矩阵指数与李群-李代数对应

写给计算机系同学的李群与李代数（一）：从旋转矩阵到抽象群
写给计算机系同学的李群与李代数（二）：李代数的结构——以 so(n) 为例

在前两篇文章中，我们认识了李群（Lie Group）与李代数（Lie Algebra）的基本概念，并深入探讨了特殊正交群（Special Orthogonal Group, SO(n)）的李代数 $\text{so}(n)$，即由反对称矩阵（Skew-Symmetric Matrix）构成的向量空间。今天，我们将聚焦于矩阵指数映射（Matrix Exponential），它是连接李群与李代数的桥梁。通过公式推导、具体例子和几何解释，我们将揭示李代数如何生成李群元素，以及这种对应在计算机科学中的重要性。

矩阵指数映射（Matrix Exponential）的定义

矩阵指数映射是李群与李代数关系的核心。对于一个 $n\times n$ 矩阵 $A$，其指数定义为：
$$e^A=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{A^k}{k!}=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$$
其中 $I$ 是单位矩阵。这个定义类似于标量指数函数 $e^x$ 的泰勒展开，但现在操作的是矩阵。对于李代数 $\mathfrak{g}$ 的元素 $A$，矩阵指数 $e^A$ 通常生成对应的李群 $G$ 中的元素。

为什么矩阵指数重要？

李代数描述了李群在单位元（Identity Element，例如单位矩阵）附近的“无穷小变换”（Infinitesimal Transformation）。矩阵指数映射将这些“速度”转化为“位置”：

• 李代数 $\mathfrak{g}$：表示局部线性化的变换（类似角速度）。
• 李群 $G$：表示全局的变换（类似旋转矩阵）。
• 矩阵指数 $e^A$：从 $\mathfrak{g}$ 到 $G$ 的桥梁。

让我们通过具体例子来探索这一过程。

矩阵指数的性质

矩阵指数映射有几个关键性质，帮助我们理解李群与李代数的动态关系：

1. 单参数子群（One-Parameter Subgroup）：
   对于李代数中的元素 $A$，映射 $t\mapsto e^{tA}$ 形成李群中的一条曲线，满足：
   $$e^{tA}{e}^{sA}=e^{(t+s)A}$$
   这表明 $e^{tA}$ 是一个群同态，描述了沿 $A$ 方向的连续变换。

2. 非交换性（Non-Commutativity）：
   一般情况下，矩阵指数不满足 $e^{A+B}=e^A{e}^B$，除非 $[A,B]=AB-BA=0$。这反映了李群变换的非交换性，例如三维旋转的顺序依赖。

3. 局部近似：
   对于小的 $t$，有：
   $$e^{tA}\approx I+tA$$
   这表明李代数元素 $tA$ 是李群元素 $e^{tA}$ 在单位元附近的线性近似。

接下来，我们以 $\text{so}(3)$ 和 $\text{se}(3)$ 为例，详细推导矩阵指数的计算和意义。

以 $\text{so}(3)$ 为例：Rodrigues 公式

$\text{so}(3)$ 是特殊正交群 SO(3) 的李代数，由 $3\times 3$ 反对称矩阵组成。任意 $\text{so}(3)$ 元素可以写为：
$$B=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right]$$
其中 $\omega =({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)$ 是一个三维向量。矩阵 $B$ 表示绕轴 $\omega$ 的无穷小旋转，旋转速度为 $|\omega |$。

