非线性规划

定义

相较于线性规划, 增加了非线性部分不等式或等式约束的模型(见下面数学原型, 不多解释)

1. 数学原型

$$argminf(x)s.t.\{\begin{array}{r}A\cdot x\le b\\ Aeq\cdot x=beq\\ \begin{array}{r}c(x)\le 0\\ ceq(x)=0\end{array}\}非线性部分\\ lb\le x\le ub\end{array}$$

2. MATLAB内置函数原型

[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options)

参数含义

命名请参考数学原型中的字母

• fun: 优化目标f(x)

• x0是x的初始值(非线性规划算法必须要一个初始值, 一般就设置成随机值, 具体原因在此不解释)

• nonlcon: c(x), 和ceq(x)

• option: 优化参数

• 其他的参数跟线性规划一模一样, 数学原型中也看得出来是啥意思, 具体见线性规划的文章

  线性规划链接: 数学建模常用算法汇总及python，MATLAB实现（一）—— 线性规划

3. 例题

题目
$$\begin{gathered} argminf(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+8 \\ s.t.\{\begin{array}{r}{x}_1^2-x_2+x_3^2\ge 0\\ x_1+x_2^2+x_3^2\le 20\\ -x_1-x_2^2+2=0\\ x_2+2x_3^2=3\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array} \end{gathered}$$

代码

注意matlab不支持自定义函数定义在主脚本中

必须创建一个.m文件File->New->Function 在.m文件中定义函数

1. 函数fun的定义(定义在另一个.m文件中)

function res = fun(x)
    res = sum(x.^2) + 8;
end

2. 函数nonlcon的定义

function [g, h] = nonlcon(x)
    g = [-x(1)^2 + x(2) - x(3)^2, x(1) + x(2)^2 + x(3)^2 - 20];
    h = [-x(1) - x(2)^2 + 2, x(2) + 2 * x(3)^2 - 3];
end

3. 主脚本

clc
clear


[x, fval] = fmincon('fun', rand(3, 1), [], [], [], [], zeros(3, 1), [], 'nonlcon', [])
% 自定义函数作为参数传递要加上'', 不能直接写上函数名

附上答案

x =

    0.5522
    1.2033
    0.9478


fval =

   10.6511