计算机如何表示小数？带例题(定点法、浮点法)
小数的表示分为「定点法」和「浮点法」1 定点法，定点数定点法就是小数是预先约定好的举个例子(1)二进制转十进制二进制 101.011 转化为十进制101.011101.011101.011=(1∗20+0∗21+1∗22)+(0∗2−1+1∗2−2+1∗2−3)= (1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2)+(0*2^{-1} + 1*2^{-2} + 1*2^-3)=(1∗20+0∗21+1
小数的表示分为「定点法」和「浮点法」
1 定点法，定点数
定点法就是小数是预先约定好的
举个例子
(1)二进制转十进制
二进制
101.011转化为十进制101.011101.011101.011
=(1∗20+0∗21+1∗22)+(0∗2−1+1∗2−2+1∗2−3)= (1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2)+(0*2^{-1} + 1*2^{-2} + 1*2^-3)=(1∗20+0∗21+1∗22)+(0∗2−1+1∗2−2+1∗2−3)
=5+0.375=5+0.375=5+0.375
=5.375= 5.375=5.375
（2）十进制转二进制
我们要将 10 进制的 5.375 转化为二进制
首先转化整数部分，很简单，就是
101然后是小数部分，小数部分用 * 2 计算的方法
0.375
0.375 * 2 = 0.75 （此时整数部分为 0 ，记下0）
0.75 * 2 = 1.50 (此时整数部分为1，记下 01,小数部。5分还剩下 0.5 我们拿出来继续之前的操作)
0.5 * 2 = 1.0 (此时整数部分为1，记下 011，此时小数部分为 0 ，结束)
定点法相对于浮点法比较简单，现在计算机的应用也比较少，我们学过编程语言都听说过，浮点数，float，double，没有听说过定点数，定点数现在有 2 中还比较常见
- 整数：定点的小数点在最后一位
- 纯浮点数：就是小数点在第一位，就是只有小数没有整数的那种。
2 (重难点)浮点法，浮点数
浮点法 -> 脱发法
我们先来看一组数字
0.123，1.23，12.3，123
他们都有一个共同的特点，就是可以用「科学计数法」 1.23∗10n1.23 * 10^n1.23∗10n 的方法来表示
浮点法和这个类似，用类似「科学计数法」（但是这个鬼东西比科学计数法复杂）的方法来表示的更多小数位
2.1 核心公式介绍
这个让人脱发的公式是：
V=(−1)S∗M∗2EV = (-1)^S * M * 2^EV=(−1)S∗M∗2E
【浮点数】 = 【符号】*【分数】* 【指数】
- 符号（S）：就是类似表示正数正负一样，很简单
- 分数（M）：理解类似「科学计数法」的基数（类似 1.23∗10n1.23 * 10^n1.23∗10n 的 1.23）
- 指数（E）：理解类似「科学计数法」的指数（类似 1.23∗10n1.23 * 10^n1.23∗10n 的 10n10^n10n）
还有求出 M 和 E 公式（看不懂没关系，理解后面的例子就行了）
E=Exponent−(2n−1−1)E = Exponent - (2^{n-1} - 1)E=Exponent−(2n−1−1)
M=1+FractionM = 1+FractionM=1+Fraction
一共就这 3 个重要的公式
2.2 表示2种浮点数
表示2种浮点数的基本规则是一样的
单精度 float 浮点数（4字节 32位）
1 01111100 11100000000000000000000
【1位符号S】【8位指数 Exponent】【23位分数 Fraction】
双精度 double （8字节 64位）
1 01111100000 11100000000000000000000....00
【1位符号S】【8位指数 Exponent】【23位分数 Fraction】
具体的算法我们通过例子来讲解
2.3 实例 二进制转十进制小数
将下面的二进制 32位 浮点数 float 转化为十进制
1 01111100 11100000000000000000000
【1位符号S】【8位指数 Exponent】【23位分数 Fraction】
公式:
V=(−1)S∗M∗2EV = (-1)^S * M * 2^EV=(−1)S∗M∗2E
M=1+FractionM = 1+FractionM=1+Fraction