推导 Rodrigues 公式

我们希望计算 $e^{tB}$，它应生成 SO(3) 中的旋转矩阵。注意到 $B$ 的特殊结构，我们定义：
$$\hat{\omega }=\frac{\omega }{|\omega |},\theta =t|\omega |,\tilde{B}=\frac{B}{|\omega |}$$
这样，$e^{tB}=e^{\theta \tilde{B}}$，其中 $\tilde{B}$ 满足 ${\tilde{B}}^3=-\tilde{B}$（稍后验证）。计算 $\tilde{B}$ 的幂：
$$\tilde{B}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\hat{\omega }}_3& {\hat{\omega }}_2\\ {\hat{\omega }}_3& 0& -{\hat{\omega }}_1\\ -{\hat{\omega }}_2& {\hat{\omega }}_1& 0\end{array}\right]$$
定义向量 $\omega$ 与矩阵 $B$ 的关系：对于任意向量 $v$，有：
$$Bv=\omega \times v$$
因此，$B$ 对应于叉积运算。计算 $B^2$：
$$B^{2}v=B(Bv)=B(\omega \times v)=\omega \times (\omega \times v)=(\omega \cdot v)\omega -(\omega \cdot \omega )v=-|\omega {|}^{2}v+(\omega \cdot v)\omega$$
对于单位向量 $\hat{\omega }$，$|\hat{\omega }|=1$，所以：
$${\tilde{B}}^{2}v=-v+(\hat{\omega }\cdot v)\hat{\omega }$$
投影到 $\hat{\omega }$ 方向的部分满足 $\tilde{B}(\hat{\omega }\cdot v)\hat{\omega }=0$，因此：
$${\tilde{B}}^2=-I+\hat{\omega }{\hat{\omega }}^T$$
再计算：
$${\tilde{B}}^3=\tilde{B}{\tilde{B}}^2=\tilde{B}(-I+\hat{\omega }{\hat{\omega }}^T)=-\tilde{B}$$
因为 $\tilde{B}\hat{\omega }=0$。有了这些，我们计算指数：
$$e^{\theta \tilde{B}}=I+\theta \tilde{B}+\frac{{\theta }^2}{2!}{\tilde{B}}^2+\frac{{\theta }^3}{3!}{\tilde{B}}^3+\cdots$$
利用 ${\tilde{B}}^3=-\tilde{B}$，${\tilde{B}}^4={\tilde{B}}^2$，整理得：
$$e^{\theta \tilde{B}}=I+\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\cdots \right)\tilde{B}+\left(\frac{{\theta }^2}{2!}-\frac{{\theta }^4}{4!}+\cdots \right){\tilde{B}}^2$$
识别出：
$$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\cdots ,1-\cos \theta =\frac{{\theta }^2}{2!}-\frac{{\theta }^4}{4!}+\cdots$$
代入 ${\tilde{B}}^2=-I+\hat{\omega }{\hat{\omega }}^T$：
$$e^{\theta \tilde{B}}=I+\sin \theta \tilde{B}+(1-\cos \theta ){\tilde{B}}^2$$
将 $\tilde{B}$ 和 ${\tilde{B}}^2$ 代回，得到 Rodrigues 公式（Rodrigues Formula）：
$$e^{\theta \tilde{B}}=I+\sin \theta \tilde{B}+(1-\cos \theta )({\tilde{B}}^2)$$
对于原始矩阵 $B=\theta \tilde{B}$，我们有：
$$e^{tB}=I+\sin (t|\omega |)\frac{B}{|\omega |}+(1-\cos (t|\omega |)){\left(\frac{B}{|\omega |}\right)}^2$$
这表示绕轴 $\omega /|\omega |$ 旋转角度 $t|\omega |$ 的旋转矩阵。

例子：绕 z 轴旋转

取 $\omega =(0,0,1)$，则：
$$B=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
应用 Rodrigues 公式，$\theta =t$，$\tilde{B}=B$：
$$e^{tB}=I+\sin tB+(1-\cos t)B^2$$
计算 $B^2$：
$$B^2=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
代入：
$$e^{tB}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]+\sin t\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]+(1-\cos t)\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
整理得：
$$e^{tB}=\left[\begin{array}{ccc}\cos t& -\sin t& 0\\ \sin t& \cos t& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
这正是绕 z 轴旋转 $t$ 弧度的矩阵，与前文一致。

几何意义

Rodrigues 公式表明，$\text{so}(3)$ 中的矩阵 $B$ 编码了旋转轴和角速度，$e^{tB}$ 将其转化为具体的旋转。几何上，李代数提供了一个线性空间，描述所有可能的旋转“方向”，而指数映射将这些方向“展开”为李群中的曲线。

以 $\text{se}(3)$ 为例：刚体变换

欧几里得群（Euclidean Group, SE(3)）描述三维空间的刚体变换（旋转加平移），其元素为 $4\times 4$ 矩阵：
$$\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right],R\in \text{SO}(3),t\in {\mathbb{R}}^3$$
其李代数 $\text{se}(3)$ 由矩阵构成：
$$\left[\begin{array}{cc}B& v\\ 0& 0\end{array}\right],B\in \text{so}(3),v\in {\mathbb{R}}^3$$
其中 $B$ 表示角速度，$v$ 表示线速度。

