相量

相量

引言

正弦信号可以很容易地用相量来表示，处理相量要比处理正、余弦函数更为方便

定义

相量是一个表示正弦信号的幅度和相位的复数

复数

复数坐标形式

复数$z$的直角坐标形式为：

$$z=x+\mathrm{j}y$$

• $j=\sqrt{-1}$，$x$是$z$的实部，$y$是$z$的虚部

复数$z$的极坐标形式或指数形式：

$$z=r\angle \varphi =r{e}^{j\varphi }$$

• $r$为$z$的模值，$ø$为$z$的相位

复数$z$的三种表示形式：

$$z=x+\mathrm{j}y\text{直角坐标形式}$$

$$z=r\angle \varphi \text{极坐标形式}$$

$$z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\varphi }\text{指数形式}$$

直角/极坐标形式之间的关系

直角坐标形式与极坐标形式之间的关系：

        复数$z=x+jy=r\angle\phi$表示方法

• x轴表示复数$z$的实部
• y轴表示复数$z$的虚部

给定x与y，即可得到$r$与$ø$：

$$r=\sqrt{x^2+y^2},\varphi =\arctan \frac{y}{x}$$

给定$r$与$ø$，也可得到x与y：

$$x=r\cos \varphi ,y=r\sin \varphi$$

于是，复数$z$可以写作：

$$z=x+jy=r\angle \varphi =r(\cos \varphi +j\sin \varphi )$$

计算公式

复数的加减运算利用直角坐标表示更为方便，而乘除运算则用极坐标更好

已知复数：

$$z=x+\mathrm{i}y=r\angle \varphi$$

$$z_1=x_1+\mathrm{j}{y}_1=r_1\angle {\varphi }_1{z}_2=x_2+\mathrm{j}{y}_2=r_2\angle {\varphi }_2$$

加法：

$$z_1+z_2=(x_1+x_2)+\mathrm{j}(y_1+y_2)$$

减法：

$$z_1-z_2=(x_1-x_2)+\mathrm{j}(y_1-y_2)$$

乘法：

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2\angle {\varphi }_1+{\varphi }_2$$

除法：

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\angle {\varphi }_1-{\varphi }_2$$

倒数：

$$\frac{1}{z}=\frac{1}{r}\angle -\varphi$$

平方根：

$$\sqrt{z}=\sqrt{r}\angle \Phi /2$$

共轭复数：

$$z^{\ast }=x-\mathrm{j}y=r\angle -\varphi =r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\varphi }$$

虚部：

$$\frac{1}{\mathrm{j}}=-\text{ j}$$

欧拉公式

欧拉恒等式：

$$e^{\pm j\varphi }=\cos \varphi \pm j\sin \varphi$$

上式表明可以将cosø与sinø分别看做e的实部与虚部，即：

$$\cos \varphi =\mathrm{Re}(e^{j\varphi })$$

$$\sin \varphi =\mathrm{Im}(e^{j\varphi })$$

• Re与Im分列表示实部与虚部

正弦信号和相量转换

正弦相量换算

• 正弦与相量换算

  已知正弦信号$v(t)＝V_m\times cos（wt＋\phi )$

  则利用$\cos \varphi =\mathrm{Re}(e^{j\varphi })$，可将$v(t)$表示为：

  $$\begin{array}{rl}\upsilon (t)& =V_m\cos (\omega t+\varphi )=\mathrm{Re}(V_m{e}^{j(\omega t+\varphi )})\end{array}$$

  $$\upsilon (t)=\mathrm{Re}(V_m{e}^{j\varphi }{e}^{j\omega t})$$

  即正弦信号用极坐标表示：

  $$\upsilon (t)=\mathrm{Re}(\mathbf{V}{e}^{j\mathbf{\omega }t})$$

  其中

  $$\mathbf{V}=V_m{e}^{j\varphi }=V_m\angle \varphi$$

  • 相量可以看做是省略了时间依赖关系的正弦信号的等效数学表达式

• 正弦与相量换算图解

  • 在复平面上画出正弦矢量$\mathbf{V}{e}^{j\omega t}=V_m{e}^{j(\omega t+\varphi )}$
  • 图A：随着时间增加，该正弦矢量在半径为$V_m$的圆周上沿逆时针方向以角速度$\omega$做圆周运动
  • 图B：$v(t)$可以看做是正弦矢量在实轴上的投影
  • 正弦矢量在t＝0时刻的值就是正弦信号$v(t)$的相量V，正弦矢量也可以看做是旋转相量

