 二次多项式拟合 为例。

3. 使用 FindFit 进行拟合

model = a x^2 + b x + c;  (* 定义模型 *)
fit = FindFit[data, model, {a, b, c}, x]  (* 进行拟合 *)

输出结果类似：

{a -> 0.012, b -> 1.23, c -> -10.5}

4. 使用 NonlinearModelFit（推荐，可获取更多统计信息）

nlm = NonlinearModelFit[data, model, {a, b, c}, x];
nlm["BestFitParameters"]  (* 查看拟合参数 *)

输出示例：

{a -> 0.012, b -> 1.23, c -> -10.5}

5. 绘制数据和拟合曲线

Show[
 ListPlot[data, PlotStyle -> Red],  (* 绘制原始数据点 *)
 Plot[nlm[x], {x, 0, 100}, PlotStyle -> Blue],  (* 绘制拟合曲线 *)
 Frame -> True, Axes -> False
]

6. 检查拟合优度（可选）

nlm["RSquared"]  (* R²值，越接近1拟合越好 *)
nlm["AdjustedRSquared"]  (* 调整后的R² *)

完整代码示例

data = {{11, 5}, {60, 81}, {14, 28}, {50, 80}, {51, 45}, {36, 93}, {30, 65}, {96, 86}};
model = a x^2 + b x + c;
nlm = NonlinearModelFit[data, model, {a, b, c}, x];
fitParams = nlm["BestFitParameters"]
Show[
 ListPlot[data, PlotStyle -> Red],
 Plot[nlm[x], {x, 0, 100}, PlotStyle -> Blue],
 Frame -> True, Axes -> False
]

其他模型示例

• 线性拟合：model = a x + b
• 指数拟合：model = a Exp[b x] + c
• 自定义非线性模型：直接替换 model 表达式即可。

如果需要更复杂的模型或优化，可以调整 FindFit 的选项（如 Method）。

拟合结果已经是 $y=a{x}^2+bx+c$ 的形式了（a=0.0295108, b=-3.63834, c=162.608）。如果希望以 数学表达式格式 显示（如 f(x) = 0.0295x² - 3.638x + 162.61），可以使用以下方法：

---

方法 1：直接提取参数并格式化输出

f[x_] := a x^2 + b x + c /. fitParams; (* 定义函数 f(x) *)
TraditionalForm[f[x]] (* 以传统数学格式显示 *)

输出示例：$f(x)=0.0295108x^2-3.63834x+162.608$

---

方法 2：自定义显示（控制小数位数）

{aVal, bVal, cVal} = {a, b, c} /. fitParams;
f[x_] := aVal x^2 + bVal x + cVal;
Print["f(x) = ", Round[aVal, 0.0001], "x² + ", Round[bVal, 0.0001], "x + ", Round[cVal, 0.0001]]

输出示例：$f(x)=0.0295x^2-3.6383x+162.608$

---

方法 3：用 StringForm 动态生成表达式

expression = StringForm["f(x) = `` x² + `` x + ``", 
   Round[aVal, 0.001], Round[bVal, 0.001], Round[cVal, 0.001]];
Print[expression]

输出示例：
$f(x)=0.03x^2-3.638x+162.608$

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方法 4：直接输出 LaTeX 格式（用于论文）

Print["f(x) = ", aVal, "x^2 + ", bVal, "x + ", cVal]
(* 或手动调整为 LaTeX *)
Print["f(x) = ", aVal, " x^2 + ", bVal, " x + ", cVal]

输出示例：
$f(x)=0.0295108x^2-3.63834x+162.608$

可以复制到 LaTeX 中：$f(x)=0.0295x^2-3.6383x+162.608$

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完整代码示例

X	Y
51	45
36	93
30	65
96	86

data = {{51, 45}, {36, 93}, {30, 65}, {96, 86}};
model = a x^2 + b x + c;
nlm = NonlinearModelFit[data, model, {a, b, c}, x];
fitParams = nlm["BestFitParameters"];

(* 提取参数并定义函数 *)
{aVal, bVal, cVal} = {a, b, c} /. fitParams;
f[x_] := aVal x^2 + bVal x + cVal;

(* 输出格式化后的表达式 *)
Print["拟合函数为: ", TraditionalForm[f[x]]]
Print["或更简洁形式: f(x) = ", Round[aVal, 0.0001], "x² + ", Round[bVal, 0.0001], "x + ", Round[cVal, 0.0001]]

(* 绘制图形 *)
Show[
  ListPlot[data, PlotStyle -> Red, PlotLabel -> "二次多项式拟合"], 
  Plot[f[x], {x, 0, 100}, PlotStyle -> Blue], 
  Frame -> True, Axes -> False
]

---

输出结果示例

• 拟合参数：

  {a -> 0.0295108, b -> -3.63834, c -> 162.608}
  

• 格式化后的函数：

  拟合函数为: 0.0295108 x² - 3.63834 x + 162.608
  或更简洁形式: f(x) = 0.0295x² - 3.6383x + 162.608
  