**（1）S：**首位为 1 就是负数，0 就是正数，所以这个值为负数
（2）E：
E=Exponent−(2n−1−1)E = Exponent - (2^{n-1} - 1)E=Exponent−(2n−1−1)
Exponent 就是指数，就是上面中间 8 位指数的位置，这里有 8 位 n=8n=8n=8
E=124−(128−1)=−3E = 124 - (128-1) = -3E=124−(128−1)=−3
（3）M：
M=1+FractionM = 1+FractionM=1+Fraction
Fraction 就是分数，就是上面 23 位分数的位置
Fraction=1∗2−1+1∗2−2+1∗2−3=7/8Fraction = 1*2^{-1} + 1 * 2^{-2} + 1*2^{-3} = 7/8Fraction=1∗2−1+1∗2−2+1∗2−3=7/8
M=1+Fraction=1+7/8=15/8M = 1+Fraction = 1 + 7/8 = 15/8M=1+Fraction=1+7/8=15/8
V=(−1)S∗M∗2E=−1∗15/8∗2−3=−15/64=−0.234275V = (-1)^S * M * 2^E = -1 * 15/8 * 2^{-3} = -15/64 = -0.234275V=(−1)S∗M∗2E=−1∗15/8∗2−3=−15/64=−0.234275
2.4（实例）十进制小数转二进制浮点数
将 3.125 转化为 32 位二进制浮点数 float
float 的组成是
1 01111100 11100000000000000000000 【1位符号S】【8位指数 Exponent】【23位分数 Fraction】所以我们要求
- 符号（S)
- 指数（Exponent）
- 分数（Fraction）
（1）首先将小数用「定点法」转化为二进制
十进制：3.125
为二进制：11.001
这里操作很简单，参考上面的定点法
接下来通过公式反向求
V=(−1)S∗M∗2EV = (-1)^S * M * 2^EV=(−1)S∗M∗2E
（2）求 S 符号
很简单，S = 1
（3）求指数 Exponent
通过我们上面可以得出，每一个 M 都是 1.xx 的，就是一点几，
所以我们要将
11.001=1.1001∗2111.001 = 1.1001 * 2^111.001=1.1001∗21
这里的 E = 1，$M = 1.1001_{(2)} $
就是类似，超过就左移，小于就右移，很简单
公式：
E=Exponent−(2n−1−1)E = Exponent - (2^{n-1} -1)E=Exponent−(2n−1−1)
1=Exponent−(28−1−1)1 = Exponent - (2^{8-1} -1)1=Exponent−(28−1−1)
Exponent=128Exponent = 128Exponent=128
128 转化为二进制是 1000 0000（这里不考虑符号了）
（4）求分数 Fraction
M=1+FractionM = 1+FractionM=1+Fraction
所以一定要求得 M 的值.
上面我们求 Exponent 的时候
11.001=1.1001∗2111.001 = 1.1001 * 2^111.001=1.1001∗21
这里的 E = 1，M=1.1001(2)M = 1.1001_{(2)}M=1.1001(2)
M=1.1001(2)M = 1.1001_{(2)}M=1.1001(2)（二进制）带入公式
M=1+FractionM = 1+FractionM=1+Fraction
1.1001(2)=1+Fraction1.1001_{(2)} = 1 + Fraction1.1001(2)=1+Fraction
Fraction=0.1001(2)Fraction = 0.1001_{(2)}Fraction=0.1001(2)
Fraction = 1001 0000 0000 0000 0000 000
（总和）
0 10000000 1001 0000 0000 0000 0000 000
【1位符号S】【8位指数 Exponent】【23位分数 Fraction】
这个要多练习几个例子就好了
主要是那 3 个公式
参考：https://www.jianshu.com/p/104f53c663c9
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