相量图

相量作为一个复数，可以表示为直角坐标形式、极坐标形式和指数形式

相量也有模值和相位（方向），因此与矢量具虚轴有类似的特性

                          $V=V_m\angle{\phi}$ 和$I=I_m\angle-\theta$相量图

正弦信号和相量转换

通过去掉时间因子${\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}$，即可将正弦信号从时域转换到相量域(频域)：

$$v(t)=V_m\cos (\omega t+\varphi )\iff \mathbf{V}=V_m\angle \varphi$$

                                                            正弦信号-相量的转换关系

正弦信号的导数和其相量关系

由上可知：

$$\begin{array}{r}\upsilon (t)=\mathrm{Re}(\mathbf{V}{e}^{j\omega t})=V_m\cos (\omega t+\varphi )\end{array}$$

对其求导，因此：

$$\frac{dv}{dt}=-\omega V_m\sin (\omega t+\varphi )=\omega V_m\cos (\omega t+\varphi +90^{\circ })$$

$$=\mathrm{Re}(\omega V_m{e}^{j\omega t}{e}^{j\varphi }{e}^{j90°})=\mathrm{Re}(j\omega \mathbf{V}{e}^{j\omega t})$$

---

这说明$v$(t)的导数被转换为相量域中的$jwV$，即：

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\iff j\omega V$$

• 正弦信号的微分等效于其对应的相量乘以$jw$
• 信号在时域中的微分对应于相量域中乘以$jw$

---

同理：$v$(t)的积分被转换为相量域中的$V/j\omega$，即：

$$\int v\mathrm{d}t\iff \frac{V}{\text{j}\omega }$$

• 正弦信号的积分等效于其对应的相量除以$jw$
• 同频正弦信号的叠加等效于它们的对应相量叠
• 信号在时域中的积分对应于相量域中除以$jw$

---

总结

$\ast \ast v$(t)与V之间的区别可归纳如下：**

• $v$(t)是瞬时或时域表示，而V是频域或相量域表示
• $v$(t)是与时间有关的，而V与时间无关
• $v$(t)始终是没有复数项的实数，而V通常为复数
• 相量分析仅适用于频率恒定的情况，即正弦信号具有相同的频率时才能用相量进行运算
• 在复平面中，虚轴与实轴成90度角，任何一个数乘以j后
• 积的向量就是原来的向量逆时针旋转了90度，即$j=e^{j90°}$

列

计算复数的值

• 计算以下复数的值

$$(40\angle 50^{\circ }+20\angle -30^{\circ }{)}^{1/2}$$

$$\frac{10\angle -30^{\circ }+(3-j4)}{(2+j4)(3-j5{)}^{\ast }}$$

利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得：

$$40\angle 50^{\circ }=40(\cos 50^{\circ }+\text{jsin}50^{\circ })=25.71+\mathrm{j}30.64$$

$$20\angle -30^{\circ }=20\left[\cos (-30^{\circ })+\mathrm{jsin}(-30^{\circ })\right]=17.32-\mathrm{j}10$$

相加后得到：

$$40\angle 50^{\circ }+20\angle -30^{\circ }=43.03+j20.64=47.72\angle 25.63^{\circ }$$

取平方根后得到：

$$(40\angle 50^{\circ }+20\angle -30^{\circ }{)}^{1/2}=6.91\angle 12.81^{\circ }$$

