1. 信号处理的数学基础

1.1 数字信号表示

data = fread(fid, 'float32');

• 数学原理：连续信号 $x(t)$ 经过采样变成离散信号 $x[n]=x(n{T}_s)$
• 其中 $T_s=1/f_s$ 是采样周期，$f_s$ 是采样率
• 这里读取的是已经数字化的振动信号序列

1.2 去除直流分量

data = data - mean(data);

• 数学原理：
  $$\bar{x}=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]$$
  $$x_{ac}[n]=x[n]-\bar{x}$$
• 物理意义：去除信号的直流偏置，只保留交流成分
• 原因：振动信号关心的是变化量，不是绝对位置

2. 傅里叶变换分析

2.1 离散傅里叶变换(DFT)

Y = fft(data, nfft);

• 数学公式：
  $$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-j2\pi kn/N}$$
  其中 $k=0,1,...,N-1$

• 物理意义：将时域信号分解为不同频率的正弦波组合

2.2 频率向量计算

f = (0:nfft-1) * fs / nfft;

• 数学原理：
  • 频率分辨率：$\Delta f=\frac{f_s}{N_{FFT}}$
  • 第k个频率分量：$f_k=k\cdot \Delta f=k\cdot \frac{f_s}{N_{FFT}}$
• 示例：若 $f_s=1000$ Hz，$N_{FFT}=1024$，则 $\Delta f=0.977$ Hz

3. 功率谱密度(PSD)计算

3.1 PSD计算公式

PSD = abs(Y).^2 / (fs * nfft);

• 数学原理：
  $$PSD[k]=\frac{|X[k]{|}^2}{f_s\cdot N_{FFT}}$$

• 单位：${\text{信号单位}}^2/\text{Hz}$（功率密度）

3.2 单边谱转换

PSD = PSD(1:nfft/2+1);
PSD(2:end-1) = 2 * PSD(2:end-1);

• 数学原理：
  • 实信号的FFT具有共轭对称性：$X[k]=X^{\ast }[N-k]$
  • 单边谱包含全部功率信息，需要将负频率的功率加到正频率上
  • 除了DC分量和Nyquist频率，其他频率分量要乘以2

4. 频谱特征提取

4.1 主频率识别

[~, peak_idx] = max(PSD(2:end));
main_freq = f(peak_idx + 1);

• 数学意义：找到功率最大的频率分量
• 物理意义：通常对应机械系统的主要振动频率（如转频）

4.2 谱质心计算

centroid = sum(f_col .* PSD_col) / sum(PSD_col);

• 数学公式：
  $$f_{centroid}=\frac{{\sum }_k{f}_k\cdot PSD[k]}{{\sum }_{k}PSD[k]}$$

• 物理意义：

  • 类似于"重心"概念，表示频谱能量的集中位置
  • 谱质心高→高频成分多（尖锐声音）
  • 谱质心低→低频成分多（沉闷声音）

5. 信号参数的物理意义

5.1 采样定理

• Nyquist定理：$f_s>2f_{max}$
• 最高可分析频率：$f_{Nyquist}=f_s/2$

5.2 频率分辨率与时间长度

• 频率分辨率：$\Delta f=\frac{1}{T}$，其中 $T$ 是信号时长
• 时频不确定性原理：$\Delta t\cdot \Delta f\ge \frac{1}{4\pi }$

6. 可视化解释

6.1 对数坐标图

semilogx(f, 10*log10(PSD));

• 分贝转换：$PS{D}_{dB}=10{\log }_{10}(PSD)$
• 优点：
  • 更好地显示大动态范围的数据
  • 人耳对声音的感知是对数的

6.2 实际应用示例

假设测量一个转速为30 Hz的电机振动：

• 基频：30 Hz（1倍频）
• 谐波：60 Hz（2倍频）、90 Hz（3倍频）等
• 谱质心可能在 50-100 Hz 范围，表示能量分布

---

FFT和单边谱的关系

1. FFT的对称性

当输入信号是实数时（如你的振动信号），FFT结果具有共轭对称性：

• X[k] = X*[N-k]（其中*表示共轭）
• 这意味着频谱的后半部分是前半部分的镜像

2. 频率点的分布

对于N点FFT：

完整频谱: 0, fs/N, 2fs/N, ..., (N-1)fs/N
对应索引: 0, 1,    2,    ..., N-1

3. 单边谱的构造

由于对称性，我们只需要保留：

• DC分量 (k=0)
• 正频率部分 (k=1 到 k=N/2-1)
• 奈奎斯特频率 (k=N/2，当N为偶数时)

所以单边谱的点数 = 1 + (N/2-1) + 1 = N/2 + 1

4. 代码验证

让我用你的代码验证一下：让我用更简单的方式解释：

具体例子

假设你有8点FFT：

完整FFT: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] (8个点)
         对应频率: [0, fs/8, 2fs/8, 3fs/8, 4fs/8, 5fs/8, 6fs/8, 7fs/8]

由于对称性：

• 点5,6,7是点3,2,1的镜像
• 我们只需要保留: [0, 1, 2, 3, 4] (5个点)
• 5 = 8/2 + 1 ✓

在你的代码中

nfft = 2^12;        % 4096点FFT
PSD = PSD(1:nfft/2+1);   % 保留前2049个点
f = f(1:nfft/2+1);       % 对应的频率向量

这样做的原因是：

1. 节省存储空间：只存储一半的数据
2. 物理意义清晰：只显示0到奈奎斯特频率的范围
3. 避免冗余：消除镜像频率分量