目录

1.层次分析法

2.模型原理

3.建模步骤

4.建模步骤详解

5.案例代码实现

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1.层次分析法

层次分析法（AHP）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它适用于那些难以完全定量分析的问题。

2.模型原理

应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。

• 最高层：这一层只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
• 中间层：即为实现目标所涉及的中间环节，可由若干层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
• 最底层：即为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。

3.建模步骤

1）建立递阶层次结构模型。

2）构造出各层次中的所有判断矩阵。

3）一致性检验。

4）求权重后进行评价。

4.建模步骤详解

4.1 建立递阶层次结构模型（如上图）

4.2 构造出各层次中的所有判断矩阵

1）对指标的重要性进行两两比较，构造判断矩阵，从而科学求出权重。

2）矩阵中元素的意思是第i个指标相对第j个指标的重要程度。大于1，i重要；小于1，j重要。

* 又因两两比较的过程中忽略了其他因素，导致最后的结果可能出现矛盾，如下图中 颜值 < 作品质量， 颜值 > 作品数量，由上面两个式子可以作品质量 > 作品数量，但又 作品质量 < 作品数量，所以矛盾。这时，我们需要进行一致性检验。

	粉丝数	颜值	作品质量	作品数量
粉丝数	1	2	3	5
颜值	1/2	1	1/2	2
作品质量	1/3	2	1	1/2
作品数量	1/5	1/2	2	1

4.3 一致性检验

一致矩阵：

• 若矩阵中每个元素且满足，则称该矩阵为正互反矩阵。在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
• 若正互反矩阵满足，则称其为一致矩阵。

一致性检验原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大差别。 

一致性检验步骤：

1）计算一致性指标CI
，其中为最大特征值，n为矩阵阶数（即行和列数）

2）查找对应的平均随机一致性指标RI（会查表即可）

3）计算一致性比例CR

CR=0：判断矩阵为一致矩阵；CR0.1：判断矩阵一致；CR0.1：判断矩阵不一致。

4.4 求权重（代码部分会有具体介绍）

①算术平均法

②几何平均法

③特征值法

4.5 评价

综合评分=权重1*因素1+权重2*因素2+......+权重n*因素n

5.案例代码实现

对以上表格内的数据进行一致性检验：

import numpy as np

def calculate_cr(matrix):
    # 计算特征值和特征向量
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)
    
    # 获取最大特征值
    max_eigenvalue = max(eigenvalues)
    
    # 矩阵阶数
    n = matrix.shape[0]
    
    # 计算一致性指标 CI
    CI = (max_eigenvalue - n) / (n - 1)
    
    # 随机一致性指标 RI 表
    RI_values = {1: 0.00, 2: 0.00, 3: 0.58, 4: 0.90, 5: 1.12, 6: 1.24, 7: 1.32, 8: 1.41, 9: 1.45, 10: 1.49}
    RI = RI_values[n]
    
    # 计算一致性比率 CR
    CR = CI / RI
    
    return max_eigenvalue, n, CI, RI, CR

# 判断矩阵
A = np.array([
    [1, 2, 3, 5],
    [1/2, 1, 1/2, 2],
    [1/3, 2, 1, 1/2],
    [1/5, 1/2, 2, 1]
])

# 计算并打印最大特征值、阶数、CI、RI 和 CR
max_eigenvalue, n, CI, RI, CR = calculate_cr(A)
print(f"最大特征值 (λ_max): {max_eigenvalue.real}")
print(f"矩阵阶数 (n): {n}")
print(f"一致性指标 (CI): {CI.real}")
print(f"随机一致性指标 (RI): {RI}")
print(f"一致性比率 (CR): {CR.real}")

可以发现CR0.1，需修改判断矩阵，这里我们把作品质量与作品数量的值（矛盾的值）进行对换，得到修改后的判断矩阵，数据如下：

	粉丝数	颜值	作品质量	作品数量
粉丝数	1	2	3	5
颜值	1/2	1	1/2	2
作品质量	1/3	2	1	2
作品数量	1/5	1/2	1/2	1

再次对修改后的判断矩阵进行一致性检验，代码和上面一样，只需把判断矩阵的数据改一下就可以了，得出结果如下，可以发现CR0.1，判断矩阵一致：

接下来，就可以求权重了：

1）算术平均法求权重：

import numpy as np

# 定义判断矩阵A
A=np.array([[1,2,3,5],[1/2,1,1/2,2],[1/3,2,1,2],[1/5,1/2,1/2,1]])

# 计算每列的和
# axis=0 表示按列计算总和，axis=1 表示按行计算总和
ASum=np.sum(A,axis=0)

# 获取A的行和列
n=A.shape[0]

# 归一化，二维数组除以一维数组，会自动将一维数组扩展为与二维数组相同的形状，然后进行逐个元素的除法运算
Stand_A=A/ASum

# 各列相加到同一行
ASumr=np.sum(Stand_A,axis=1)

# 计算权重向量
weights=ASumr/n
print(weights)

2）几何平均法求权重

import numpy as np

# 定义判断矩阵A
A=np.array([[1,2,3,5],[1/2,1,1/2,2],[1/3,2,1,2],[1/5,1/2,1/2,1]])

# 获取A的行和列
n=A.shape[0]

# 将A中每一行元素相乘得到一列矩阵
# np.prod 函数可以计算一维数组中所有元素的乘积
# 在二维数组中，axis=0 表示按列计算乘积，axis=1 表示按行计算乘积。
prod_A=np.prod(A,axis=1)

# 将新的向量的每个分量开n次方等价求1/n次方
# np.power用于对数组中的元素进行幂运算
prod_n_A=np.power(prod_A,1/n)

# 归一化处理
re_prod_A=prod_n_A/np.sum(prod_n_A)
# 展示权重结果
print(re_prod_A)

3）特征值法求权重

import numpy as np

# 定义判断矩阵A
A=np.array([[1,2,3,5],[1/2,1,1/2,2],[1/3,2,1,2],[1/5,1/2,1/2,1]])

# 获取A的行和列
n=A.shape[0]

# 求出特征值和特征向量
eig_values,eig_vectors=np.linalg.eig(A)

# 找出最大特征值的索引，np.argmax 用于返回数组中最大值的索引
max_index=np.argmax(eig_values)

# 找出对应的特征向量
max_vector=eig_vectors[:,max_index]

# 对特征向量进行归一化处理，得到权重
weights=max_vector/np.sum(max_vector)

# 输出权重
print(weights)

求完权重之后，就可以进行评分了：
这里选择特征值法：综合评分=0.493*粉丝数+0.179*颜值+0.230*作品质量+0.097*作品数量。最后比较每个明星的综合评分就可以做出决策了。

PS：可以思考一下实际求解时如果需要修改判断矩阵，如何知道需要修改哪里。（提示：这里可以通过比较原始判断矩阵与一致性矩阵，计算它们之间的偏差，从而找到偏差最大的元素对进行调整）