利用极坐标与直角坐标转换关系，经过相加、相乘和相除的运算，可得：

$$\frac{10\angle -30^{\circ }+(3-j4)}{(2+j4)(3-j5{)}^{\ast }}=\frac{8.66-j5+(3-j4)}{(2+j4)(3+j5)}$$

$$=\frac{11.66-j9}{-14+j22}=\frac{14.73\angle -37.66^{\circ }}{26.08\angle 122.47^{\circ }}$$

$$=0.565\angle -160.13^{\circ }$$

正弦信号转换为相量

• 将下列正弦信号转换为相量

$$i=6\cos \left(50t-40^{\circ }\right)\mathrm{A}$$

$$v=-4\sin (30t+50°)\mathrm{V}$$

$i$的相量为：

$$\mathrm{I}=6\angle -40^{\circ }A$$

由于$-\sin A=\cos \left(A+90^{\circ }\right)$得：

$$v=-4\sin (30t+50^{\circ })=4\cos (30t+50^{\circ }+90^{\circ })=4\cos (30t+140^{\circ })V$$

于是$v$的相量为：

$$\mathrm{V}=4\angle 140°V$$

相量转换弦信号

• 试求如下相量所表示的正弦信号：

$$\mathrm{I}=-3+\mathrm{j}4\mathrm{A}$$

$$\mathbf{V}=j8e^{-j20°}V$$

                复数转换为极坐标：

$$\mathrm{I}=-3+\mathrm{j}4=5\angle 126.87^{\circ }$$

将其转换到时域：

$$i(t)=5\cos (\omega t+126.87°)\text{A}$$

复数转换为极坐标：

$$j=1\angle 90^{\circ }$$

$$\mathrm{V}=j8\angle -20^{\circ }=(1\angle 90^{\circ })(8\angle -20^{\circ })$$

$$=8\angle 90^{\circ }-20^{\circ }=8\angle 70^{\circ }\mathrm{V}$$

将其转换到时域：

$$v(t)=8\cos (\omega t+70^{\circ })\text{V}$$

计算正弦信号之和

• 计算以下信号之和

$$i_1(t)=4\cos (\omega t+30^{\circ })A,i_2(t)=5\sin (\omega t-20^{\circ })A$$

计算同频正弦信号之和，电流$i_1$(t)为标准形式，其相量为：

$${\mathrm{I}}_1=4\angle 30^{\circ }$$

下面需将$i_2$(t)表示为余弦函数的标准形式，将正弦函数转换为余弦函数的方法是减90°

$$i_2=5\cos (\omega t-20°-90°)=5\cos (\omega t-110°)$$

其相量为：

$${\mathrm{I}}_2=5\angle -110^{\circ }$$

如果令$i=i_1+i_2$，则有：

$$\mathrm{I}={\mathrm{I}}_1+{\mathrm{I}}_2=4\angle 30^{\circ }+5\angle -110^{\circ }$$

$$=3.464+\mathrm{j}2-1.71-\mathrm{j}4.698=1.754-\mathrm{j}2.698=3.218\angle -56.97°A$$

将其转换到时域，得到：

$$i(t)=3.218\cos (\omega t-56.97°)\text{A}$$

计算微积分电流

利用相量法求微积分方程描述的电流

• 已知

$$4i+8\int i\mathrm{d}t-3\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=50\cos (2t+75^{\circ })$$

首先将方程中的每一项都由时域转换到相量域

利用$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\iff j\omega V$与$\int v\mathrm{d}t\iff \frac{V}{\text{j}\omega }$即可得到该方程的相量形式：

$$4I+\frac{8I}{j\omega }-3\mathrm{j}\omega I=50\angle 75^{\circ }$$

由于ω=2，所以

$$I(4-j4-j6)=50\angle 75^{\circ }$$

$$I=\frac{50\angle 75°}{4-j10}=\frac{50\angle 75°}{10.77\angle -68.2°}=4.642\angle 143.2°\mathrm{A}$$

将上述相量转换到时域，有：

$$i(t)=4.642\cos (2t+143.2^{\circ })\text{A}$$

• 需要注意的是，这仅是电路的稳态解，无需知道其初始值即可求解