在 Mathematica 中，可以轻松地拟合 更高阶多项式（如三次） 或 指数函数，只需修改 model 的定义即可。以下是具体方法：

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1. 三次多项式拟合（Cubic Fit）

模型形式

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

代码实现

data = {{11, 5}, {60, 81}, {14, 28}, {50, 80}, {51, 45}, {36, 93}, {30, 65}, {96, 86}};

(* 定义三次多项式模型 *)
model = a x^3 + b x^2 + c x + d;
nlm = NonlinearModelFit[data, model, {a, b, c, d}, x];
fitParams = nlm["BestFitParameters"]

(* 定义拟合函数 *)
f[x_] := a x^3 + b x^2 + c x + d /. fitParams;

(* 输出拟合方程 *)
Print["f(x) = ", Coefficient[f[x], x, 3], "x³ + ", Coefficient[f[x], x, 2], "x² + ", Coefficient[f[x], x, 1], "x + ", Coefficient[f[x], x, 0]];

(* 绘制拟合曲线 *)
Show[
  ListPlot[data, PlotStyle -> Red, PlotLabel -> "三次多项式拟合"], 
  Plot[f[x], {x, 0, 100}, PlotStyle -> Blue], 
  Frame -> True, Axes -> False
]

输出示例

{a -> -0.000123, b -> 0.0234, c -> -2.345, d -> 123.456}
f(x) = -0.000123x³ + 0.0234x² - 2.345x + 123.456

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2. 指数函数拟合（Exponential Fit）

模型形式

$f(x)=a{e}^{bx}+c$ 或 $f(x)=a{e}^{bx}$

代码实现

(* 定义指数模型 *)
model = a Exp[b x] + c; (* 或 model = a Exp[b x] *)
nlm = NonlinearModelFit[data, model, {a, b, c}, x];
fitParams = nlm["BestFitParameters"]

(* 定义拟合函数 *)
f[x_] := a Exp[b x] + c /. fitParams;

(* 输出拟合方程 *)
Print["f(x) = ", Round[a /. fitParams, 0.001], " e^(", Round[b /. fitParams, 0.001], "x) + ", Round[c /. fitParams, 0.001]];

(* 绘制拟合曲线 *)
Show[
  ListPlot[data, PlotStyle -> Red, PlotLabel -> "指数函数拟合"], 
  Plot[f[x], {x, 0, 100}, PlotStyle -> Blue], 
  Frame -> True, Axes -> False
]

输出示例

{a -> 10.5, b -> 0.02, c -> 5.0}
f(x) = 10.5 e^(0.02x) + 5.0

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3. 其他常见拟合模型

模型类型	数学形式	Mathematica model 定义
线性	( y = a x + b )	a x + b
二次多项式	( y = a x^2 + b x + c )	a x^2 + b x + c
三次多项式	( y = a x^3 + b x^2 + c x + d )	a x^3 + b x^2 + c x + d
指数	( y = a e^{b x} + c )	a Exp[b x] + c
对数	( y = a \ln(x) + b )	a Log[x] + b
幂函数	( y = a x^b )	a x^b

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4. 如何选择合适的拟合模型？

1. 观察数据趋势：
   • 如果数据呈 抛物线 → 二次多项式
   • 如果数据呈 S型 → 三次多项式
   • 如果数据 快速增长/衰减 → 指数函数
   • 如果数据呈 对数增长 → 对数函数
2. 检查拟合优度：
   • 使用 nlm["RSquared"] 查看 ( R^2 )（越接近1越好）。
   • 使用 Show[ListPlot[data], Plot[f[x], ...]] 观察拟合曲线是否贴合数据。

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5. 完整代码（以三次多项式为例）

data = {{11, 5}, {60, 81}, {14, 28}, {50, 80}, {51, 45}, {36, 93}, {30, 65}, {96, 86}};

(* 三次多项式拟合 *)
model = a x^3 + b x^2 + c x + d;
nlm = NonlinearModelFit[data, model, {a, b, c, d}, x];
fitParams = nlm["BestFitParameters"];

(* 定义函数并输出 *)
f[x_] := a x^3 + b x^2 + c x + d /. fitParams;
Print["f(x) = ", f[x] // TraditionalForm];

(* 绘制图形 *)
Show[
  ListPlot[data, PlotStyle -> Red, PlotLabel -> "三次多项式拟合"], 
  Plot[f[x], {x, 0, 100}, PlotStyle -> Blue], 
  Frame -> True, Axes -> False
]

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最后

• 多项式拟合：修改 model = a x^n + ... 的阶数。
• 指数/对数拟合：使用 Exp[b x] 或 Log[x]。
• 查看拟合质量：用 nlm["RSquared"] 或绘图对比。