2025亚太中文赛数学建模C题完整论文与数据：基于Quantum Boosting的二分类模型问题，完整内容见文末名片

摘要
本文基于Iris数据集的Setosa与Versicolor二分类任务，围绕Quantum Boosting（QBoost）方法展开研究，通过数据预处理构建弱分类器，将集成问题转化为二次无约束二进制优化（QUBO）模型，并利用Kaiwu SDK模拟退火求解器求解，最终完成强分类器的构建与性能评估。
针对问题一，要求从Iris数据集筛选二分类样本并进行预处理，构建一组弱分类器。首先筛选Setosa（标签0）和Versicolor（标签1）共100个样本，将标签转换为{1,1}以适配QBoost需求。采用ShapiroWilk检验判断特征分布，对正态分布特征用Zscore标准化，偏态分布特征用MAD标准化，有效消除量纲影响并增强对异常值的稳健性。按7:3分层抽样划分训练集与测试集，确保类别比例一致。基于互信息筛选Top3高判别特征，生成15种多特征组合，通过分位数阈值搜索确定最优分类阈值，再经互信息多样性筛选，最终保留812个准确率>55%且低冗余的弱分类器，为后续集成提供基础组件。
针对问题二，需将弱分类器集成转化为QUBO模型。以最小化强分类器分类误差为目标，引入hinge损失的二阶泰勒展开近似误分类率，提升边界样本损失近似精度。设计量子感知自适应正则化机制，包括基于分类器准确率的个体惩罚系数（抑制低性能分类器）和基于分类器相关性的成对惩罚系数（促进多样性组合）。通过严格数学推导，将损失函数与正则化项融合为QUBO矩阵，对角线元素反映个体分类器贡献与惩罚，非对角线元素体现分类器交互损失与多样性约束，实现集成优化目标向量子可求解形式的转化。
针对问题三，利用Kaiwu SDK求解QUBO模型并评估强分类器性能。采用“量子模拟退火全局探索+LBFGS局部精修”的变分混合求解策略，模拟退火以初始温度T₀=0.2×maxQjk、降温速率α=0.98迭代10⁴次获取初始解，LBFGS精修200次得到最优弱分类器组合。构建强分类器H(x)=sign(Σxj*hj(x))，在测试集上评估准确率、精确率、召回率等指标。通过SHAP值量化各弱分类器贡献，FGSM扰动测试对抗性稳健性，决策边界可视化展示集成模型对特征空间的划分能力，全面验证模型的有效性、可解释性与泛化能力。
最后，对模型进行综合评价。所构建的QBoost模型在Iris二分类任务中表现出较高的分类准确率和稳健性，弱分类器的多样性筛选与量子感知正则化提升了集成性能。但模型对弱分类器数量较敏感，且QUBO求解精度受模拟退火参数影响。未来可探索自适应弱分类器生成方法，并结合真实量子硬件进一步提升求解效率。
关键词：QBoost；量子计算；QUBO模型；弱分类器；模拟退火；二分类

二、第一步：数据“初筛”与标签转换

任务：从原始Iris数据集中挑出Setosa和Versicolor（各50朵，共100朵），并调整标签格式。

1. 数据集筛选

原始Iris数据集有3类鸢尾花，我们只需要前两类：Setosa（标签0）和Versicolor（标签1），各取50个样本，组成100个样本的数据集。

2. 标签转换：为什么要把{0,1}变成{1,1}？

后续要用一种叫“QBoost”的方法组合弱分类器，它的输出是“符号函数”（sign(...)），结果只能是1或1（类似“正/负投票”）。如果标签是0和1，符号函数的输出（1/1）无法直接和标签比较（比如符号函数输出1，标签是0，怎么判断对错？）。

转换规则：[
\tilde{y}_i = \begin{cases}
1 & \text{若 } y_i = 0 , (\text{Setosa}) \
1 & \text{若 } y_i = 1 , (\text{Versicolor})
\end{cases}
]这样，当QBoost输出sign(...)与${\tilde{y}}_i$符号相同时（比如都为1或都为1），就是分类正确；否则错误。

三、第二步：特征标准化——让特征“站在同一起跑线”

问题：不同特征的数值范围差异大（如萼片长4.37.9cm，萼片宽2.04.4cm），直接用原始数据分类，模型会更关注数值大的特征（比如萼片长），但可能萼片宽才是区分关键！