推导指数映射

考虑 $\text{se}(3)$ 元素：
$$A=\left[\begin{array}{cc}B& v\\ 0& 0\end{array}\right]$$
计算 $e^{tA}$：
$$e^{tA}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(tA{)}^k}{k!}$$
由于 $A$ 的分块结构，计算 $(tA{)}^k$：
$$A^2=\left[\begin{array}{cc}B& v\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}B& v\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{B}^2& Bv\\ 0& 0\end{array}\right]$$
一般地：
$$A^k=\left[\begin{array}{cc}{B}^k& B^{k-1}v\\ 0& 0\end{array}\right]$$
指数为：
$$e^{tA}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{tB}& {\int }_0^t{e}^{sB}vds\\ 0& 1\end{array}\right]$$
其中 $e^{tB}\in \text{SO}(3)$ 是旋转矩阵。积分部分计算：
$${\int }_0^t{e}^{sB}vds$$
若 $B=\theta \tilde{B}$，使用 Rodrigues 公式：
$$e^{sB}=I+\sin (s\theta )\tilde{B}+(1-\cos (s\theta )){\tilde{B}}^2$$
积分得：
$${\int }_0^t{e}^{sB}vds=\left(It+\frac{1-\cos (t\theta )}{\theta }\tilde{B}+\frac{t\theta -\sin (t\theta )}{{\theta }^2}{\tilde{B}}^2\right)v$$
最终：
$$e^{tA}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{tB}& Vv\\ 0& 1\end{array}\right]$$
其中 $V$ 是与旋转相关的矩阵。这表示一个螺旋运动（Screw Motion）：先旋转后平移。

例子：机器人运动

假设机器人绕 z 轴旋转 $\theta =t$，同时沿 z 轴平移 $v=(0,0,t)$：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
计算 $e^{tA}$（推导略，类似前述），结果为：
$$e^{tA}=\left[\begin{array}{cccc}\cos t& -\sin t& 0& 0\\ \sin t& \cos t& 0& 0\\ 0& 0& 1& t\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
这描述了机器人绕 z 轴旋转 $t$ 弧度，同时沿 z 轴平移 $t$ 个单位。

几何意义

$\text{se}(3)$ 的指数映射将角速度和线速度组合为刚体变换，几何上对应于螺旋运动。$B$ 控制旋转轴，$v$ 控制平移方向，$e^{tA}$ 将这些“速度”转化为具体的位姿。

非交换性：Baker-Campbell-Hausdorff 公式

矩阵指数的非交换性是李代数的重要特征。一般情况下：
$$e^A{e}^B\ne e^{A+B}$$
Baker-Campbell-Hausdorff 公式（BCH Formula）提供了近似：
$$e^A{e}^B=e^C,C\approx A+B+\frac{1}{2}[A,B]+\text{高阶项}$$
对于小矩阵 $A,B$：
$$e^A{e}^B\approx e^{A+B+\frac{1}{2}[A,B]}$$
这表明李括号 $[A,B]$ 量化了非交换效应。

例子：旋转的非交换

在 $\text{so}(3)$ 中，取：
$$A=\theta B_1,B=\varphi B_2$$
其中 $B_1,B_2$ 是 $\text{so}(3)$ 的基。计算 $[A,B]=\theta \varphi [B_1,B_2]=\theta \varphi B_3$。BCH 公式表明：
$$e^{\theta B_1}{e}^{\varphi B_2}\approx e^{\theta B_1+\varphi B_2+\frac{1}{2}\theta \varphi B_3}$$
这意味着先绕 x 轴旋转 $\theta$，再绕 y 轴旋转 $\varphi$，会引入一个额外的绕 z 轴的旋转。

直观总结

• 矩阵指数：将李代数的“无穷小变换”映射到李群的“全局变换”，如从角速度到旋转矩阵。
• Rodrigues 公式：为 $\text{so}(3)$ 提供了绕轴旋转的显式表达式。
• $\text{se}(3)$ 的应用：描述刚体运动，广泛用于机器人学。
• 非交换性：李括号和 BCH 公式揭示了变换顺序的重要性。
• 几何意义：李代数是李群的“切空间”，指数映射像是从“速度”积分到“位置”。

在计算机科学中，矩阵指数映射简化了非线性变换的处理。例如，3D 动画中的平滑旋转、机器人路径规划中的优化，都依赖于 $\text{so}(3)$ 和 $\text{se}(3)$ 的指数映射。下一篇文章将探讨李括号与结构常数，进一步揭示李代数的代数性质。

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后记

2025年4月12日于上海，在grok 3大模型辅助下完成。