解决办法：标准化——把所有特征转换到同一尺度（比如均值0、标准差1），消除量纲影响。

1. 先判断特征分布：正态还是偏态？

不同分布的特征，标准化方法不同。比如身高数据近似“正态分布”（中间多、两边少），但收入数据可能是“偏态分布”（少数人收入极高，大部分人较低）。

工具：ShapiroWilk检验这是一种判断数据是否服从正态分布的统计方法，适用于小样本（我们每个特征有100个数据，适合）。

原理：比较样本数据与理想正态分布的“相似度”，用统计量$W$衡量：[
W = \frac{(\sum_{i=1}^n a_i x_{(i)})^{2}{\sum_{i=1}}n (x_i \bar{x})^2}
]
$x_{(i)}$：特征值排序后的第$i$个值（比如把萼片长从小到大排序，$x_{(1)}$是最小值，$x_{(100)}$是最大值）；
$\bar{x}$：特征均值；
$a_i$：检验系数（根据样本量$n$查表得到，比如$n=100$时，$a_1=0.5739$，$a_2=0.3291$等，可通过Python的scipy库直接计算）。

判断标准：若$W$接近1（越接近1，越像正态分布），且$p$值（显著性水平）>0.05（“非正态”的概率小于5%），则认为特征服从正态分布；否则是偏态分布。

2. 正态分布特征：用Zscore标准化

如果特征是正态分布（如萼片长），用Zscore将其转换为“标准正态分布”（均值0，标准差1），公式：[
f’ = \frac{f \mu}{\sigma}
]
$f$：原始特征值（如某朵花的萼片长5.1cm）；
$\mu$：训练集特征均值（用训练集数据算，避免“偷看”测试集！）；
$\sigma$：训练集特征标准差（无偏估计，分母用$n1$）。

例子：若训练集萼片长均值$\mu =5.8$cm，标准差$\sigma =0.8$cm，某样本萼片长6.6cm，则标准化后为$(\mathrm{6.65.8})/0.8=1$（即比均值高1个标准差）。

为什么这样做？ 正态分布下，95%的数据落在$[\mu 1.96\sigma ,\mu +1.96\sigma ]$，标准化后就是$[1.96,1.96]$，方便后续用“分位数”选分类阈值。

3. 偏态分布特征：用MAD标准化（抗异常值！）

如果特征是偏态分布（如存在极端值，比如某朵花花瓣长异常大），Zscore会被极端值“带偏”（均值和标准差受极端值影响大）。此时用中位数绝对偏差（MAD） 标准化，对异常值更稳健：[
f’ = \frac{f \text{median}}{\text{MAD}}
]
$\text{median}$：训练集特征中位数（数据排序后中间的值，不受极端值影响）；
$\text{MAD}$：中位数绝对偏差，先算每个数据与中位数的绝对差，再取这些差的中位数：[
\text{MAD} = \text{median}({|f_i \text{median}| })
]

例子：若训练集花瓣长中位数=4.3cm，MAD=0.5cm，某异常样本花瓣长5.5cm，则标准化后为$(\mathrm{5.54.3})/0.5=2.4$；若用Zscore（假设均值被异常值拉高到4.8cm，标准差1.2cm），则为$(\mathrm{5.54.8})/1.2\approx 0.58$，MAD更能体现其“异常程度”。

四、第三步：划分训练集与测试集——“练武功”与“考武功”

问题：如果用所有数据训练模型，再用这些数据测试，模型可能“死记硬背”（过拟合），遇到新数据就失效。

解决办法：把数据分成两部分——训练集（70%，70个样本）用来“学武功”，测试集（30%，30个样本）用来“考武功”，评估模型在新数据上的表现。

分层抽样：避免“类别不平衡”

原始数据中Setosa和Versicolor各50个（1:1），若随机划分，可能训练集里Setosa占60%，模型会偏向Setosa，测试结果不准。

分层抽样规则：训练集和测试集的类别比例与原始数据一致（1:1）：
训练集70个样本：Setosa 35个，Versicolor 35个；
测试集30个样本：Setosa 15个，Versicolor 15个。

公式约束：[
\frac{N_{\text{train,0}}}{N_{\text{train}}} = \frac{N_{\text{test,0}}}{N_{\text{test}}} = \frac{1}{2}, \quad \frac{N_{\text{train,1}}}{N_{\text{train}}} = \frac{1}{2}
]（$N_{\text{train,0}}$：训练集Setosa样本数，$N_{\text{train}}$：训练集总样本数=70，以此类推）

五、第四步：构建弱分类器——“简单但多样”的规则

弱分类器要满足两个条件：

1. 弱性能：准确率>55%（比瞎猜好一点）；
2. 多样性：预测结果“观点不同”（低冗余），避免多个分类器犯同样的错。

1. 特征筛选：挑出“最有用”的特征

4个特征中，有些可能和标签关系不大（比如萼片宽对区分两种鸢尾花作用小）。用互信息（Mutual Information） 衡量特征与标签的“依赖关系”，值越大，特征越有用。

互信息定义：[
I(f, \tilde{y}) = \sum_{f \in \text{vals}(f)} \sum_{\tilde{y} \in {1,1}} p(f, \tilde{y}) \log\left( \frac{p(f, \tilde{y})}{p(f)p(\tilde{y})} \right)
]
$p(f,\tilde{y})$：特征$f$和标签$\tilde{y}$的联合概率（比如“花瓣长=1.5cm且标签=1（Setosa）”的概率）；
$p(f)$：特征$f$的边缘概率（比如“花瓣长=1.5cm”的概率）；
$p(\tilde{y})$：标签$\tilde{y}$的边缘概率（因两类样本1:1，$p(1)=p(1)=0.5$）。

意义：互信息衡量“知道$f$后，$\tilde{y}$的不确定性减少了多少”。比如花瓣长与标签互信息大，说明知道花瓣长后，能大幅减少对类别的不确定。

筛选策略：保留互信息Top3特征（减少后续组合复杂度，同时保留90%以上判别信息）。

2. 特征组合：捕捉“交叉信息”

单一特征可能不够用（比如“花瓣长>2cm”可能分错一些样本），但组合特征（如“花瓣长萼片宽>0”）可能更有效。

组合方式：对Top3特征（记为$f_1,f_2,f_3$），用系数{1,0,1}生成线性组合：
单一特征：$f_1,f_2,f_3$（3种）；
两特征组合：$f_1+f_2,f_1{f}_2,f_1+f_3,f_1{f}_3,f_2+f_3,f_2{f}_3$（6种）；
三特征组合：$f_1+f_2+f_3,f_1+f_2{f}_3,...$（6种）。

共15种组合，比如“$f_1{f}_2$”（萼片长萼片宽）：Setosa通常萼片宽>长（差值负），Versicolor通常萼片长>宽（差值正），用这个组合能更好区分。

3. 阈值优化：找最佳“分界点”

每个组合特征需要一个“阈值”，比如“若$c_j(\mathbf{x})>t_j$则预测1（Versicolor），否则1（Setosa）”。如何选$t_j$？

分位数网格搜索：

1. 收集训练集所有样本的组合特征值{cj(xi′)}\{c_j(\boldsymbol{x}_i')\}{cj​(xi′​)}；
2. 选7个分位数作为候选阈值：12.5%、25%、37.5%、50%（中位数）、62.5%、75%、87.5%（覆盖数据主要分布区间，避免极端值）；
3. 对每个候选阈值$t$，计算分类准确率（正确分类样本数/总样本数），选准确率最高的$t$作为最终阈值$t_j$。

分类器公式：[
h_j(\boldsymbol{x}) = \begin{cases}
1 & \text{若 } c_j(\boldsymbol{x}) > t_j \
1 & \text{否则}
\end{cases}
]

4. 多样性筛选：剔除“重复观点”的分类器

15个候选分类器中，可能有两个分类器预测结果几乎一样（比如都基于花瓣长），这种“冗余”分类器组合起来没用（相当于一个人投多票）。

用互信息衡量冗余：计算任意两个分类器$h_j,h_k$预测结果的互信息$I(h_j,h_k)$，值越小，冗余越低。

筛选规则：
保留准确率>55%的分类器；
保留与已选分类器互信息<0.3的分类器（互信息<0.3表示“观点差异大”）。

最终保留8~12个弱分类器，它们“各有所长”，后续组合时能互相弥补错误。

5. 计算准确率：给分类器“打分”

对每个保留的弱分类器$h_j$，计算训练集准确率$\text{Acc}\ast j$（后续QBoost会根据准确率分配权重，准确率高的权重更大）：[
\text{Acc}j = \frac{1}{N{\text{train}}} \sum*{i \in D_{\text{train}}} \mathbb{I}(h_j(\boldsymbol{x}_i’) = \tilde{y}_i)
]
$\mathbb{I}(\cdot )$：指示函数，条件成立时=1（分类正确），否则=0；
$N_{\text{train}}=70$（训练集样本数）。